• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение и обозначения


• 2. Гладкие многообразия


• 3. Скалярные функции и векторные поля


• 4. Касательное и кокасательное пространства. 1-формы.


• 5. Тензоры


• 6. Отображения многообразий и геометрических объектов


• 7. Интегральные кривые векторных полей и потоки на многообразиях


• 8. Производная Ли и ее свойства


• 9. Координатные формулы для производной Ли


• 10. Применения производной Ли (1): интегрирование дифференциальных уравнений.


• 11. Применения производной Ли (2): тензор деформаций и изометрии многообразия


• 12. Применения производной Ли (3): группа движений пространства Минковского


• 13. Применения производной Ли (4): изометрии римановых метрик


• 14. Применения производной Ли (5): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой метрик $(n>2)$


• 15. Применения производной Ли (6): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой плоскости.


• 16. Применения производной Ли (7): группа изометрий однородных кубических метрик
• 16.1. Метрики с $\tau (G)=\tau _0(G)=1$ (2 типа)
• 16.2. Метрики с $\tau (G)=2$ (7 типов)
• 16.3. Метрики с $\tau (G)=3$ (13 типов)
• 16.4. Метрики с $\tau (G)=4$ (10 типов)
• 16.5. Метрики с $\tau (G)=5$ (5 типов)
• 16.6. Метрики с $\tau (G)=6.$
• 16.7. Метрики с $\tau (G)=6,7,8,9,10.$
• 16.8. Инвариантная классификация метрик с нетривиальными изометриями
• 16.9. Аффинно-специальные метрики


• Литература

16.2.  Метрики с $\tau (G)=2$ (7 типов)

1. $F\neq0,A_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$$ (79)

   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=x^2\partial_2-x^3\partial_3.$$

2. $F\neq0,B_1\neq0.$ Канонический вид метрики:
   $$G=dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^1\otimes dx^2+$$

   $$+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^1 +\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3).$$ (80)

   Алгебра нетривиальных симметрий двумерна:
   $$X_1=x^1\partial_1-(x^3+x^2/2)\partial_3;\quad x^2\partial_2-(x^3+x^2)\partial_3.$$

3. $A_1\neq0,B_3\neq0.$ Канонический вид метрики:
   $$G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1+dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3+$$

   $$+dx^3\otimes dx^2\otimes dx^3+ dx^3\otimes dx^3\otimes dx^2.$$ (81)

   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=x^2\partial_2-(x^3/2)\partial_3.$$

4. $A_1\neq0,C_1\neq0.$ Канонический вид метрики:
   $$G=dx^1\otimes dx^1\otimes dx^1+dx^1\otimes dx^1\otimes dx^3+$$

   $$+dx^1\otimes dx^3\otimes dx^1+ dx^3\otimes dx^1\otimes dx^1.$$ (82)

   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=x^1\partial_1-(2x^2+x^1)\partial_2.$$

5. $B_1\neq0,B_2\neq0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^1\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^1$$ (83)

   $$\pm (dx^1\otimes dx^3\otimes dx^3+dx^3\otimes dx^1\otimes dx^3+dx^3\otimes dx^3\otimes dx^1).$$
   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=x^1\partial_1-(x^2/2)\partial_2-(x^3/2)\partial_3.$$

6. $B_1\neq0,B_3\neq0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^1\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^1+$$ (84)

   $$+ dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3+dx^2\otimes dx^3\otimes dx^2+dx^3\otimes dx^2\otimes dx^2.$$
   Алгебра нетривиальных симметрий 2-мерна:
   $$X_1=-2x^1\partial+x^2\partial_2-(x^3/2)\partial_3;\quad X_2=x^3\partial_1-(x^2/2)\partial_3.$$

7. $B_1\neq0,C_3\neq0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^1\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^1+$$ (85)

   $$dx^3\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^3\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3.$$
   Алгебра нетривиальных симметрий бесконечномерна:
   $$X_1=x^2\partial_2-2(x^1+x^3)\partial_3;\quad X_2=f(x^1,x^2,x^3)(\partial_1-\partial_3),$$
   где $f$ -- произвольная гладкая функция трех переменных.

След.: 16.3.  Метрики с (13 Выше: 16.  Применения производной Ли Пред.: 16.1.  Метрики с (2