- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
13. Применения производной Ли (4): изометрии римановых метрик
Рассмотрим простейшие примеры применения производной Ли в римановой геометрии. Самыми простыми неплоскими римановыми многообразиями являются т.н. многообразия постоянной кривизны. Рассмотрим, к примеру, 2-мерную сферу, вложенную стандартным образом в 3-мерное евклидово пространство и метрику, индуцированную на ней объемлющей евклидовой метрикой. К выражению для последней проще всего прийти, рассмотрев евклидову метрику в сферической системе координат:
Переходя на единичную сферу посредством соотношения получаем метрику сферы: Вычислим алгебру симметрий этой метрики. Уравнения Киллинга записываются по формуле (45) следующим образом ( ):
Из первого уравнения следует, что зависит только от : Из второго уравнения следует, что где -- пока произвольная функция. Подставляя эти представления в третье уравнение, приходим к уравнению на и :
Отсюда для стандартного условия разделения следует, что где -- произвольные константы интегрирования. Таким образом, общее поле симметрии имеет вид: Полагая поочередно пары коэффициентов из набора равными нулю, приходим к следующим независимым полям симметрии сферы:
Как и следовало ожидать из общих интуитивных соображений поля образуют алгебру Ли 3-мерной группы вращений что проверяется непосредственной проверкой выполнимости соотношений (56). В общей теории относительности 4-мерное пространство-время называется сферически-симметричным, если его метрика имеет алгебру симметрии . В сферических координатах, в которых поля этой алгебры имеют вид (59), общая сферически симметричная метрика будет иметь вид:
где -- произвольные функции временной и радиальной координат и Пространство-время называется сферически-симметричным статическим, если его алгебра симметрии помимо содержит еще одно времениподобное (т.е. удовлетворяющее условию ) векторное поле симметрии, коммутирующее с элементами алгебры . Используя свободу координатных преобразований:
сохраняющих общий вид метрики (60), ее всегда можно привести к виду:
в случае общей сферической симметрии и к виду:
в случае сферически-симметричного статического пространства-времени. Здесь и -- некоторые функции новых переменных связанные с исходными и посредством тензорного закона преобразований. Замечательным фактом эйнштейновской общей теории относительности является существование дополнительного поля Киллинга как следствие сферической симметрии. Другими словами, (при некоторых дополнительных предположениях: в обсуждаемом нами случае -- для пустого пространства-времени) все сферически-симметричные решения уравнений Эйнштейна автоматически являются статическими и сводятся к знаменитой метрике Шварцшильда для черной дыры (теорема Биркгоффа):
где -- гравитационный радиус черной дыры, связанный с ее полной массой Метрика черной дыры и ее следствия являются основой для современного раздела общей теории относительности -- физики черных дыр [22]. Факт допустимости любых гладких и обратимых замен координат в общей теории относительности усложняет выявление физических свойств, вытекающих из римановой метрики пространственно-временного многообразия. В частности, может оказаться так (и часто оказывается!), что одна и та же метрика имеет совершенно различный и неузнаваемый вид в разных системах координат. Это обстоятельство можно наблюдать даже в плоском пространстве времени, переходя в нем к различным криволинейным координатам. Однако в плоском пространстве времени у нас существует класс декартовых систем координат, в которых метрика имеет стандартный и самый простой вид -- это утверждение можно принять за определение плоского пространства. Для римановых метрик в общем случае не существует никаких предпочтительных систем координат и поэтому для их классификации и в частности установления их тождества или различия необходимо использовать другие методы, не связанные с координатными конструкциями. Одним из подходов к инвариантной классификации римановых метрик является их классфикация по симметриям. Поскольку уравнения Киллинга имеют общековариантный тензорный характер, то поля симметрий имеются или отсутствуют независимо от выбора системы координат и (при их наличии) их алгебра должна быть одной и той же в разных системах координат с точностью до линейных замен базиса в алгебре симметрий. Таким образом, для того чтобы две метрики были эквивалентны, (т.е. чтобы они переводились друг в друга преобразованием координат) необходимо, чтобы их алгебры симметрий совпадали. Иногда, когда алгебра симметрий является достаточно богатой, это условие является и достаточным, иногда требуется привлекать для сравнения другие инвариантные свойства многообразия (например алгебраические типы тензоров Вейля и Риччи). Симметрийный подход часто кладут в основу определения того или иного пространства-времени. Этот метод работает даже в тех случаях, когда физический смысл получающейся геометрии (т.е. ее возможные материальные источники и их свойства) не ясен. Идею "симметрийного конструктора" мы проиллюстрируем на следующем примере. Пусть нас интересует пространство-время, обладающее следующей алгеброй симметрий:
Мы могли прийти к такой алгебре из каких-то совершенно посторонних к ОТО соображений или даже рассмотреть ее "просто так" из любопытства. Другими словами, нас интересует решение системы уравнений Киллинга:
но теперь уже не относительно компонент полей -- ведь они нам известны заранее, -- а относительно компонент метрики. Если наложить дополнительное требование, чтобы искомая метрика удовлетворяла уравнениям Эйнштейна в пустоте, то оказывается (проверка в принципиальном плане не сложна, но громоздка), искомая метрика единственна и имеет вид:
где const Много интересной инофрмации о классификации точных решений уравнений Эйнштейна по их симметриям приведено в книге [23].
След.: 14. Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 12. Применения производной Ли