вход

Оглавление


3.2.1.  Статический гистерезис

Статический гистерезис обусловлен характерным видом диаграммы напряжений упруго-пластических тел, упрощенный вид которой показан на рис. 8.

\includegraphics{allpic.6}
Рис. 8. Упрощенная диаграмма напряжений упруго-пластического материала.

Наклонная часть диаграммы описывает фазу упругих деформаций (закон Гука), для которой $ \sigma=E\epsilon,$ где $ E=\sigma_0/\epsilon_0$ -- модуль Юнга вещества стержня, $ \epsilon_0$ -- предел упругости, $ \sigma_0$ -- напряжение пластического течения. Пластическое течение описывается горизонтальной частью диаграммы, на которой деформация возрастает при практически постоянном напряжении. Параметр $ \epsilon_1$ характеризует предельную относительную деформацию, при которой материал разрушается. Следует отметить, что диаграмма подобного типа получается в экспериментах с растяжением стержней, т.е. в ситуации т.н. простого напряженного состояния. При качении тел, в области, прилегающей к площадке контакта, возникают напряжения сжатия. Диаграммы напряжений сжатых стержней для большинства материалов практически симметричны диаграммам растяжений в упругой фазе и на некоторой части пластической1. Согласно приведенной диаграмме, потери на статический упругий гистерезис при качении тел начинаются в момент, когда напряжение на средней линии площадки контакта (оно будет максимально на этой линии, поэтому мы обозначаем его в дальнейшем $ \sigma_{\text{max}}$ ), рассчитанное по закону Гука, удовлетоворяет неравенству: $ \sigma_{\text{max}}=\sigma_0.$ В этом случае окрестность средней линии деформируется при качении пластически, т.е. необратимо, а тела при качении сминаются, немного изменяя свои форму и размер.

\includegraphics{allpic.7}
Рис. 9. Площадка контакта колеса и поверхности. Заштрихованная полоса -- область пластической деформации.

Для оценки будем опираться на модифицированное решение (3) со следующей зависимостью напряжения от координаты $ x$ :

$\displaystyle \sigma(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sigma_0,&\vert x\vert\le a'; C\sqrt{1-x^2/a^2},& a'\le\vert x\vert\le a. \end{array}\right.$ (4)
Здесь $ a'$ -- полуширина полосы пластического течения (см. рис. 9), которая находится из условия: $ \sigma(a')=\sigma_0,$ а константа $ C$ должна находиться из условия равновесия2 колеса в вертикальном направлении:

$\displaystyle F=d\int\limits_{-a}^a\sigma(x) dx.
$

Исключение константы $ C$ c учетом (4) приводит к трансцендентному уравнению вида:

$\displaystyle \frac{\sigma_{\text{max}}}{\sigma_0}=\frac{2\xi}{\pi}+\frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}-\frac{2\arcsin\xi}{\pi\sqrt{1-\xi^2}}, \vrule depth 15pt width0pt$ (5)
где $ \xi=a'/a.$ При малых значениях $ \xi,$ при которых наша оценка имеет большую степень надежности, решение уравнения (5) имеет следующий явный вид:

$\displaystyle a'=a\sqrt{2}\left(\frac{\sigma_{\text{max}}}{\sigma_0}-1\right)^{1/2}.$ (6)
Глубина проникновения пластической фазы внутрь колеса имеет порядок величины $ a',$ а величина относительной пластической деформации $ \epsilon\sim a'/R.$ Для оценки величины смятия $ h$ нет необходимости в вычислении несобственного интеграла в (3). Параметры $ a$ и $ b,$ входящие в него, имеют размерность длины, следовательно переменная интегрирования $ \xi$ имеет размерность квадрата длины. Это означает, что все выражение под знаком предела безразмерно. После перехода к пределу $ b\to\infty$ параметр $ b$ исчезает, а из одного параметра $ a$ невозможно построить безразмерную величину. Следовательно интеграл от $ a$ не зависит и, таким образом, является безразмерной постоянной порядка единицы. Это означает, что $ h\sim fD\sim f/E.$ Теперь мы можем оценить механическую работу $ A_{\text{p}}$ , затраченную на пластическое смятие в течение времени одного оборота. Она по порядку величины равна:

$\displaystyle A_{\text{p}}\sim\sigma_0\epsilon V_{\text{p}},
$

где $ V_{\text{p}}\sim {Ra'}^2$ -- объем пластически смятой области за один оборот (тонкая трубка, примыкающая к середине обода). Подставляя оценку для $ \epsilon$ и деля $ A_{\text{p}}$ на время одного оборота, приходим к выражению для мощности силы трения качения:

$\displaystyle F_{\text{тр.к.}}v\sim\sigma_0{a'}^3\omega,
$

C учетом кинематической связи $ v=\omega R,$ получаем выражение для силы трения качения:

$\displaystyle F_{\text{тр.к.}}\sim\frac{\sigma_0{a'}^3}{R}.$ (7)
Подставляя сюда выражения (6) для $ a'$ и (3) для $ a,$ находим после некоторых упрощений окончательную оценку для силы трения качения в рассматриваемой модели:

$\displaystyle F_{\text{тр.к.1}}\sim\sigma_0\left(\frac{f}{E}\right)^{3/2}R^{1/2} \left(\sqrt{\frac{2fE}{3\pi(1-\nu^2)\sigma_0^2R}}-1\right)^{3/2}.$ (8)

След.: 3.2.2.  Динамический гистерезис Выше: 3.2.  Потери на упругий Пред.: 3.2.  Потери на упругий