• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение


• 2. Алгебра $\mathbb{C}$ и некоторые ее приложения
• 2.1. Алгебра $\mathbb{C}$
• 2.2. Геометрия $\mathbb{C}$
• 2.3. Дробно-линейные преобразования
• 2.4. Стереографическая проекция
• 2.5. Спиноры над $\mathbb{C}$
• 2.6. Голоморфные отображения $\mathbb{C}\to \mathbb{C}.$
• 2.7. Аналитический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций
• 2.8. Топологический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций.
• 2.9. Геометрический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.10. Физический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.11. Фрактальный аспект отображений $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений


• 3. Алгебра и геометрия двойных чисел $H$


• 4. Элементарные функции на $H$
• 4.1. Степенные функции $F(h)=h^n,\n\in \mathbb{Z}.$
• 4.2. Экспонента двойной переменной $w=e^h$
• 4.3. Тригонометрические функции $\sin h,$ $\cos h$ и обратные к ним
• 4.4. Тригонометрические функции $\tan h$ , $\cot h$ и обратные к ним
• 4.5. Гиперболические функции $\sinh h$ , $\cosh h$ , $\tanh h$ , $\coth h$ и обратные к ним


• 5. Изотропный базис и аналитическое продолжение


• 6. Компактификация $H$


• 7. Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на $H$


• 8. Гиперболические спиноры $\mathfrak{S}(H)$


• 9. $h$ - голоморфные функции двойной переменной
• 9.1. Гиперболические условия Коши-Римана
• 9.2. $h$ -гармонические функции
• 9.3. Конформное свойство


• 10. Теорема и формула Коши


• 11. "Фракталы" на двойных числах


• 12. Теория гиперболического потенциала на $H$
• 12.1. Поле гиперболического точечного источника
• 12.2. $h$ -дуальная интерпретация
• 12.3. $h$ -вихреисточник
• 12.4. Гиперболический цилиндр в постоянном поле
• 12.5. $h$ -мультиполя


• 13. 2-мерная СТО
• 13.1. 2-мерное пространство-время и векторные операции в нем
• 13.2. Алгебра изометрий
• 13.3. Коалгебра $H^\ast$
• 13.4. Системы отсчета на $\mathcal {M}_2$


• 14. Конформная теория относительности
• 14.1. Конформный сдвиг частоты


• 15. Алгебраическая теория пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперлэнде)
• 15.1. Общая идея
• 15.2. Вариационный принцип и уравнения поля
• 15.3. Первый интеграл и его следствия
• 15.4. Тензор энергии-импульса и характеристики источников
• 15.5. Супервариационный принцип для фундаментальных теорий
• 15.6. Пример 2: суперэкстремум в теории $h$ -поля
• 15.7. Статический Гиперлэнд


• 16. Что дальше?


• 17. Заключение
• 17.1. Комплексные или двойные числа?
• 17.2. КТО и физика Гиперлэнда


• Литература

13.  2-мерная СТО

В настоящем разделе мы покажем, что алгебра двойных чисел является естественной и самодостаточной для изложения фактов 2-мерной СТО. Несмотря на некоторую (кажущуюся!) искусственность такого рассмотрения, оно во многих отношениях полезно и поучительно. В частности, оно оттеняет алгебраический аспект псевдоевклидовой геометрии и геометрические аспекты алгебры двойных чисел и представляет собой естественную основу для дальнейших обобщений.

13.1.  2-мерное пространство-время и векторные операции в нем

Будем отождествлять элементы $H$ с точками-событиями 2-мерного пространства-времени Минковского $\mathcal{M}_{1,1}.$ Таким образом, с каждым элементом $h\in H$ мы ассоциируем 2-мерный радиус-вектор $h=t+jx.$ Элементы $H$ как элементы алгебры образуют 2-мерное вещественное линейное пространство. Рассмотрим пару элементов $h_1=t_1+jx_1$ и $h_2=t_2+jx_2$ и комплексно-значную полуторалинейную форму на них:

$$h_1\cdot\bar h_2=t_1t_2-x_1x_2+j(t_2x_1-t_1x_2).$$ (144)

Очевидно, что такая форма, с одной стороны, полностью определяется средствами алгебры $H,$ с другой -- определяет вещественные симметричное $h_1\star h_2$ и антисимметричное (косое) $h_1\times h_2$ скалярные произведения по формулам:

$$h_1\star h_2\equiv (h_1\bar h_2);\quad h_1\times h_2\equiv- (h_1\bar h_2).$$ (145)

Симметричное произведение²¹, как это уже отмечалось выше, является 2-мерным вариантом псевдоевклидовой метрики Минковского, а антисимметричное -- 2-мерным вариантом векторного произведения, которое теперь является (псевдо)скаляром и отвечает за геометрию ориентированных объемов (т. е. площадей) пространства $\mathcal{M}_{1,1}.$

13.2.  Алгебра изометрий

Группы изометрий Iso$^\star$ и Iso$^\times$ билинейных форм (145) хорошо известны²²: первая представляет собой 2-мерную группу Лоренца Lor(1,1) вторая -- группу унимодулярных преобразований SL(2,R). Рассмотрим произвольный (невырожденный) внутренний автоморфизм алгебры $H,$ порождаемый умножениями $h\mapsto h'=\alpha\cdot h,$ где $\alpha=\alpha_1+j\alpha_2\in H$ и запишем его в матричном виде:

$$\left(\begin{array}{c} t' x' \end{array}\right)= \left(\begin{a... ...ha_2&\alpha_1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} t x\end{array}\right).$$ (146)

Далее непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формул:

$$(\alpha h_1)\star(\alpha h_2)=(\alpha_1^2-\alpha_2^2)h_1\star h_2;$$

$$(\alpha h_1)\times(\alpha h_2)=(\alpha_1^2-\alpha_2^2)h_1\times h_2.$$

Отсюда с учетом (146) следует важное равенство:

   Iso$$^\star=$$Iso$$^\times\cap$$Aut$$^{\text{int}}(H),$$

где Aut$^{\text{int}}(H)$ -- группа внутренних автоморфизмов алгебры $H,$ порожденная умножениями на невырожденные элементы. Отметим, что наличие метрики, ассоциированной с косым произведением, позволяет интерпретировать элементы $H$ как вещественные спиноры. Матрица преобразования в (146), описывающая внутренние автоморфизмы умножений алгебры $H$ , обладает свойством симметрии при ее транспонировании как относительно главной, так и относительно побочной диагонали. Назовем такую матрицу абсолютно симметричной. Из тривиального равенства $\alpha_1\cdot\alpha_2=\alpha_3\in H,$ выражающего алгебраическую замкнутость $H,$ следует, что абсолютно симметричные матрицы образуют группу относительно матричного умножения. Эта группа представляет собой прямое произведение $\mathbb{R}\setminus{0}\times Lor(1,1)$ и, помимо преобразований Лоренца, включает в себя однородные дилатации: $h\mapsto \lambda h,$ $\lambda\in \mathbb{R}.$ В дальнейшем для краткости мы будем обозначать эту группу Cn$(1,1)$ и называть ее однородной конформной группой на $H$ . Очевидно, что инвариантными геометрическими объектами для этой группы будут конуса Con$(h),$ $h\in H.$ Рассмотрим теперь дискретные преобразования $H$ : $h=t+jx\mapsto\sigma_ih$ следующих независимых типов:

$$\sigma_th\equiv-t+jx;\quad \sigma_xh\equiv t-jx;\quad \sigma_I\equiv x+jt.$$ (147)

Очевидно, что на алгебраическом языке эти операции записываются следующим образом:

$$\sigma_xh=\bar h;\quad \sigma_th=-\bar h;\quad \sigma_I=j\cdot h,$$

откуда видно, что лишь операция $\sigma_I$ допускает представление (146).

13.3.  Коалгебра $H^\ast$

Рассмотрим алгебру $H^\ast,$ двойственную к $H,$ элементами которой служат линейные функционалы (1-формы, ковекторы) над $H.$ Введем обозначение $\omega(h)$ для значения 1-формы $\omega\in H^\ast$ на элементе $h\in H$ (это вещественное число). Выбирая базис $\{1_\ast,j_\ast\}$ в алгебре $H^\ast$ дуальным к базису $\{1,j\}$ в $H,$ будем иметь систему соотношений²³:

$$1_\ast(1)=1;\quad 1_\ast(j)=0;\quad j_\ast(1)=0;\quad j_\ast(j)=1.$$ (148)

Тогда значение произвольной 1-формы $\omega=T 1_\ast+X j_\ast$ на элементе $h=t+jx$ будет равно:

$$\omega(h)=T t+X x.$$ (149)

Имея в распоряжении две невырожденные метрики, ассоциированные с операциями $\star$ и $\times,$ можно ввести два отображения сопряжения $H\to H^\ast$ по формулам:

$$h\mapsto h^\star\in H^\ast: h^\star(q)\equiv h\star q; \quad h\mapsto h^\times\in H^\ast: h^\times(q)\equiv h\times q.$$ (150)

Будем называть первое сопряжение векторным, а второе -- спинорным. В компонентах с учетом (148) и (150) для произвольного $h=t+jx$ будем иметь:

$$(h^\star)=t; (h^\star)=-x; (h^\times)=-x; (h^\star)=t.$$ (151)

Формулы (151) соответствуют известным правилам "жонглирования индексами" с помощью псевдоевклидовой и спинорной метрик в индексном представлении и устанавливают известные изоморфизмы линейных метризованных пространств с невырожденными метриками. Коалгебра $H^\ast$ так же как и $H$ индуцирует пару операций скалярного произведения: ${\star}$ и ${\times}$ соответственно²⁴по правилам:

$$\omega_1{\star} \omega_2\equiv (\omega_1\bar \omega_2);\quad \omega_1{\times}\omega_2\equiv- (\omega_1\bar \omega_2),$$ (152)

которые мы будем называть коскалярным и кокосым или коспинорным. Алгебры $H$ или $H^\ast$ взаимно сопряжены, т.е. $(H^\ast)^\ast=H.$ Это означает, что элементы $H$ можно интерпретировать как 1-формы по отношению к элементам $H^\ast.$ Элементарно проверяются следующие тождества:

$$h_1^\star{\star}h_2^\star=h_1\star h_2;\quad h_1^\times{\times}h_... ...h_2^\times=-h_1\star h_2;\quad h_1^\star{\times}h_2^\star=-h_1\times h_2;\quad$$

$$h_1^\star{\star}h_2^\times=-h_1\times h_2;\quad h_1^\star{\times}... ...\times}h_2^\star=-h_1\star h_2;\quad h_1^\times{\star}h_2^\star=h_1\times h_2.$$

Символически эти правила записываются короче, если определить таблицы сопряжений с помощью пары элементов $\{(\star),(\times)\}$ над парой операций $\{\star,\times\}$ :

$$\star:\quad \begin{tabular}{c\vert c\vert c} $2\setminus 1$&$(\st... ... \hline $\star$& $-\times$&$ -\star$ $\times$&$\star$&$\times$ \end{tabular}$$ (153)

13.4.  Системы отсчета на $\mathcal {M}_2$

С позиций стандартной СТО элементы введенной коалгебры $H^\ast$ представляют различные системы отсчета. Более точно, определим класс $\mathcal{IR}$ инерциальных систем отсчета на $\mathcal{M}_{1,1}$ как совокупность элементов подкоалгебры $SH^\ast$ по умножению на единичной гиперболической окружности $\vert\omega\bar \omega\vert=1$ на $H^\ast.$ Эта окружность на $H^\ast$ имеет 4 несвязные компоненты: на двух из них $\omega\bar\omega=+1,$ а на двух других $\omega\bar\omega=-1.$ Будем называть подкласс систем отсчета из первых двух компонент причинным (ему соответствуют системы отсчета с досветовыми скоростями) и обозначать его $\mathcal{IR}_+,$ а класс систем отсчета из вторых двух компонент апричинным (ему соответствуют системы отсчета со сверхсветовыми скоростями) и обозначать его $\mathcal{IR}_-.$ Внутри каждого из названных подклассов выделяются еще по две связные компоненты: в положительных и отрицательных полуплоскостях Im$\omega\gtrless0$ для $\mathcal{IR}_+$ и Re$\omega\gtrless0$ для $\mathcal{IR}_-.$ Мы будем обозначать их соответственно $\mathcal{IR}_+^\uparrow,$ $\mathcal{IR}_+^\downarrow,$ и $\mathcal{IR}_-^\rightarrow,$ $\mathcal{IR}_-^\leftarrow$ и называть положительными-отрицательными и правыми-левыми системами отсчета. Таким образом, полный класс $\mathcal{IR}$ всех инерциальных систем отсчета допускает следующее разбиение:

$$\mathcal{IR}=\mathcal{IR}_+^\uparrow\bigcup\mathcal{IR}_+^\downarrow\bigcup\mathcal{IR}_-^\uparrow\bigcup\mathcal{IR}_-^\downarrow.$$ (154)

Нетрудно убедиться, что компоненты разбиения получаются из класса $\mathcal{IR}_+^\uparrow$ положительных причинных систем отсчета с помощью дискретных операций (147):

$$\mathcal{IR}_+^\downarrow=\sigma_t \mathcal{IR}_+^\uparrow;\quad ... ...parrow\quad \mathcal{IR}_-^\downarrow=\sigma_x\sigma_I \mathcal{IR}_+^\uparrow.$$ (155)

Следует отметить, что ввиду формального равноправия всех координатных клиньев на плоскости $H$ или $H^\ast$ разбиение (155) имеет несколько условный смысл. Рассмотрим теперь "нормальную" (т.е. досветовую и ориентированную в будущее) систему отсчета, взятую из компоненты $\mathcal{IR}_+^\uparrow.$ Ей соответствует некоторый элемент $\tau\in{H}^\ast,$ который в выбранном нами базисе имеет вид: $\tau=T 1_\ast+X j_\ast,$ причем его компоненты $T$ и $X$ удовлетворяют условиям:

$$T>0;\quad T^2-X^2=1.$$ (156)

Первое условие выражает факт положительной ориентации отсчета времени, второе -- факт его универсального (постоянного) "единичного темпа". Формально последнее связано с единичной нормировкой ковектора $\tau.$ Условия (156) автоматически удовлетворяются параметризацией:

$$T=\cosh\psi;\quad X=\sinh\psi,$$ (157)

где параметр $\psi$ имеет геометрический смысл гиперболического угла в гиперболической полярной системе координат и физический смысл известного параметра быстроты ( $\tanh\psi=v,$ $v$ -- пространственная скорость системы отсчета). В компонентах (в параметризации скорости $v$ ) 1-форма $\tau$ принимает вид:

$$\tau=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}1_\ast-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}j_\ast.$$ (158)

Теперь, для заданной системы отсчета $\tau\in H^\ast$ и для любого элемента-события $h\in\mathcal{H}_2$ мы можем определить его временную компоненту $h_T^\tau$ по отношению к системе отсчета $\tau$ с помощью простой формулы:

$$h_T^\tau\equiv \tau(h).$$ (159)

Для произвольного $h=t+jx$ с помощью формул (149), (157) и (158) определение (159) дает временную часть преобразований Лоренца:

$$h_T^\tau\equiv \frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Для вектора $\Delta h=\Delta t+j\cdot0,$ характеризующего временной интервал в системе покоя некоторых часов, получаем формулу релятивистского растяжения промежутков времени:

$$h_T^\tau(\Delta h)=\Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Чтобы перейти к определению пространственных проекций событий, необходимо определить единичную 1-форму $s$ из компоненты $\mathcal{IR}_-^\rightarrow,$ ортогональную $\tau,$ т. е. удовлетворяющую соотношению: $s\star \tau=0.$ С помощью формул (152) и (158) нетрудно найти ее координатный вид:

$$s=-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}1_\ast+\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}j_\ast.$$ (160)

Теперь для пространственной проекции произвольного события $h\in H$ по отношению к системе отсчета $\tau$ с помощью формул (149), (160) мы можем дать следующее определение:

$$h_X^\tau\equiv s(h)=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}},$$ (161)

что дает по существу пространственную часть преобразований Лоренца. Рассмотрим тождественный линейный оператор $\hat I\equiv 1\otimes1_\ast+j\otimes j_\ast.$ Непосредственной проверкой с помощью формул (158) и (160) можно убедиться в справедливости следующего разложения этого оператора:

$$\hat I=\tau^\star\otimes \tau-s^\star\otimes s.$$ (162)

Действуя этим оператором на векторы-события или 1-формы получаем их разложение на пространственные и временные компоненты:

$$h=h^\tau_T \tau^\star+h^\tau_X s^\star;\quad \omega=\omega^\tau_T\tau+\omega^\tau_X s,$$

где $h\in H,$ $\omega\in H^\ast$ и

$$h^\tau_T\equiv \tau(h);\quad h_X^\tau\equiv s(h);\quad \omega_T^\tau\equiv \omega(\tau^\star);\quad \omega^\tau_X\equiv\omega(s^\star).$$

Аналогично, вводя разложение единичного оператора в тензорном расслоении $T^{(r,s)}(H)$ :

$$\hat I^{\otimes (r+s)}=(\tau^\star\otimes \tau-s^\star\otimes s)^{\otimes(r+s)}$$

можно всякий тензор на $H$ разложить на пространственно-временные компоненты. Например, метрические тензоры $g^\star$ и $g^\times,$ ассоциированные с симметричным и косым произведениями соответственно имеют следующие представления:

$$g^\star=\tau\otimes\tau-s\otimes s;\quad g^\times= \tau\wedge s,$$

которые по существу имеют смысл 2-мерного (диадного) аналога тетрадного описания величин в СТО и ОТО [32]. Отметим, что специфика 2-мерия заключается в наличии взаимно-однозначного соответствия пространственных и временных элементов диады $\{\tau,s\}.$ Рассмотрим пару элементов $\tau_1$ и $\tau_2$ из $H^\ast,$ которые параметризуются скоростями $v_1$ и $v_2$ по формуле (158). Легко убедиться, что их произведение в коалгебре $H^\ast$ определяет элемент

$$\tau=\tau_1\cdot\tau_2=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}1_\ast-\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}j_\ast,$$

где

$$v=\frac{v_1+v_2}{1-v_1v_2}.$$ (163)

Другими словами, последовательная смена систем отсчета описывается умножением в алгебре двойных чисел соответствующих элементов из $H^\ast.$ Это умножение автоматически индуцирует релятивистский закон сложения скоростей. Интересное следствие этого факта связано с алгебраической интерпретацией активных и пассивных преобразований: умножения нормированных на единицу элементов в коалгебре $H^\ast$ описывают пассивные преобразования Лоренца (смену точки зрения на одни и те же события), в то время как умножения нормированных на единицу элементов в алгебре $H$ описывают активные преобразования Лоренца (переход к другим событиям, на которые мы смотрим с той же точки зрения). Отсюда, в частности, следуют тождества:

$$\tau_v(\alpha_v\cdot h)=t;\quad s_v(\alpha_v\cdot h)=x$$

для всякого элемента $h=t+jx$ и элементов $\alpha_v\in SH,$ $\tau_v,s_v\in SH^\ast,$ параметризуемых одним и тем же параметром $v.$ Эти тождества являются математическим выражением следующего утверждения: событие, переведенное активным бустом в новое событие, не изменяет своих пространственно-временных проекций в системе отсчета, соответствующей этому бусту. Все приведенные выше построения допускают локализацию т. е. переход к дифференциально-геометрическим объектам (касательным векторам и дифференциальным 1-формам). Для этого достаточно допустить зависимость параметра $v$ от $t$ и $x,$ а все конструкции рассматривать в касательных и кокасательных пространствах $T_{(t,x)}H$ и $T_{(t,x)}^\ast H=T_{(t,x)}H^\ast.$ Такой переход позволяет рассматривать протяженные деформирующиеся системы отсчета и даже включать гравитацию. След.: 14.  Конформная теория относительности Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 12.  Теория гиперболического потенциала