- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
16. Применения производной Ли (7): группа изометрий однородных кубических метрик
В качестве примера, в достаточной мере не отраженного в классической литературе, исследуем изометрии однородных кубических метрик вида: где -- симметричная числовая кубическая матрица. Пространства с метриками такого рода традиционно относят у классу финслеровых пространств, а метрику называют соответственно финслеровой метрикой [25]. Введем следующие обозначения:
где все и -- постоянные. Не все компоненты (74) метрики одновременно геометрически значимы. Представление (74) инвариантно относительно выбора координат среди класса аффинно-эквивалентных систем, в которых компоненты метрики остаются постоянными. Матрица невырожденного аффинного преобразования в имеет в общем случае 9 независимых компонент и ими можно распорядиться таким образом, чтобы обратить в нуль 8 из 10 компонент компонент метрики поскольку уравнения вида однородны по компонентам Ввиду сложного характера системы уравнений (75), конкретный набор восьми коэффициентов, которые можно обратить в нуль, сложным образом зависит от исходных значений компонент метрики. В частности, в некоторых вырожденных случаях исходной метрики в нуль можно обратить 9 из 10 компонент. Отсюда следует два важных для нашего исследования вывода:
- Для полного исследования достаточно исследовать метрики с небольшим числом отличных от нуля коэффициентов;
- Следует перебрать всевозможные случаи сочетания небольшого числа отличных от нуля коэффициентов;
где Aff -- класс аффинных систем координат в связанных невырожденными аффинными преобразованиями. Назовем две однородных финслеровых метрики и эквивалентными: если существует такая аффинная система координат в в которой компоненты и попарно совпадают. Очевидно, для эквивалентных метрик может быть но их точные аффинные типы должны совпадать: Совпадение точных аффинных типов двух метрик, однако, не является достаточным условием их эквивалентности, поскольку, вообще говоря, компоненты, которые входят в минимальное множество отличных от нуля, для этих метрик могут быть различными. После этих общих соображений перейдем к анализу симметрий. Система уравнений Киллинга в общем случае (74) принимает вид:
Рассмотрим последовательно все частные случаи общих метрик с различными Там, где это возможно, мы, не оговаривая особо, используем свободу выбора масштабов координат для превращения соответствующих коэффициентов в (канонический вид). Кроме того, не рассматриваем отдельно случаев, которые отличаются друг от друга лишь перестановкой координат. Наконец, мы всюду отбрасываем постоянные векторные поля, образующие подалгебру трансляций алгебры симметрий метрики , существование которой очевидно и исследуем симметрии, отличные от трансляций. Мы будем называть их нетривиальными симметриями однородных финслеровых метрик.
След.: 16.1. Метрики с (2 Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 15. Применения производной Ли