- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
12. Применения производной Ли (3): группа движений пространства Минковского
Аналогично предыдущему случаю вычислим алгебру изометрий плоского псевдоевклидова пространства В декартовой системе координат эта метрика имеет наиболее простой вид:
Векторное поле симметрии запишем в координатах следующим образом:
Уравнения Киллинга с учетом формул (45) принимают вид (55) с заменой компонент евклидовой метрики на компоненты псевдоевклидовой метрики. Из диагональных уравнений при следует как и ранее, что не зависит от и не зависит от Недиагональные уравнения принимают вид:
Путем дифференцирования этих уравнений с учетом условия и (суммирования нет!) аналогично случаю евклидовой метрики приходим к заключению, что все компоненты являются линейными функциями координат:
где и -- постоянные векторы размерности и соответственно, -- постоянная матрица -- постоянная матрица -- постоянная матрица -- постоянная матрица Уравнения Киллинга тождественно удовлетворяются, если матрицы коэффициентов удовлетворяют следующим условиям:
Таким образом, независимыми векторными полями алгебры изометрий псевдоевклидовой метрики являются:
(трансляции),
(плоские вращения)
и
(псевдовращения или бусты)
Отметим, что бусты в общем случае не образуют подалгебры. Как и в случае евклидовой метрики полученный результат носит общий и исчерпывающий характер: все непрерывные изометрии псевдоевклидовой метрики типа исчерпываются трансляциями вращениями и бустами При этом Полученные результаты в частном случае и приводят к хорошо известным фактам псевдоевклидовой 4-мерной геометрии Минковского и 3-мерной евклидовой геометрии.
След.: 13. Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 11. Применения производной Ли