• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение и обозначения


• 2. Гладкие многообразия


• 3. Скалярные функции и векторные поля


• 4. Касательное и кокасательное пространства. 1-формы.


• 5. Тензоры


• 6. Отображения многообразий и геометрических объектов


• 7. Интегральные кривые векторных полей и потоки на многообразиях


• 8. Производная Ли и ее свойства


• 9. Координатные формулы для производной Ли


• 10. Применения производной Ли (1): интегрирование дифференциальных уравнений.


• 11. Применения производной Ли (2): тензор деформаций и изометрии многообразия


• 12. Применения производной Ли (3): группа движений пространства Минковского


• 13. Применения производной Ли (4): изометрии римановых метрик


• 14. Применения производной Ли (5): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой метрик $(n>2)$


• 15. Применения производной Ли (6): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой плоскости.


• 16. Применения производной Ли (7): группа изометрий однородных кубических метрик
• 16.1. Метрики с $\tau (G)=\tau _0(G)=1$ (2 типа)
• 16.2. Метрики с $\tau (G)=2$ (7 типов)
• 16.3. Метрики с $\tau (G)=3$ (13 типов)
• 16.4. Метрики с $\tau (G)=4$ (10 типов)
• 16.5. Метрики с $\tau (G)=5$ (5 типов)
• 16.6. Метрики с $\tau (G)=6.$
• 16.7. Метрики с $\tau (G)=6,7,8,9,10.$
• 16.8. Инвариантная классификация метрик с нетривиальными изометриями
• 16.9. Аффинно-специальные метрики


• Литература

7.  Интегральные кривые векторных полей и потоки на многообразиях

В этом разделе мы рассмотрим несколько полезных понятий, тесно связанных с определением и свойствами производной Ли. Напомним, что гладкой параметризованной кривой $\gamma$ на многообразии $\mathcal{M}$ называется гладкое отображение $I\to\mathcal{M},$ где $I$ -- интервал вещественной оси, который без ограничения общности всегда можно выбрать единичным: $I=(0;1).$ Переходя к координатам $\{x^i\}$ многообразия в некоторой карте, через которую проходит кривая, будем иметь систему функций $\{x^i(t)\},$ описывающих параметризованную кривую $\gamma$ в координатах этой карты. Здесь $t\in I$ -- параметр на кривой. На интервале $I$ мы имеем постоянное векторное поле $d/dt$ -- это векторный базис на $I,$ рассматриваемом как одномерное многообразие. Его перенос на кривую $\gamma$ посредством дифференциала отображения:

$$\gamma_\ast(d/dt)\equiv \dot\gamma$$

называется векторным полем скорости на кривой $\gamma.$ Кривая $\gamma$ называется регулярной, если $\dot\gamma\neq0$ в каждой точке кривой (в механической интепретации -- нет точек остановки). В координатах поле скорости задается выражением (проверьте!):

$$\dot \gamma=\dot x^i(t)\partial_i,$$

где точка сверху означает дифференцирование по параметру. Рассмотрим гладкое векторное поле $X$ на многообразии $\mathcal{M}.$ Кривая $\gamma$ называется интегральной кривой векторного поля $X,$ если в каждой точке кривой выполняется равенство:

$$\dot\gamma=X\vert _\gamma,$$ (30)

где $X\vert _\gamma$ -- ограничение векторного поля $X$ на кривую $\gamma,$ определяемое по формуле:

$$X\vert _\gamma(f)\equiv \frac{d}{dt}\left(\gamma^\ast f\right) \vrule depth15pt width0pt$$

для всякой функции $f\in\mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ Уравнение (30) в координатах принимает вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

$$\frac{dx^i}{dt}=X^i(x(t)),\quad i=1,\dots,m.$$ (31)

Ее геометрический смысл заключается в коллинеарности векторов элементарных перемещений (их линейных частей) $\Delta x^i\partial_i$ вдоль кривой и векторов векторного поля в соответствующих точках кривой. Записывая это условие коллинеарности в виде⁶:

$$\frac{dx^1}{X^1}=\dots=\frac{dx^m}{X^m}=dt,$$ (32)

приходим к т.н. системе уравнений на характеристики векторного поля $X,$ т.е. такие $m-1$ -мерные поверхности, которые "сотканы" из линий тока векторного поля. Уравнения характеристик появляются как совокупность интегралов системы (32):

$$F_1(x)=C_1,\dots,F_{m-1}(x)=C_{m-1},$$ (33)

где $\{C_i\}$ -- семейство констант интегрирования. При фиксированных значениях констант $C_i$ каждое уравнение из (33) определяет некоторую характеристику в $\mathcal{M},$ а в совокупности пересечение $m-1$ характеристик определяет конкретную интегральную кривую поля $X.$ К такой конкретизации можно прийти, потребовав, чтобы эта кривая проходила через заданную точку $p$ с координатами $(x^1_p,\dots,x^n_p)$ при $t=0.$ В таком случае в систему (33) следует подставить $x_p$ вместо $x$ и разрешить ее относительно $C_i.$ После этого мы вместо (33) будем иметь систему вида:

$$F_1(x)=C_1(x_p),\dots,F_{m-1}(x)=C_{m-1}(x_p),$$

которую можно разрешить относительно каких-то $m-1$ переменных $x$ (без ограничения общности можно считать, что это первые $m-1$ -переменных $x^1,\dots,x^{m-1}$ ):

$$x^1=f_1(C(x_p),x^m),\dots,x^{m-1}=f_1(C(x_p),x^m).$$ (34)

Далее, подставляя полученные зависимости в уравнение:

$$\frac{dx^m}{X^m(x)}=dt, \vrule depth15pt width0pt$$

получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, с разделяющимися переменными. Константу интегрирования следует выбрать так, чтобы выполнялось начальное условие: $x^m(0)=f_m(C(x_p),t)\vert _{t=0}=x_p^m.$ Теперь подставляя найденную зависимость $x^m(C(x_p),t)$ в уравнения (34), получаем полное координатное описание интегральной кривой с необходимыми свойствами:

$$x^1(t)=f_1(C(x_p),x^m(C(x_p),t)),\quad\dots,\quad x^{m-1}(t)=f_{m-1}(C(x_p),x^m(C(x_p),t)),$$

$$x^m(t)=f_m(C(x_p),t).$$

Рассмотрим следующий пример. Пусть $X=x\partial_y-y\partial_x$ -- векторное поле на плоскости $R^2$ с координатами $\{x,y\}.$ Уравнение характеристик

$$\frac{dy}{x}=-\frac{dx}{y}=dt \vrule depth15pt width0pt$$

имеет интеграл $x^2+y^2=C=$const$.$ Он описывает семейство окружностей различных радиусов $R=\sqrt{C}.$ Если $x(0)=x_0,$ $y(0)=y_0,$ то $C=x_0^2+y_0^2$ и

$$x=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\cos t;\quad y=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\sin t.$$

Очевидно, что семейство интегральных кривых векторного поля $X$ можно рассматривать как отображение $\phi_X$ : $\mathcal{M}\times R\to\mathcal{M},$ которое каждую точку $p\in\mathcal{M}$ смещает вдоль интегральной кривой, проходящей через эту точку, причем при $t=0$ это отображение является тождественным:

$$\phi_X: p\mapsto \phi_X(p,t),\quad \phi_X(p,0)=p$$

и при этом

$$(\phi_X)_\ast(p,d/dt)=X_p.$$

Отображение $\phi_X$ называется потоком векторного поля $X$ на многообразии $\mathcal{M}.$ В силу общих теорем существования и единственности в некоторой окрестности любой неособой точки гладкого векторного поля (т.е. точки, в которой $X\neq0$ ) поток $\phi_X$ является диффеоморфизмом. В окрестности особых точек векторного поля диффеоморфность отображения $\phi_X$ может нарушаться. Мы показали, что всякое гладкое (на самом деле достаточно непрерывности!) векторное поле определяет поток на многообразии. Покажем, что всякому потоку на многообразии, понимаемому как гладкое отображение $\phi$ : $\mathcal{M}\times R\to\mathcal{M},$ соответствует векторное поле, которое его порождает. Действительно, рассмотрим векторное поле:

$$X_\phi(p)\equiv(\phi)_\ast(p,d/dt)\vert _{t=0}.$$

В каждой точке многообразия, где определен поток, это поле определено и его линии потока являются интегральными кривыми векторного поля $X_\phi$ по определению (30). Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между векторными полями и потоками на гладком многообразии. Рассмотрим в качестве примера поток на плоскости, задаваемый в координатах соотношениями:

$$x'(x,y,t)=(t+1)x;\quad y'(x,y,t)=\frac{y}{t+1}.$$

Соответствующее векторное поле получается дифференцированием этих соотношений по $t$ и приравниванием $t$ к нулю. В результате будем иметь:

$$X=x\partial_x-y\partial_y.$$

Попробуйте изобразить это векторное поле стрелками на плоскости самостоятельно. Такой поток осуществляет гиперболические (псевдоевклидовы) вращения плоскости. След.: 8.  Производная Ли и Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 6.  Отображения многообразий и