вход

Оглавление


2.2.  Классическая механика как 4-мерная статика релятивистских струн

Для изложения другой точки зрения на законы классической механики, нам потребуются некоторые сведения из специальной теории относительности (СТО) [14]. Напомним, что основная идея СТО, которая впервые отчетливо была сформулирована Германом Минковским в 1909 году, заключается в сродстве пространства и времени: в этой теории они образуют единую арену для событий, которая называется пространством-временем. Иногда пространство-время СТО называют также 4-мерным миром Минковского. Чтобы понять разницу между абсолютными пространством и временем механики Ньютона и пространством-временем СТО, обратимся к рисункам 5 и 6. И то и другое состоят из элементарных событий - точек с координатами $ (t,\vec r)$ в первом случае и $ (ct,\vec r)$ во втором. Движение точки и на первой и на второй диаграмме будет представляться некоторой кривой (она называется мировой линией): в первом случае кривая может иметь любой наклон к оси времени (от нуля до $ \pi/2$ ), во втором наклон ограничен конусом с образующими, наклоненными к оси времени под углом $ \pi/4.$ Последнее обстоятельство связано с конечностью максимальной скорости движения тел и сигналов в СТО, т.е. конечностью скорости света. Сечение мировых линий плоскостями $ t=$const будет давать мгновенное положение точки в некоторой фиксированной пространственной системе координат. Движение протяженных тел будет изображаться в обоих случаях мировыми трубками, а сечения мировых трубок линиями $ t=$const будет определять мгновенное пространственное положение этих тел в фиксированной пространственной системе координат. На этой внешней визуальной стороне сходство этих двух пространств событий заканчивается. Абсолютность времени классической механики означает его универсальный ход во всех системах отсчета. На левом рисунке показаны две системы отсчета: $ S$ - условно "неподвижная" и $ S'$ - условно "движущаяся". Промежутки времени, которые отсчитывают часы в $ S$ и $ S'$ - одинаковы, независимо от характера движения и определяются на этой диаграмме с помощью проектирования на единственную для всех систем отсчета и всех тел ось абсолютного времени.

\includegraphics{allpic.5}   \includegraphics{allpic.6}
Рис. 5
  
Рис. 6
Пространства событий классической механики Ньютона и СТО. На левой диаграмме показана мировая линия некоторого точечного тела, мировая линия начала некоторой инерциальной системы отсчета S', и кусок мировой трубки, которая представляет собой формальное объединение пространственных положений некоторого 3-мерного тела (оно показано сечениями $ t=$const ). На правой диаграмме показана мировая линия точечного тела, оси $ ct'$ и $ Y'$ движущейся в направлении OY инерциальной системы отсчета и 4-мерное тело - релятивистская мировая трубка, которая во всех направлениях имеет одинаковую меру - 4-мерную длину. Рассечение этого 4-мерного тела на последовательность 3-мерных тел зависит от выбора системы отсчета. Поэтому в СТО мировую трубку естественно называть абсолютной историей.

Относительность времени СТО проявляется на правой диаграмме в том, что существует бесконечное множество времен, каждое из которых задается своим направлением в 4-мерном пространстве времени. Промежутки времени между парой событий зависят от выбора линии времени, т.е. системы отсчета, и связаны друг с другом по известным формулам СТО. Еще большая разница между двумя диаграммами проявляется в том, что в классической механике расстояние между событиями можно вычислять только для одновременных пар событий, в то время как в пространстве-времени СТО расстояние (4-мерный интервал) определен между любой парой событий. Если в некоторой системе отсчета события оказались разделенными промежутком времени $ \Delta t$ и пространственным интервалом $ \Delta l,$ то 4-мерное расстояние между этими событиями определяется формулой:

$\displaystyle \Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta l^2.$ (7)

Величина этого интервала не зависит от выбора системы отсчета - это обстоятельство позволяет вывести законы перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой (преобразования Лоренца), а вот разделение этого интервала на пространственную и временную части - в некоторой степени условно. При смене системы отсчета часть пространственной проекции интервала переходит во временную и наоборот, примерно так же как $ XY$ -проекции жесткого стержня на плоскости могут переходить друг в друга по определенным законам при вращении системы координат $ OXY.$ Обращаясь к мировым трубкам на обеих диаграммах, можно сказать, что мировая трубка на левой диаграмме - объект искусственный, поскольку его вертикальный размер измеряется в секундах, а горизонтальный (толщина) - в метрах. Эти величины абсолютно несоизмеримы в рамках классической механики Ньютона, поэтому мировую трубку в классической механике, равно как и все пространство событий, надо представлять себе как формальное объединение мгновенных положений тела или мгновенных пространств (пачка разъединенных друг с другом, но плотно прижатых листов, ширина и толщина которых измеряется в разных и абсолютно не связанных между собой единицах). С другой стороны, мировая трубка СТО представляет собой единый 4-мерно протяженный объект, который измерим с помощью интервала (7) в единых единицах (например, метрах) во всех направлениях - как пространственных, так и временных. Это 4-мерное тело - есть "застывшая" в 4-мерном мире история некоторого 3-мерного тела. Такое 4-мерное тело всегда вытянуто вдоль временного направления и потому похоже на изогнутый тонкий стержень. Каждая система отсчета задает набор сечений стержня плоскостями одновременных событий: эти сечения 3-мерны и в выбранной системе отсчета задают совокупность мгновенных положений некоторого 3-мерного тела. В другой системе отсчета этот же стержень будет задавать другую последовательность сечений. Поскольку очертания стержня в 4-мерном пространстве не зависят от выбора системы отсчета (от нее зависит только способ рассечения стержня на 3-мерные сечения), этот стержень естественно называть абсолютной историей. Последовательность 3-мерных тел, определяющая относительную историю некоторого 3-мерного тела, определится только после задания системы отсчета и плоскостей одновременных событий, ассоциированных с ней. Именно абсолютные истории тел и будут предметом нашего рассмотрения. Заметим, что в существующей литературе по СТО обычно ограничиваются рассмотрением одномерных мировых линий, а 4-мерные протяженные тела не рассматривают. Если мы принимаем 4-мерную точку зрения и рассматриваем 4-мерные мировые стержни как некую новую физическую реальность релятивистской природы, естественно рассмотреть их 4-мерные физические свойства. Поскольку в 4-мерном мире стержни покоятся, мы имеем дело с 4-мерным вариантом статики. Эту статику можно построить по аналогии со статикой обычных 3-мерных стержней. Напомним, что обычные стержни могут испытывать деформации растяжения-сжатия, кручения и изгиба [15]. Для не слишком сильных деформаций их можно рассматривать по отдельности. При этом каждому виду деформации соответствует свое выражение для упругой энергии соответствующей деформации. Так, для энергии кручения обычного 3-мерного стержня получается следующее выражение:

$\displaystyle \mathcal{E}_{\text{крут}}=\int \frac{C\tau^2}{2} dl,$ (8)

где $ \tau$ - угол относительного поворота сечений стержня, отнесенный к единице длины (эта величина называется кручением), $ C$ - крутильная жесткость, зависящая от упругих постоянных и формы сечения, а интегрирование производится вдоль оси стержня. Для энергии изгиба продольно не напряженного стержня $ \mathcal{E}_{\text{изг1}}$ получается более сложное выражение, которое нам не потребуется. Наконец, сильно натянутый стержень, изогнутый под действием поперечной нагрузки, обладает упругой энергией:

$\displaystyle \mathcal{E}_{\text{изг2}}=T\int dl,$ (9)

где $ T$ - натяжение стержня, а интегрирование производится вдоль его оси в изогнутом состоянии. Отметим, что сильно натянутые стержни называются струнами. В отличие от нерастянутых стержней, их сопротивление на изгиб определяется именно натяжением, а не изгибной жесткостью, зависящей от упругих постоянных материала стержня и формы его сечения. Таким образом для струн $ \mathcal{E}_{\text{изг2}}\gg\mathcal{E}_{\text{изг1}}.$ Для формулировки законов 4-мерной статики потребуется некоторое обобщение приведенных соотношений. При этом изначально неясно, какая из видов энергий будет доминировать при описании статики 4-мерных стержней, совместимой с наблюдаемой в 3-мерном мире механикой Ньютона. Оставляя технические детали в стороне, мы приводим только результат [16]. Для того, чтобы уравнения 4-мерной статики в нерелятивистском пределе воспроизводили классическую механику Ньютона, необходимо выполнение следующих условий:
  1. Стержни необходимо считать натянутыми струнами, причем 4-мерная времениподобная сила натяжения связана с 3-мерной массой соотношением9: $ T=mc^2.$ При этом выражение для упругой энергии изгиба натянутого стержня типа (9) становится пропорциональным действию свободной частицы массы $ m$ :

    $\displaystyle \mathcal{E}_{\text{изг2}}=cS_{\text{поступ}}=-mc^2\int ds$ (10)

  2. 3-мерная плотность массы $ \rho$ связана с модулем сдвига $ \zeta$ 4-мерного материала стержня соотношением: $ \rho c^2=\zeta.$ При этом 4-мерная энергия кручения стержня становится пропорциональной вращательной части действия для твердого тела в классической механике:

    $\displaystyle \mathcal{E}_{\text{крут}}=cS_{\text{вращ}}=c\int\frac{\mathcal{J}(\omega,\omega)}{2} dt,$ (11)

    где $ \mathcal{J}$ -- тензор инерции, $ \omega$ -- угловая скорость вращения тела, связанная с кручением $ \tau$ 4-мерного стержня соотношением: $ \tau=\omega/c.$
  3. Собственная изгибная жесткость стержней роли не играет, т.е. стержни ведут себя именно как струны. Ввиду отождествления $ \zeta=\rho c^2=T/V,$ где $ V$ -- объем 3-мерного сечения в сопутствующей стержню системе отсчета, мы видим что и сдвиговая жесткость целиком обусловлена натяжением стержня.
Итак, в построенной нами картине масса представляет собой ни что иное, как (с точностью до размерного множителя) времениподобную силу, растягивающую стержень настолько сильно, что его 4-мерные упругие свойства определяются этим растяжением. В 4-мерном мире обычные силы и масса выступают на равных правах как различные проекции 4-сил. Чтобы получше уяснить силовую природу массы обратимся к известной формуле лапласова давления (см.рис.7):

$\displaystyle \Delta p=2\sigma\overline{R^{-1}},$ (12)

которая связывает перепад давлений жидкости или газа по разные стороны натянутой пленки с величиной локального поверхностного натяжения и средней кривизной $ k=\overline{R^{-1}}=(1/R_1+1/R_2)/2$ , в состоянии равновесия пленки. Эта формула имеет и одномерный аналог (см.рис.8):

$\displaystyle {dF\over dl}={T\over R}\vrule depth 20pt width0pt$ (13)

- для нормальной к натянутой нити изгибающей ее силы $ F$ , силы натяжения нити и радиуса кривизны изогнутой нити в данной точки. Здесь $ dF/dl$ - это "одномерное давление".

\includegraphics{allpic.7}   \includegraphics{allpic.8}
Рис. 7.
  
Рис. 8

Сейчас мы покажем, что уравнение (13) это и есть несколько упрощенная форма второго закона Ньютона. Действительно, вектор 4-скорости мировой линии частицы $ U$ - единичный, поэтому вектор ускорения $ dU/ds$ - является ничем иным, как вектором кривизны мировой линии, а его модуль равен $ k=1/R$ -- модулю этой кривизны [17]. Обычные силы, действующие на частицу всегда пространственноподобны, то есть действуют в направлении, ортогональном $ U.$ Они и играют роль линейной плотности изгибающих сил в (13). Записывая теперь 3-мерную часть второго закона Ньютона в виде:

$\displaystyle \vec f=mc^2\vec k=\frac{mc^2\vec n}{R}, $

где $ \vec n$ единичный вектор направления кривизны (выпячивания стержня), и сопоставляя этот вид с (13), мы видим, что величина $ mc^2$ действительно играет роль натяжения мировой линии или мирового стержня. Отметим, наконец, что первый закон Ньютона в этой картине эквивалентен известному утверждению, что сильно растянутая струна в отсутствие действия поперечных сил остается прямолинейной. Третий закон Ньютона остается без изменения. Его приближенным следствием для времениподобных сил является закон сохранения массы. Мы не обсуждаем здесь другие интересные следствия 4-мерной статики, которые освещают многие стороны окружающего нас мира в новом свете. Их можно найти в оригинальной работе [16].
След.: 3.  Природа третьего закона Выше: 2.  Два взгляда на Пред.: 2.1.  Операциональная формулировка законов