вход

Оглавление


4.  Обсуждение результатов

Полученные оценки наглядно иллюстрируют тот факт, что за простым термином "сила трения качения" могут стоять довольно сложные и весьма различные по своей физической природе механизмы диссипации энергии. Во всех случаях мы, в рамках принятого механизма, независимо вычисляли мощность диссипации энергии при движении колеса и приравнивали ее мощности формальной "силы трения качения": $ F_{\text{тр.к.}}v.$ Этот прием переводит сложную картину явлений, сопровождающих качение колеса, на привычный нам язык сил. В отличие от более простых сил, сила трения качения существенно зависит от большого числа факторов, в том числе и от динамических условий качения (свободное или вынужденное качение,
область приложения крутящего момента и т.д.), которые обсуждались ранее. Рассмотренные нами конкретные механизмы и количественные оценки не исчерпывают полной картины качения. Тем не менее, с их помощью можно анализировать характер силы трения качения в большом числе практически важных экспериментальных ситуаций. Обсудим некоторые характерные свойства полученных оценок. Как нетрудно видеть, сила трения качения $ F_{\text{тр.к.1}}$ , обусловленная механизмом статического гистерезиса, как это и следовало ожидать, не зависит от характеристик скорости движения колеса. Зависимость силы трения качения имеет ступенчатый характер: при условии

$\displaystyle \Theta\equiv\frac{2fE}{3\pi(1-\nu^2)\sigma_0^2R}<1, \vrule depth15pt width0pt$ (13)

\includegraphics[width=200pt]{13d.eps}
Рис. 11. Пространственный график зависимости $ F_{\text{тр.к.}}(f,R)$ для колеса, изготовленного из алюминия. Поверхность графика пересекает плоскость $ (f,R)$ по прямой $ f\approx152126R.$ В области между этой прямой и осью $ OR$ сила трения качения отсутствует.

она равна нулю, поскольку при таком условии максимальное напряжение на площадке контакта меньше напряжения пластического течения. При постепенном увеличении нагрузки неравенство (13) переходит в равенство, а затем в обратное неравенство: $ \Theta>1$ . При этом сила трения качения "включается" и нарастает. В окрестности области $ \Theta=1$ зависимость $ F_{\text{тр.к.1}}(f,R)$ неаналитична. Ее пространственный график и его характерные сечения для алюминиевого $ (E=70$ГПа$ ,  \sigma_0=50$МПа$ , \nu=0.31)$ колеса показаны на рис. 11.

\includegraphics[width=150pt]{11.eps}
 
\includegraphics[width=150pt]{12.eps}
Рис. 12.
 
Рис. 13.
Характерные сечения предыдущего графика. Первая зависимость построена при $ f=5\cdot10^4$Н/м$ ,$ вторая -- при $ R=10$ см. Вдали от значений $ f,R,$ при которых $ F_{\text{тр.к.}}$ обращается в нуль, зависимости выходят за пределы области применимости рассматриваемой модели.

Оценка (10) для силы трения качения, обусловленной динамическим гистерезисом материала колеса, напротив, указывает на прямо пропорциональную зависимость от скорости. Полагая в формуле (12) $ \lambda\sim10^{-10}$ м (атомные масштабы), $ E\sim10^{11}$ Па, $ d\sim1$ см, находим: $ F_{\text{тр.к.4}}\sim0.1$ Н -- разумный порядок величины. В общем случае сила трения качения обусловлена всеми четырьмя механизмами:

$\displaystyle F_{\text{тр.к.}}=F_{\text{тр.к.1}}+F_{\text{тр.к.2}}+F_{\text{тр.к.3}}+F_{\text{тр.к.4}}.$ (14)
Чтобы выяснить относительную роль каждого из слагаемых в обычных условиях свободного качения, будем выражать результирующую силу трения качения в единицах $ \sigma_0(f/E)^{3/2}R^{1/2},$ а в качестве прижимающей силы $ F$ возьмем собственный вес сплошного цилиндрического колеса. Тогда после некоторых элементарных преобразований, приходим к следующей оценке:

$\displaystyle \frac{F_{\text{тр.к.}}}{\left({g}/{c^2}\right)^{3/2}R^{7/2}\sigma...
..._0}\sqrt{\frac{g}{R}}+\frac{\lambda d \rho c^5}{\sigma_0g^{3/2}R^{7/2}}\right],$ (15)
где $ \rho$ -- плотность вещества цилиндра, $ c=\sqrt{E/\rho}$ -- скорость звука в веществе колеса, $ g$ -- ускорение свободного падения. Для определенности рассмотрим сплошной алюминиевый цилиндр ( $ E=7\cdot10^{10}$ Па, $ \nu=0.3$ , $ \rho=2.7\cdot10^3$кг/м$ ^3$ , $ \sigma_0=5\cdot10^5$ Па, $ \eta\sim10^{-2}$Па$ \cdot$с , а также $ g=9.8$м/с$ ^2,$ $ \lambda\sim10^{-10}$ м). Подстановка характеристик алюминия приводит к следующей оценочной формуле:

$\displaystyle \frac{F_{\text{тр.к.}}}{10^{-2}R^{7/2}}\sim\left[(\sqrt{0.54Rd}-1...
.../2}+10^{-12}\frac{vd}{R}+10^{-1}\frac{d}{R^{1/2}}+10^3\frac{d}{R^{7/2}}\right].$ (16)
Слагаемые в квадратных скобках безразмерны и соответствуют в порядке следования слагаемым в формуле (14), а геометрические характеристики колеса $ R,d$ и скорость качения $ v$ измеряются в м и м/с соответственно. Выясним соотношения безразмерных слагаемых друг с другом и их зависимость от параметров $ R,d$ и $ v$ .

\includegraphics[width=250pt]{23d.eps}
Рис. 14. Фрагмент зависимости $ v=10^{12}(R/d)(\sqrt{0.54Rd}-1)^{3/2},$ выражающей равенство вкладов механизмов статического и динамического гистерезиса в силу трения качения. Из графика видно, что разумные скорости ($ \sim10^1$ м/с) получаются для цилиндров, имеющих вид длинной тонкой проволоки.

Приравнивание второго слагаемого к третьему и четвертому позволяет получить значения скоростей, при которых вклад вязкого трения сравнивается со вкладами трения скольжения и адгезии:

$\displaystyle v_1\sim10^{11}R^{1/2};\quad v_2\sim10^{15}/R^{5/2}.
$

Эти оценки показывают, что для всех разумных (макроскопических) размеров катящегося цилиндра, вкладом вязкости в силу трения качения можно пренебречь по сравнению с вкладами проскальзывания и разрыва связей. График на рис. 14, изображающий фрагмент зависимости скорости от $ R=x$ и $ d=y$ при условии, что второе слагаемое в (16) имеет порядок величины первого, наглядно иллюстрирует тот же вывод о малости вклада вязкости по отношению к механизму статического гистерезиса. Таким образом при качении алюминиевого (и вообще жесткого) цилиндра вкладом в силу трения качения механизма вязкости можно полностью пренебречь. Аналогично, приравнивая третье и четвертое слагаемое в (16), приходим к выводу, что вклад проскальзывания начинает доминировать над механизмом разрыва связей, начиная с $ R\gtrsim10$ м. Соотношение вкладов статического гистерезиса и разрыва связей демонстрируется графиком на первом рисунке.

\includegraphics[width=150pt]{13.eps}
 
\includegraphics[width=150pt]{14.eps}
Рис. 15.
 
Рис. 16.
(1) Фрагмент зависимости $ 10^3d^2=R^7(\sqrt{0.54Rd}-1)^3$ $ (x=R, y=d),$ выражающей равенство вкладов механизмов статического гистерезиса и разрыва связей в силу трения качения. В области выше графика доминирует первый механизм. Большинство практически важных ситуаций относится к области ниже графика. (2) Фрагмент зависимости $ d^2=100R(\sqrt{0.54Rd}-1)^3$ $ (x=R, y=d),$ выражающей равенство вкладов механизмов статического гистерезиса и проскальзывания в силу трения качения. В области выше графика доминирует первый механизм.

Таким образом, в обычных условиях разрыв адгезионных связей при качении является определяющим механизмом диссипации энергии. Обратное соотношение роли механизмов наблюдается в области параметров $ R\gtrsim10$ м, $ d\gtrsim0.1$ м. Рассмотрим в этой области соотношение механизмов статического гистерезиса и проскальзывания. График, представленный на втором рисунке, показывает, что в этой области доминирует механизм гистерезиса. Отметим в заключение, что наши простые оценки для большого числа ситуаций качественно согласуются с зависимостями, представленными в литературе на основе имеющихся экспериментальных данных [8,9,10,11].
След.: Литература Выше: Что такое сила трения Пред.: 3.4.  Механизм разрыва адгезионных