• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение и обозначения


• 2. Гладкие многообразия


• 3. Скалярные функции и векторные поля


• 4. Касательное и кокасательное пространства. 1-формы.


• 5. Тензоры


• 6. Отображения многообразий и геометрических объектов


• 7. Интегральные кривые векторных полей и потоки на многообразиях


• 8. Производная Ли и ее свойства


• 9. Координатные формулы для производной Ли


• 10. Применения производной Ли (1): интегрирование дифференциальных уравнений.


• 11. Применения производной Ли (2): тензор деформаций и изометрии многообразия


• 12. Применения производной Ли (3): группа движений пространства Минковского


• 13. Применения производной Ли (4): изометрии римановых метрик


• 14. Применения производной Ли (5): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой метрик $(n>2)$


• 15. Применения производной Ли (6): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой плоскости.


• 16. Применения производной Ли (7): группа изометрий однородных кубических метрик
• 16.1. Метрики с $\tau (G)=\tau _0(G)=1$ (2 типа)
• 16.2. Метрики с $\tau (G)=2$ (7 типов)
• 16.3. Метрики с $\tau (G)=3$ (13 типов)
• 16.4. Метрики с $\tau (G)=4$ (10 типов)
• 16.5. Метрики с $\tau (G)=5$ (5 типов)
• 16.6. Метрики с $\tau (G)=6.$
• 16.7. Метрики с $\tau (G)=6,7,8,9,10.$
• 16.8. Инвариантная классификация метрик с нетривиальными изометриями
• 16.9. Аффинно-специальные метрики


• Литература

16.5.  Метрики с $\tau (G)=5$ (5 типов)

С технической точки зрения -- это самый сложный случай, так как в нем содержится самое большое количество комбинаций коэффициентов, подлежащих проверке. Эта сложность компенсируется относительной малостью случаев, в которых метрика обладает нетривиальной симметрией.

1. $F=0,A_1=0,A_2=0,B_1=0,C_1=0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=dx^3\otimes dx^3\otimes dx^3+\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^3... ...^2\otimes dx^3\otimes dx^3) +C_2\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^1\otimes dx^3)$$ (109)

   $$+C_3\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3).$$
   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=(x^3+2C_3x^2)\partial_1-(x^3+2C_2x^1)\partial_2.$$

2. $F=0,A_1=0,B_1=0,C_1=0,C_2=0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=dx^2\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^3\otimes dx^3\otimes dx^3+\hat{... ...^1\otimes dx^3\otimes dx^3)+ B_3\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3)$$ (110)

   $$+C_3\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3).$$
   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=((B_3С3-1)x^3+2(C_3^2-B_3)x^2-2x^1)\partial_1-C_3x^3\partial_2+x^3\partial_3.$$

3. $A_1=0,A_2=0,A_3=0,B_1=0,C_1=0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3)+\hat{\mathcal{S... ...^2\otimes dx^2\otimes dx^3) +B_2\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^3\otimes dx^3)$$ (111)

   $$+B_3\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3).$$
   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=\frac{B_3x^3+2x^1+2x^2}{B_3}\partial_1-\frac{2x^2+2x^1+B_2x^3}{B_3}\partial_2.$$

4. $A_1=0,A_2=0,B_1=0,B_2=0,C_1=0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3)+C_2\hat{\mathca... ...dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3) +\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3)+$$ (112)

   $$+dx^3\otimes dx^3\otimes dx^3.$$
   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=(x^1+x^2/C_2)\partial_2-\frac{2x^1+2C_3x^2+x^3}{2C_2}\partial_1.$$

5. $A_1=0,A_2=0,B_1=0,C_1=0,C_2=0.$ Канонический вид метрики:

   $$G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3)+dx^3\otimes dx^... ...^1\otimes dx^3\otimes dx^3) +C_3\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^2\otimes dx^3)$$ (113)

   $$+B_3\hat{\mathcal{S}}(dx^2\otimes dx^3\otimes dx^3).$$
   Алгебра нетривиальных симметрий одномерна:
   $$X=(x^3+2x^2)\partial_2-(2x^1+2C_3x^2+B_3x^3)\partial_1.$$

След.: 16.6.  Метрики с Выше: 16.  Применения производной Ли Пред.: 16.4.  Метрики с (10