- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
9. Координатные формулы для производной Ли
Выведем теперь координатные формулы для производных Ли тензоров различных валентностей.
В процессе вывода нам потребуется полезное разложение
координатного представления потока
в окрестности
с начальной точкой
:
где в последнем равенстве учтены начальные условия, уравнение потока (31) и его дифференциальное следствие:
Для компонент дифференциала отображения и для обратного имеем с точностью до :
или в безындексной форме:
idid
Взаимная обратность приведенных матриц с точностью до проверяется непосредственным вычислением. Для скалярной функции определение (35) дает:
Таким образом, производная Ли вдоль от скалярной функции совпадает с дифференцированием этой функции вдоль .
Пример. Условие для некоторого заданного векторного поля определяет такую функцию , у которой поверхности уровня сотканы из интегральных кривые векторного поля Действительно, записанное равенство на инфинитиземальном языке выражает в точности тот факт, что при смещениях вдоль потока векторного поля функция сохраняет свое значение. Но это и означает, что при движении вдоль потока мы всегда остаемся на некоторой поверхности уровня этой функции. Наоборот, при заданной функции это уравнение определяет векторное поле, касательное к поверхностям уровня данной функции. Например, для функции на всякое векторное поле, удовлетворяющее уравнению имеет вид где -- произвольная функция. Это поле является касательным к семейству концентрических окружностей представляющих собой семейство линий уровня Для векторного поля определение (35) с учетом (36) и (37) приводит к цепочке равенств:
где означает обычное матричное умножение. Таким образом, производная Ли векторного поля вдоль векторного поля совпадает с формально введенной ранее скобкой Ли . В координатах производная Ли выражается формулой (4). В силу установленных ранее свойств скобки Ли имеют место формулы: Последнее равенство является прямым следствием тождества Якоби и справедливо не только на векторных полях но и на тензорах произвольной валентности:
Пример. Пусть на многообразии заданы два векторных поля и и пусть их потоки задаются отображениями и соответственно. Говорят, что потоки и коммутируют, если для всех и и для всякой Имеет место замечательная теорема.
Теорема 1. Следующие три утверждения эквивалентны: 1) Потоки и коммутируют; 2) Семейства интегральных кривых векторных полей и инвариантны отно- сительно действия потоков и соответственно; 3) Скобка Ли
Доказательство. Доказательство проведем по схеме Докажем, что интегральные кривые векторного поля переводятся потоком друг в друга. Отображение при различных можно рассматривать как интегральную кривую (или ее часть) векторного поля проходящую через точку Тогда отображение при фиксированном -- это отображение интегральной кривой в некоторую новую кривую (увлеченную потоком ). Условие коммутативности потоков (41) утверждает, что полученная кривая совпадает с кривой которая при фиксированном по определению является интегральной кривой векторного поля проходящей через точку Аналогично доказывается отображение друг в друга интегральных кривых поля друг в друга потоком Пусть интегральные кривые поля переводятся потоком друг в друга. При малых и отображения и в окрестности некоторых точек и имеют вид:
Произвольная точка интегральной кривой под действием потока перейдет в точку: С другой стороны, из условия того, что интегральная кривая переводятся потоком в интегральную кривую имеем: Приравнивая (42) и (43), получаем в порядке требуемое равенство: Как уже было отмечено выше, -- кривая, проходящая, через точку В силу того, что поток по смыслу производной Ли переводит векторное в себя. В частности, он переносит касательное к кривой векторное поле в векторное поле которое будет касательным к кривой , в силу того, что
Таким образом, отображение переводит интегральную кривую в интегральную кривую и, в частности, точку смещает в конечную точку интегральной кривой а затем переводит ее в конечную точку интегральной кривой проходящей через точку Отображение переводит точку в точку а затем смещает ее вдоль интегральной кривой поля Но по локальной теореме единственности интегральная кривая векторного поля, проходящая через некоторую точку, единственна. Следовательно, Производную Ли 1-формы можно вычислить теперь, опираясь на производную Ли векторного поля, правило Лейбница и коммутируемость со сверткой. Учитывая, что значение на произвольном векторном поле есть скаляр, имеем цепочку равенств:
откуда
Легко проверить, что левая часть зависит от линейно и следовательно, как и должно быть, сама производная Ли является 1-формой. Явное вычисление в координатах приводит к формуле:
Пример. Вычислим для будущих целей производную Ли один формы следующего вида:
Результат вычислений по формуле (44) имеет вид: Аналогичным образом поступим и для определения координатных формул производной Ли произвольного тензора В силу правила Лейбница и коммутируемости со сверткой имеем:
откуда
где все производные Ли в правой части уже определены и легко проверяется, что правая часть -линейна по всем своим аргументам, за исключением Явное вычисление в координатах приводит к выражению:
Пример. Вычислим для будущих целей производную Ли ковариантного симметричного тензора Результат вычислений по формуле (46) принимает вид: Можно было бы стартовать с разложения С учетом правила Лейбница и формулы вытекающей из (44), приходим к тому же выражению (47).
След.: 10. Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 8. Производная Ли и