вход

Оглавление


4.  Касательное и кокасательное пространства. 1-формы.

Рассмотрим множество всех векторов, отнесенных к некоторой фиксированной точке $ p\in\mathcal{M}.$ Это множество образует $ m$ -мерное вещественное линейное пространство, $ T_p\mathcal{M},$ причем в качестве его базиса можно выбрать систему координатных полей $ \{\partial_i\vert _p\},$ отнесенных к точке $ p.$
Пространство $ T_p\mathcal{M}$ называется касательным к многообразию $ \mathcal{M}$ пространством в точке $ p.$
Рассмотрим теперь множество всех линейных отображений $ T_p\mathcal{M}\to R,$ элементами которого являются линейные вещественнозначные функции на векторах из $ T_p\mathcal{M}.$ Каждое линейное отображение $ \omega_p$ из этого множества определяется своим действием на векторы:

$\displaystyle \omega_p(X_p)=\lambda\in R,$ (5)
при этом число $ \lambda$ называется значением $ \omega_p$ на векторе $ X_p$ . Индекс $ p$ напоминает нам, что наше рассмотрение относится к фиксированной точке $ p.$ Свойство линейности $ \omega_p$ выражается равенством:

$\displaystyle \omega_p(\alpha X_p+\beta Y_p)=\alpha \omega_p(X_p)+\beta \omega_p(Y_p),$ (6)
которое должно выполняться для всяких векторов $ X_p$ и $ Y_p.$ Равенства

$\displaystyle (\alpha (\omega_1)_p+\beta (\omega_2)_p)(X_p)=\alpha (\omega_1)_p(X_p)+\beta (\omega_2)_p(X_p)$ (7)
задают на множестве таких линейных функций структуру линейного пространства.
Линейное пространство всех линейных отображений $ T_p\mathcal{M}\to R$ называется кокасательным к многообразию $ \mathcal{M}$ пространством в точке $ p$ и обозначается $ T_p^\ast\mathcal{M},$ а его элементы называются 1-формами в точке $ p.$
Каковы размерность и базис пространства $ T_p^\ast\mathcal{M}$ ? Рассмотрим 1-формы $ \tilde x^i_p$ $ (i=1,\dots,m)$ которые действуют на любой вектор $ X_p$ по следующему правилу:

$\displaystyle \tilde x^i_p(X_p)=X_p^i. $

Другими словами 1-форма $ \tilde x^i_p$ каждому вектору ставит в соответствие его $ i$ -ую координату. Из этого определения вытекает правило действия этих 1-форм на координатный векторный базис:

$\displaystyle \tilde x^i_p(\partial_j\vert _p)=\delta^i_j.$ (8)
Докажем, что совокупность $ \{\tilde x_p^i\}_{i=1,\dots,m}$ образует базис в $ T_p^\ast\mathcal{M}.$ Линейная независимость $ \{\tilde x_p^i\}$ вытекает из цепочки равенств:

$\displaystyle \alpha_1\tilde x_p^1+\dots+\alpha_m\tilde x_p^m=0\Rightarrow (\al... ... x_p^1+\dots+\alpha_m\tilde x_p^m)(\partial_i\vert _p)=0\Rightarrow \alpha_i=0 $

(мы использовали равенство (8)). Обозначим для некоторой 1-формы $ \omega_p$ значение $ \omega_p(\partial_i\vert _p)$ посредством $ (\omega_p)_i.$ Проверьте самостоятельно, что 1-форма $ (\omega_p)_i\tilde x^i_p$ действует на любой вектор $ X_p$ так же, как и $ \omega_p$ :

$\displaystyle (\omega_p)_i\tilde x^i_p(X_p)=(\omega_p)_i\tilde x^i_p(X_p^j\partial_j\vert _p)=(\omega_p)_iX_p^j\delta^i_j= (\omega_p)_iX_P^i.$ (9)
Таким образом, мы доказали, что размерность кокасательного пространства равна размерности касательного пространства и равна $ m,$ а его базис образует набор координатных $ 1$ -форм $ \tilde x^i_p.$ Нашу локальную конструкцию $ T_p^\ast\mathcal{M}$ можно теперь распространить на все многообразие или его часть, если разрешить 1-формам "гладко зависеть от точки", аналогично тому, как мы переходим от вектора $ X_p$ к векторному полю $ X\in\mathfrak{V}(\mathcal{M}).$ А именно, определим поле 1-формы $ \omega,$ как $ \mathfrak{F}$ -линейное отображение $ \mathfrak{V}(\mathcal{M})\to\mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ Это поле каждому векторному полю $ X$ ставит в соответствие скалярную функцию на $ \mathcal{M}$ :

$\displaystyle \omega(X)\in\mathfrak{F}(\mathcal{M}), $

так что в каждой точке $ p,$ имеет место формула (5). Поле 1-формы называется гладким, если его действие на любое гладкое векторное поле дает в результате гладкую функцию. $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -линейность поля $ \omega$ означает следующее обобщение равенства (6):

$\displaystyle \omega(fX+gY)=f\omega(X)+g\omega(Y),$ (10)
где $ f,g$ -- произвольные функции из $ \mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ Обобщение формулы (7) на поля 1-форм позволяет поточечно складывать эти поля и умножать их на функции из $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ :

$\displaystyle (f\omega_1+g\omega_2)(X)=f\omega_1(X)+g\omega_2(X),$ (11)
где $ \omega_1,\omega_2$ -- произвольные поля 1-форм, $ f,g$ -- произвольные функции из $ \mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ Типичным и в определенном смысле основным типом 1-форм является дифференциал $ df$ функции $ f$ . На любом векторном поле $ X$ его действие определено по формуле:

$\displaystyle df(X)\equiv X(f).$ (12)
Проверьте самостоятельно, что все требуемые для 1-форм свойства в этом определении выполнены. Рассмотрим совокупность $ \{dx^i\}_{i=1,\dots,m}$ дифференциалов координатных функций $ x^i$ : $ \mathcal{M}\to R$ в некоторой карте атласа $ \mathbf{At}(\mathcal{M}).$ Пользуясь определением (12), имеем:

$\displaystyle dx^i(X)=X(x^i)=X^j\partial_j(x^i)=X^j\delta^i_j=X^i. $

Другими словами, поле $ dx^i$ является продолженной на многообразие или его часть версией локальной 1-формы $ \tilde x_p^i.$ Отсюда следует, что поля $ \{dx^i\}_{i=1,\dots,m}$ являются базисными в пространстве полей 1-форм и любую 1-форму можно представить в виде разложения:

$\displaystyle \omega=\omega_idx^i,$ (13)
при этом совокупность $ \{\omega_i\}_{i=1,\dots,m}$ называется координатами 1-формы $ \omega$ (в данной карте с координатами $ x$ ). Эти координаты теперь являются функциями координат многообразия (гладкими, если поле 1-формы гладкое). Представление (13) объясняет, почему поля 1-форм иногда называют дифференциальными 1-формами. Результат действия поля 1-формы $ \omega$ на векторное поле $ X$ является скалярной функцией, значение которой в каждой точке $ p$ определяется формулой (9). Как следует из формулы (11), поля 1-форм образуют $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -модуль, который мы будем обозначать $ \mathfrak{V}^\ast(\mathcal{M}).$ Сделаем несколько замечаний.
  1. 1-формы -- это геометрические объекты в определенном смысле "равноправные" с векторами. Если наглядным образом вектора $ X_p$ является направленный отрезок, приложенный к определенной точке, то наглядным образом 1-формы $ \omega_p$ является плоская площадка, проходящая через определенную точку. Эта площадка образована всеми векторами $ X_p$ , на которых выполняется равенство $ \omega_p(X_p)=0.$ В координатах это равенство примет вид: $ (\omega_p)_iX_p^i=0,$ что при фиксированных координатах $ (\omega_p)_i$ дает уравнение плоскости, проходящей через точку $ p$ в касательном пространстве $ T_p\mathcal{M}_m.$ Эта плоскость называется ядром 1-формы в точке $ p$ и обозначается $ \ker\omega_p.$
  2. Равноправие 1-форм и векторов проявляется в их взаимной дуальности: векторы тоже можно рассматривать как линейные функции на 1-формах, при этом $ X_p(\omega_p)\equiv\omega_p(X_p).$ Формально это означает, что $ (T_p)^{\ast\ast}(\mathcal{M})=T_p(\mathcal{M})$ и $ \mathfrak{V}^{\ast\ast}(\mathcal{M})=\mathfrak{V}(\mathcal{M}).$
  3. В старой литературе по геометрии векторы называются контравариантными векторами, а 1-формы -- ковариантными векторами и в покомпонентной записи первые записывают с индексами вверху, например, $ X^i,$ а вторые -- с индексами внизу, например, $ \omega_i.$ На самом деле, по существу, дело здесь не в положении индексов (хотя их расположение облегчает интерпретацию и выкладки), а в различной геометрической природе и различных законах преобразования компонент этих объектов при замене системы координат. Компоненты векторов при смене координат $ x\to x'=x'(x)$ преобразуются по закону:

    $\displaystyle X'{}^i=J^i_jX^j, $

    а компоненты 1-форм по закону:

    $\displaystyle \omega'_i=(J^{-1})^j_i\omega_j, $

    где

    $\displaystyle J^i_j\equiv\frac{\partial x'{}^i}{\partial x^j},\quad (J^{-1})^i_j\equiv\frac{\partial x{}^i}{\partial x'{}^j} $

    прямая и обратная матрицы Якоби. Говоря на современном языке, векторы и 1-формы реализуют различные простейшие линейные представления группы общекоординатных преобразований.
  4. В качестве базисных полей необязательно рассматривать только координатные базисы $ \{\partial_i\}_{i=1,\dots,m}$ и $ \{dx^i\}_{i=1,\dots,m}.$ Иногда в приложениях удобны базисы более общего типа: $ \{e_{(i)}\}_{i=1,\dots,m}$ и $ \{\theta^{(i)}\}_{i=1,\dots,m},$ где первый набор в каждой точке $ p$ определяет некоторый базис касательного пространства $ T_p\mathcal{M},$ а второй набор -- базис кокасательного пространства $ T^\ast\mathcal{M}.$ При этом эти базисы могут даже не быть дуальными друг другу, т.е. $ G^i_j\equiv\theta^{(i)}(e_{(j)})\neq\delta^i_j$ (но "матричное поле" $ (G)_p$ обязано быть невырожденным, т.е. $ \det (G)_p\neq0$ для всех $ p\in\mathcal{M}$ ). Соответствующий подход к описанию геометрических объектов на многообразиях называется тетрадным формализмом, а базисы такого общего типа иногда называют неголономными. Мы не будем использовать их в настоящих лекциях.
  5. Множества всевозможных пар $ (p,v_p)$ и $ (p,\omega_p),$ где $ v_p\in T_p\mathcal{M},$ а $ \omega_p\in T^\ast_p\mathcal{M}$ называются соответственно касательным и кокасательным расслоениями многообразия $ \mathcal{M}$ и обозначаются соответственно $ T\mathcal{M}$ и $ T^\ast\mathcal{M}.$ Эти расслоения являются гладкими многообразиями, причем $ \dim T\mathcal{M}=\dim T^\ast\mathcal{M}=2m.$ Наряду с самим многообразием $ \mathcal{M}$ они являются важнейшими объектами при изучении глобальных топологических характеристик многообразия [5].
След.: 5.  Тензоры Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 3.  Скалярные функции и