вход

Оглавление



15.  Алгебраическая теория пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперлэнде)

Целью настоящего раздела является формулировка и исследование динамического принципа, из которого бы вытекали уравнения и законы, управляющие динамикой потенциала $ F$ в 2-мерном мире, который мы будем далее называть Гиперлэндом. Мы постулируем, что в глубинной основе физической картины мира Гиперлэнда лежит алгебра двойных чисел. Развивая последовательно принцип алгебраизации, мы построим очень конкретную теорию Гиперлэнда, в которой все существенные характеристики (фундаментальные константы, лагранжиан, потенциал гиперсилы) вычисляются в явном виде. Рассматриваемую нами 2-мерную модель Гиперлэнда можно рассматривать как "игрушечную" низкоразмерную версию чисто алгебраической "Теории Всего". Ее более реалистичные варианты, основанные на многомерных обобщениях двойных чисел -- алгебрах поличисел -- мы обсудим в общих чертах в Заключении.

15.1.  Общая идея

В предыдущем разделе мы фактически рассмотрели фрагмент теории гиперболического потенциала в пустоте, не задаваясь вопросом об источниках этого поля. Вне источников поле гиперболического потенциала является $ h$ -голоморфной функцией, со всеми свойствами и физической интерпретацией, рассмотренными выше. Из общих соображений можно предположить, что в области, занятой источниками (точная природа которых пока неясна), поле $ F,$ вообще говоря, уже не будет являться голоморфной функцией переменной $ h.$ Другими словами, область источников поля характеризуется неравенством $ F_{,\bar h}\neq0,$ выражающим факт неголоморфности функции $ F,$ так что в этой области полевая функция $ F$ зависит, вообще говоря, как от переменной $ h,$ так и от переменной $ \bar h.$ Будем в дальнейшем называть величину $ F_{,\bar h}$ неголоморфностью гиперкомплексного потенциала $ F.$ Если с источниками гиперболического потенциала ассоциировать вещество, то поле $ F$ становится универсальной функцией, содержащей в себе всю информацию обо всем пространстве-времени вместе с его материальным наполнением. Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что производные $ F_{,h}$ отвечают за локальные кинематику источников и геометрию пространства-времени, а производные $ F_{,\bar h}$ (неголоморфность) отвечают за внутренние локальные характеристики источников.


15.2.  Вариационный принцип и уравнения поля

Перейдем к теоретико-полевым формулировкам. Постулируем действие для гиперболического потенциала в следующем виде:

$\displaystyle \mathcal{S}[F,\bar F]=\int\limits_{H}(\mathcal{Y}-\mathcal{U}(\mathcal{X}))  dh\wedge d\bar h,$ (192)
где

$\displaystyle \mathcal{X}\equiv\Vert N\Vert^2,\quad N\equiv\frac{\partial F}{\p...
...K\Vert^2,\quad K\equiv\frac{\partial F}{\partial
h}.
\vrule depth15pt width0pt
$

Первое слагаемое под интегралом в (192) является гиперболическим "кинетическим членом" и отвечает за динамику гиперболического потенциала в пустоте, а второе слагаемое представляет собой гиперболический "потенциальный член" и отвечает за свойства и вклад источников. В соответствии с изложенными выше соображениями, это последнее слагаемое зависит только от гиперболической нормы неголоморфности $ N$ и в области вне источников, где неголоморфность обращается в нуль, оно определяет в действии некоторую постоянную объемную плотность энергии, играющую в Гиперлэнде роль плотности энергии вакуума. Отметим, что действие в целом вещественно27, хотя мы и записали его в двойном представлении. Стандартная процедура варьирования действия (192) по полевым переменным $ \bar F, F$ приводит к уравнениям поля, которые можно привести к виду:

$\displaystyle \frac{1}{4}\square F=(\mathcal{U}'F_{,\bar h})_{,h}$ (193)
-- неоднородного волнового уравнения с источником в правой части, зависящим лишь от неголоморфности $ F.$ Штрих в (193) обозначает дифференцирование функции $ \mathcal{U}$ по ее аргументу (т. е. по квадрату модуля неголоморфности). Второе уравнение получается из уравнения (193) его гиперболическим комплексным сопряжением. Как и следовало ожидать, уравнения поля получились нелинейными, поскольку поле $ F,$ как это следует из принципов развиваемой теории, описывает и свои источники за счет эффективного самодействия. В этом отношении развиваемая теория примыкает к вариантам единой теории поля Ми [34].


15.3.  Первый интеграл и его следствия

Замечательной особенностью уравнений (193) является наличие у них первого интеграла, независимо от конкретного вида потенциальной функции $ \mathcal{U}.$ Действительно, записывая волновой оператор в комплексной форме (102), уравнение (193) можно представить в виде равенства нулю некоторой производной:

$\displaystyle (F_{,\bar h}(1-\mathcal{U}'))_{,h}=0,$ (194)
откуда следует

$\displaystyle F_{,\bar h}(1-\mathcal{U}')=\varphi(\bar h)$ (195)
-- первый интеграл уравнения (193), содержащий произвольную функцию $ \varphi(\bar h).$ Интеграл (195) в общем случае представляет собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Рассмотрим его важное следствие, которое выполняется в общем случае независимо от вида потенциальной функции $ \mathcal{U}.$ Домножая обе части уравнения (195) на $ \bar F_{,h},$ приходим к вещественному соотношению:

$\displaystyle R\ni \mathcal{X}(1-\mathcal{U}'(\mathcal{X}))=\varphi(\bar h)\bar F_{,h},$ (196)
откуда следует, что

Im$\displaystyle   \varphi(\bar h)\bar F_{,h}=0.$ (197)
Расписывая это соотношение в компонентах, приходим к уравнению:

$\displaystyle \varphi_1(U_{,x}-V_{,t})+\varphi_2(U_{,t}-V_{,x})=0,$ (198)
связывающему $ \varphi=\varphi_1+j\varphi_2$ и $ F=U+jV$ и не содержащему функции $ \mathcal{U}.$ Дифференцируя соотношение (198) по $ t$ и по $ x$ , приходим к паре дифференциальных следствий:

$\displaystyle \varphi_{1,t}(U_{,x}-V_{,t})+\varphi_{1}(U_{,x,t}-V_{,t,t})+\varphi_{2,t}(U_{,t}-V_{,x})+\varphi_{2}(U_{,t,t}-V_{,x,t})=0;$ (199)

$\displaystyle \varphi_{1,x}(U_{,x}-V_{,t})+\varphi_{1}(U_{,x,x}-V_{,t,x})+\varphi_{2,x}(U_{,t}-V_{,x})+\varphi_{2}(U_{,t,x}-V_{,x,x})=0.$ (200)
Ввиду того, что $ \varphi_1$ и $ \varphi_2$ являются компонентами антиголоморфной функции $ \varphi,$ они связаны гиперболическими условиями типа Коши-Римана:

$\displaystyle \varphi_{1,t}=-\varphi_{2,x};\quad \varphi_{1,x}=-\varphi_{2,t}.$ (201)
Выражая производные $ \varphi_{1,t}$ и $ \varphi_{2,t}$ в уравнении (199) через (201), приходим к уравнению:

$\displaystyle -\varphi_{2,x}(U_{,x}-V_{,t})+\varphi_{1}(U_{,x,t}-V_{,t,t})-\varphi_{1,x}(U_{,t}-V_{,x})+\varphi_{2}(U_{,t,t}-V_{,x,t})=0.$ (202)
Рассматривая теперь уравнения (200) и (202) как систему линейных уравнений относительно $ \varphi_{1}$ и $ \varphi_{1,x},$ находим:

$\displaystyle \varphi_1=A\varphi_2+B\varphi_{2,x},$ (203)
где

$\displaystyle A=-\frac{N_{1,t}N_2+(N_1^2)_{,x}/2}{N_1N_{2,x}+(N_2^2)_{,t}/2};\quad B=-\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1N_{2,x}+(N_2^2)_{,t}/2},$ (204)
а

$\displaystyle N_1\equiv U_{,t}-V_{,x};\quad N_2\equiv N_2=U_{,x}-V_{,t}$ (205)
-- величины, обращающиеся в нуль для $ h$ -голоморфного потенциала $ F(h)$ (т.е. по существу компоненты неголоморфности $ F$ ). Подставляя теперь решение (203) в (198), приходим к дифференциальному уравнению первого порядка относительно $ \varphi_2,$ которое можно преобразовать к виду:

$\displaystyle (\ln\varphi_2)_{,x}=-\frac{A}{B}-\frac{N_1}{N_2B},$ (206)
где $ A$ и $ B$ определяются формулами (204)-(205). Выражая теперь аналогичным образом производные $ \varphi_{1,x}$ и $ \varphi_{2,x}$ в уравнении (200) через (201), приходим к уравнению:

$\displaystyle -\varphi_{2,t}(U_{,x}-V_{,t})+\varphi_{1}(U_{,x,x}-V_{,t,x})-\varphi_{1,t}(U_{,t}-V_{,x})+\varphi_{2}(U_{,t,x}-V_{,x,x})=0.$ (207)
Снова рассматривая уравнения (199) и (207) как систему линейных уравнений относительно $ \varphi_{1}$ и $ \varphi_{1,t},$ находим:

$\displaystyle \varphi_1=\tilde A\varphi_2+\tilde B\varphi_{2,t},$ (208)
где

$\displaystyle \tilde A=-\frac{N_{1,x}N_2+(N_1^2)_{,t}/2}{N_1N_{2,t}+(N_2^2)_{,x}/2};\quad \tilde B=\frac{N_1^2-N_2^2}{N_1N_{2,t}+(N_2^2)_{,x}/2}.$ (209)
Подставляя решение (208) в (198), снова приходим к дифференциальному уравнению первого порядка относительно $ \varphi_2,$ которое можно привести к виду:

$\displaystyle (\ln\varphi_2)_{,t}=-\frac{\tilde A}{\tilde B}-\frac{N_1}{N_2\tilde B},$ (210)
где $ \tilde A$ и $ \tilde B$ определяются формулами (209) и (205). Приравнивая выраженные из (206) и (210) вторые смешанные производные: $ (\ln\varphi_2)_{,t,x}=(\ln\varphi_2)_{,x,t},$ приходим к условиям интегрируемости исходного уравнения (197), которые уже не содержат функций $ \varphi_1,\varphi_2$ :

$\displaystyle \left(\frac{A}{B}+\frac{N_1}{N_2B}\right)_{,t}=\left(\frac{\tilde A}{\tilde B}+\frac{N_1}{N_2\tilde B}\right)_{,x}$ (211)
или после некоторых преобразований и упрощений с учетом формул (204), (205), (209):

$\displaystyle \left(\frac{N_2^2N_{1,t}-N_1^2N_{2,x}+N_1N_2(N_{1,x}-N_{2,t})}{N_...
...2^2N_{1,x}-N_1^2N_{2,t}+N_1N_2(N_{1,t}-N_{2,x})}{N_2(N_1^2-N_2^2)}\right)_{,x}.$ (212)
Вводя новую функцию: $ \mathcal{Q}\equiv N_1/N_2$ после несложных манипуляций с производными уравнение (212) приводится к очень простому виду:

$\displaystyle \square$Arth$\displaystyle \mathcal{Q}=0,$ (213)
общий интеграл которого имеет вид:

$\displaystyle \mathcal{Q}\equiv\frac{U_{,t}-V_{,x}}{U_{,x}-V_{,t}}=\tanh(\phi_1(t+x)+\phi_2(t-x)),$ (214)
где $ \phi_1$ и $ \phi_2$ -- произвольные функции своих аргументов. Интеграл (214) удовлетворяется тождественно и в пустоте, где обращается в нуль неголоморфность. Таким образом, в рассматриваемой нами теории соотношение (214) имеет вид общего универсального соотношения, которое, с одной стороны, является следствием вариационного динамического принципа (192), с другой ограничивает вид $ F$ -поля универсальным образом, независимо от его материальных источников. С математической точки зрения соотношение (214) можно рассматривать как некоторое обобщение гиперболических условий Коши-Римана, определяющее некоторый класс $ \mathcal{G}(H)$ функций с правилом дифференцирования:

$\displaystyle \frac{dF}{d\bar h}=\frac{1}{2}(U_{,x}-V_{,t})(\tanh(\phi_1+\phi_2)-j). \vrule depth15pt width0pt$ (215)
Более детальное обсуждение математических свойств этого класса функций и его физическую интерпретацию мы оставляем для следующих публикаций. Сейчас мы остановимся лишь на одном важном наблюдении математического характера, принципиально важном для излагаемого подхода. Условие $ F_{,\bar h}=0,$ рассматриваемое на границе области, занятой материей, дает два уравнения на две функции от переменных $ (t,x):$ $ N_1=0,$ $ N_2=0,$ которые в общем случае независимы. Это означало бы, что в нашей теории материальные распределения ограничиваются точечными источниками, за исключением, быть может, некоторых случайных вырожденных ситуаций. Соотношение (214), которое можно понимать как линейную связь компонент неголономности, выделяет в нашей теории класс физических гиперкомплексных потенциалов $ \mathcal{G}(H),$ у каждого представителя которого обнуление одной из компонент неголоморфности влечет за собой обнуление другой компоненты. Иными словами, динамический принцип теории в форме (192) автоматически приводит к протяженным материальным распределениям, с границей, задаваемой уравнением вида $ f(t,x)=0,$ как это и должно быть в реалистичной 2-мерной теории относительности.

15.4.  Тензор энергии-импульса и характеристики источников

Поскольку лагранжиан в действии (192) не зависит от координат, теорема Нетер гарантирует выполнение слабого закона сохранения:

$\displaystyle \mathcal{T}^\alpha_{\beta,\alpha}=0,$ (216)
где:

$\displaystyle \mathcal{T}^\alpha_{\beta,\alpha}\equiv \frac{\partial\mathcal{L}...
...,\alpha}}F^a_{,\beta}-\delta^\alpha_\beta \mathcal{L} \vrule depth15pt width0pt$ (217)
-- канонический тензор энергии-импульса поля $ F.$ Здесь $ \alpha,\beta= h,\bar
h,$ $ \{F^a\}={F,\bar F}.$ Непосредственное вычисление по формуле (217) приводит к следующему виду компонент тензора $ \mathcal{T}$ в комплексном базисе:

$\displaystyle \mathcal{T}^h_h=\mathcal{T}^{\bar h}_{\bar h}=\mathcal{U}(X)-\mat...
...mathcal{T}^{\bar h}_h}=\bar F_{,\bar h}F_{,\bar h}(1-\mathcal{U}')\equiv\sigma.$ (218)
Для пересчета этих компонент в более привычном вещественном базисе заметим, что матрицы Якоби $ J$ и $ J^{-1}$ , определяющиеся видом преобразований координат:

$\displaystyle t=\frac{h+\bar h}{2};\quad x=\frac{h-\bar h}{2j};\quad h=t+jx;\quad \bar h=t-jx,$ (219)
имеют вид:

$\displaystyle J= \left( \begin{array}{cc} 1/2&1/2 j/2&-j/2 \end{array} \right);\quad J^{-1}= \left( \begin{array}{cc} 1&j 1&-j \end{array} \right).$ (220)
С помощью известного закона преобразования тензоров посредством матриц Якоби легко находим компоненты тензора энергии-импульса в декартовых координатах $ (t,x)$ :

$\displaystyle \mathcal{T}^0_0=\mu+$Re$\displaystyle  \sigma;\quad \mathcal{T}^1_1=\mu-$Re$\displaystyle   \sigma;\quad \mathcal{T}^1_0=-\mathcal{T}^0_1=$Im$\displaystyle  \sigma$ (221)
Из представления (221) очевидно, что дважды ковариантный тензор $ \mathcal{T}$ полностью симметричен и имеет вид:

$\displaystyle (\mathcal{T}_{\alpha\beta})= \left( \begin{array}{cc} \mu+\text{R...
...ext{Im} \sigma -\text{Im} \sigma&\text{Re} \sigma-\mu \end{array} \right).$ (222)
Для выяснения вопроса о связи потенциала $ F$ с плотностью энергии и давлением составим задачу на собственные значения относительно метрики Минковского $ \Xi$ :

$\displaystyle \mathcal{T}( , u)=\lambda\Xi( ,u).$ (223)
Секулярное уравнение имеет вид:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{cc} \mu+\text{Re} \sigma-\lambda& -\tex...
... -\text{Im}  \sigma& \text{Re} \sigma-\mu+\lambda \end{array} \right\vert=0$ (224)
или

$\displaystyle (\mu-\lambda)^2-($Re$\displaystyle  \sigma)^2+($Im$\displaystyle  \sigma)^2=0.$ (225)
Его корни:

$\displaystyle \lambda_1=\varepsilon=\mu+\sqrt{\sigma\bar\sigma};\quad \lambda_2=p=\mu-\sqrt{\sigma\bar\sigma}.$ (226)
Приведем также выражения для $ \varepsilon$ и $ p$ в явном виде:

$\displaystyle \varepsilon=\mathcal{U}-\mathcal{U}'\mathcal{X}+(1-\mathcal{U}')\...
...quad p=\mathcal{U}-\mathcal{U}'\mathcal{X}-(1-\mathcal{U}')\sqrt{\mathcal{XY}}.$ (227)
Из формул (227) следует, что величины $ \varepsilon$ и $ p$ в общем случае не связаны никаким уравнением состояния вида $ p=f(\varepsilon),$ поскольку функциональный определитель

$\displaystyle \frac{D(\varepsilon,p)}{D(\mathcal{X},\mathcal{Y})}\equiv\left\ve...
...{U}''(1-\mathcal{U}')\mathcal{\mathcal{X}}^2}{\mathcal{\mathcal{Y}}^{1/2}}\neq0$ (228)
-- в общем случае отличен от нуля. Это обстоятельство позволяет говорить об уравнении состояния более общего вида: $ p=f(\varepsilon,s),$ где параметр $ s$ можно ассоциировать с плотностью энтропии Гиперлэнда.


15.5.  Супервариационный принцип для фундаментальных теорий

Практически любая физическая теория содержит неопределяемые из самой теории параметры -- эмпирические константы модели или фундаментальные физические константы. Так, классическая электродинамика содержит две фундаментальные константы: $ e$ и $ c,$ квантовая электродинамика содержит три константы: $ e,\hbar,c,$ а единая теория электрослабого взаимодействия -- около 20 констант. Ньютоновская теория гравитации содержит одну константу $ G$ , а эйнштейновская ОТО -- две константы $ G$ и $ c.$ Механика Ньютона не содержит фундаментальных констант28 Следует отметить, что в вычислениях константы модели могут группироваться в определенные типичные для данной теории комбинации, которые и определяют экспериментально наблюдаемые величины. Такими комбинациями, к примеру, являются постоянная тонкой структуры $ \alpha\equiv
e^2/\hbar c$ в квантовой электродинамике и эйнштейновская гравитационная постоянная $ 8\pi G/c^4$ в ОТО. Как правило, константы модели определяются из экспериментальных данных. Такой подход, однако, свидетельствует о принципиальной неполноте рассматриваемой теории. Было бы совершенно естественно ожидать, что полная фундаментальная "Теория Всего" (если она вообще существует!) должна давать средства для вычисления всех своих существенных параметров, т. е. тех, которые определяют экспериментально наблюдаемые величины. Более того, фундаментальная теория природы не должна содержать произвола в выборе некоторых фундаментальных зависимостей, определяющих динамические уравнения теории, например, вид потенциальной функции или даже вид лагранжиана. Все вышесказанное относится и к рассматриваемой нами теории Гиперлэнда. В настоящем параграфе мы обсудим один из возможных подходов к устранению отмеченного произвола [35].


15.5.1.  Супервариационный принцип для фундаментальных констант

Рассмотрим действие вида $ \mathcal{S}_\alpha[\phi]$ для некоторой фундаментальной теории, где $ \phi$ -- коллективный символ для набора динамических переменных (относящихся к частицам, полям и т.д.), а $ \alpha$ -- коллективный символ для набора фундаментальных констант теории. Пусть $ \phi_{\beta}(\alpha)$ -- решение уравнений Эйлера-Лагранжа:

$\displaystyle \delta_\phi\mathcal{S}_\alpha[\phi]=0,
$

с некоторыми начально-краевыми условиями, фиксированными посредством набора параметров $ \beta.$ Подставляя это решение обратно в действие (и регуляризуя результат, если это необходимо), мы получаем функцию многих переменных вида:

$\displaystyle \Phi(\alpha,\beta)\equiv\mathcal{S}_{\text{reg} \alpha}[\phi_{\beta}(\alpha)].$ (229)
Ключевая идея излагаемого нами супервариационного принципа заключается в минимизации функции (229) по отношению к набору переменных $ \alpha,$ для того чтобы получить выражения для набора параметров $ \alpha$ или его части:

$\displaystyle \alpha=\alpha_0(\beta),$ (230)
связывающие значения фундаментальных констант с параметрами граничных условий. Более кардинальный шаг заключается в минимизации (229) по отношению к полному набору переменных $ (\alpha,\beta),$ что в принципе определяет как существенные фундаментальные постоянные, так и граничные условия "из ничего". В качестве простейшего примера рассмотрим гармонический осциллятор с действием

$\displaystyle \mathcal{S}[x(t)]=\int\left[\frac{m\dot x^2}{2}-\frac{kx^2}{2}\right]  dt.$ (231)
Общее решение уравнений движения, вытекающих из (231) хорошо известно:

$\displaystyle x_0(t)=A\sin(\omega t+\varphi),\quad \omega=\sqrt{k/m},$ (232)
где $ m$ -- масса осциллятора, $ k$ -- параметр его жесткости, $ A$ -- амплитуда, $ \varphi$ -- начальная фаза. Первые два параметра относятся к числу "фундаментальных постоянных" модели, вторые два -- к числу начально-краевых условий. Подставляя (232) в (231), получаем для функции $ \Phi_{\beta}(\alpha)$ $ (\beta=\{A,\varphi,T\},$ $ \alpha=\{m,k\})$ в (229):

$\displaystyle \Phi_{(A,\varphi,T)}(k,m)\equiv\int\limits_{0}^TL(x_0(t),\dot x_0)  dt=$ (233)

$\displaystyle \frac{kA^2}{4\omega}\left[\sin2(\omega
T+\varphi)-\sin2\varphi\right].
$

Здесь появился еще один параметр $ T$ -- "время существования" осциллятора. Очевидно, что экстремумы по $ k$ и по $ A$ тривиальны и дают нулевое действие. Условия экстремума для параметров $ \omega$ и $ \varphi$ принимают вид системы уравнений:

$\displaystyle (\chi-2\varphi)\cos\varphi-\sin\chi+\sin2\varphi=0;\quad \cos\chi=\cos2\varphi,$ (234)
где $ \chi\equiv2(\omega T+\varphi).$ Общее решение второго уравнения имеет вид:

$\displaystyle \chi=\varphi+\pi n\Rightarrow \omega=\omega_n=\frac{\pi n}{T}, \quad n\in \mathbb{Z}.$ (235)
Разумеется, для обычного осциллятора в виде грузика на нити или на пружинке у нас нет никаких оснований применять супервариационный принцип, поскольку такого рода осцилляторы искусственны и их параметры в определенном смысле случайны. Однако для "фундаментальных осцилляторов" в виде частиц или квазичастиц, рассмотренная нами супервариационная процедура дает в принципиальном (но, конечно, не количественном!) плане правдоподобные результаты: элементарные возбуждения связаны с глобальными фундаментальными характеристиками системы. Более того, спектр колебаний такого осциллятора согласно (235) оказывается квантованным и эквидистантным, как в квантовой механике.

15.5.2.  Супервариационная процедура для потенциала

Рассмотренные выше идеи, касающиеся фундаментальных параметров теории, нетрудно распространить также и на фундаментальные зависимости теории, типа зависимостей ее потенциала от полевых переменных. Пусть действие некоторой полевой теории имеет вид:

$\displaystyle \mathcal{S}[\phi]=\int\mathcal{L}(\phi,\partial\phi)  d$vol$\displaystyle ,$ (236)
где лагранжиан $ \mathcal{L}=(\partial\phi)^2-U(\phi,\partial\phi).$ Пусть следствием уравнений Эйлера-Лагранжа является интеграл (или система интегралов) вида:

$\displaystyle F(\phi,\partial\phi)=0.$ (237)
Если интеграл (237) это позволяет сделать, то исключим с помощью него кинетический член в лагранжиане $ \mathcal{L}.$ Обозначая совокупность переменных, от которых зависит потенциал $ U$ через $ y,$ а остальную совокупность через $ x'$ , приведем действие (236) к виду:

$\displaystyle \mathcal{S}[\phi]\vert _{F}=\int\mathcal{L}\vert _F d$vol$\displaystyle = \int\mathcal{L}'(x',y, U(y),\partial U(y))J(x',y) d$vol$\displaystyle _y\wedge d$vol$\displaystyle _{x'}\equiv\mathcal{S}'[U(y)]$ (238)
-- функционала относительно функции $ \mathcal{U}(y).$ Новое действие (238) получается ограничением исходного действия (236) на интеграл (237) и переходом от координатных переменных $ (x)$ к новой системе "полевых координат" $ (x',y)$ ($ J$ в (238) -- якобиан перехода). При этом совокупность переменных $ x'$ представляет собой совокупность параметров, по которым в последнем знаке равенства в (238) произведено усреднение (интегрирование с регуляризацией, если она требуется). Таким образом, рассматривая теперь функционал $ \mathcal{S}'[U(y)],$ приходим к уравнениям эксремума:

$\displaystyle \delta_U\mathcal{S}'[U(y)]=0,$ (239)
определяющим потенциал с точностью до констант.


15.6.  Пример 2: суперэкстремум в теории $ h$ -поля

Сейчас мы установим еще одно интересное свойство лагранжиана в (192): он обеспечивает существование вполне определенного суперэкстремума, который мы найдем с точностью до пары констант. Из интеграла (195) можно вывести следующее выражение для квадрата модуля неголоморфности:

$\displaystyle \mathcal{X}=\frac{\vert\varphi\vert^2}{(1-\mathcal{U}')^2}.$ (240)
Подставляя его29 в действие (192) и переходя от переменных $ (h,\bar h)$ к новым переменным30 $ (\mathcal{X},X'),$ приходим к новому действию вида:

$\displaystyle \mathcal{S}'[\mathcal{U}(\mathcal{X})]=\int\left[\frac{\vert\varphi\vert^2}{(1-\mathcal{U}')^2}-\mathcal{U}\right] 
d\mathcal{X}\wedge dX'.
$

Варьируя его по $ \mathcal{U}$ и исключая $ \vert\varphi\vert^2$ посредством (240), мы приходим к уравнению суперэкстремума теории:

$\displaystyle \frac{d}{d\mathcal{X}}\left(\frac{\mathcal{X}}{1-\mathcal{U}'}\right)=-\frac{1}{2}.
$

Его решение имеет вид:

$\displaystyle \mathcal{U}^\checkmark(\mathcal{X})=3\mathcal{X}+\mathcal{U}_0-2\mathcal{U}_1\ln\left\vert 1+\frac{\mathcal{X}}{\mathcal{U}_1}\right\vert,$ (241)
где $ \mathcal{U}_0,\mathcal{U}_1$ -- пара "фундаментальных констант" теории.
\includegraphics[width=.35\textwidth,clip]{U.eps}
Рис. 33. $ U^{\checkmark}(\mathcal{X})$ при $ \mathcal{U}_0=0,$ $ \mathcal{U}_1=\pm1$ .


15.7.  Статический Гиперлэнд

В настоящей статье мы ограничимся подробным исследованием статического Гиперлэнда. В статическом Гиперлэнде по определению существует такая система координат, в которой потенциал $ F$ не зависит от $ t$ :

$\displaystyle F_{,t}=0\Rightarrow U_{,t}=V_{,t}=0.$ (242)
С учетом формулы (214) получаем следующее выражение для неголоморфности

$\displaystyle N=F_{,\bar h}=\frac{1}{2}U_{,x}(\tanh(\phi_1+\phi_2)-j)\Rightarrow \vert F_{,\bar h}\vert^2=\mathcal{X}=-\frac{U_{,x}^2}{4\cosh^2(\phi_1+\phi_2)},$ (243)
который получается с учетом общего уравнения (214). Поскольку $ U$ и $ V$ не зависят от $ t,$ не должен зависеть от $ t$ и аргумент гиперболического тангенса $ \phi_1(t+x)+\phi_2(t-x).$ Нетрудно показать, что это возможно только в случае линейных функций $ \phi_1$ и $ \phi_2,$ так что в результате получим: $ \phi_1+\phi_2=Ax+B,$ $ A,B\in \mathbb{R}.$ После надлежащего выбора начала отсчета на оси $ x,$ неголоморфность $ \mathcal{X}$ приводится к виду:

$\displaystyle \mathcal{X}=-\frac{U_{,x}^2}{4\cosh^2(Ax)}.$ (244)
Подставляя это выражение $ \mathcal{X}$ в действие (192) с потенциалом $ \mathcal{U}^\checkmark$ :

$\displaystyle \mathcal{S}^\checkmark=\int\limits_{H}\left(2\mathcal{U}_1\ln\lef...
...al{X}}{\mathcal{U}_1}\right\vert-2\mathcal{X}-\mathcal{U}_0\right) dt\wedge dx$ (245)
и варьируя его по $ U(x),$ мы получим уравнение поля в форме:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial\mathcal{L}^\checkmark}{\partial U'}\right)=0,$ (246)
где $ \mathcal{L}^{\checkmark}$ -- лагранжиан модели (подынтегральное выражение в (245) -- оно не зависит от поля $ U(x),$ а зависит только от его производных). После однократного интегрирования и простых преобразований (246), мы приходим к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка на $ U(x)$ вида:

$\displaystyle Z^3+\alpha \cosh(Ax)(Z^2-\epsilon)=0,$ (247)
где

$\displaystyle Z\equiv\frac{U_{,x}}{2\sqrt{\vert\mathcal{U}_1\vert}\cosh(Ax)}, \epsilon\equiv$sign$\displaystyle (\mathcal{U}_1),$ (248)
$ \alpha$ -- пока неопределенная безразмерная константа. Его непосредственное интегрирование неудобно ввиду громоздкости явного вида ветвей решения кубического уравнения. Вместо этого в дальнейших вычислениях мы будем использовать величину $ Z$ как параметр, а уравнение (247) будем понимать как определение неявной зависимости $ x(Z)$ (локально). Для дальнейшего продвижения в вычислении свойств статической вселенной Гиперлэнда, нам необходимо определить число и тип существенных фундаментальных констант этой вселенной и попытаться вычислить эти константы с помощью экстравариационного принципа. Для этой цели перепишем действие (245) в виде, в котором роль всех констант видна наиболее отчетливо:

$\displaystyle \mathcal{S}^\checkmark=\vert\mathcal{U}_1\vert T \int\limits\limi...
...L/2}^{L/2}\left(Z^2+\epsilon\ln\left(1-\epsilon Z^2\right)-\Lambda\right)  dx,$ (249)
где $ \Lambda=\mathcal{U}_0/\mathcal{U}_1.$ Все параметры вселенной Гиперлэнда сведены в следующей таблице.
Фундаментальные константы статического Гиперлэнда


Константа Смысл Значение
$ \Lambda$ энергия существенна=?
  вакуума  
$ \vert\mathcal{U}_1\vert$ ед. измерения несущественна
  энергии  
$ \epsilon$ форма существенна$ =0,\pm1$ -?
  потенциала (рис.33)  
$ A$ единица длины$ {}^{-1}$ несущественна
$ \alpha$ безразмерная существенна, =?
  "структурная константа" (247)  
$ L$ "размеры $ \infty$
$ T$ пространства-времени" $ \infty$
Как это видно из выражения (247) и приведенной таблицы, все существенные свойства вселенной Гиперлэнда определяются тремя константами: $ \Lambda,$ $ \alpha^2$ и $ \epsilon,$ причем последняя может принимать лишь два значения31 $ \pm1.$ Попытаемся вычислить константу $ \alpha^2.$ Для этой цели перейдем в действии (249) к новой координате $ Z$ с помощью формулы:

$\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\sqrt{Z^6-\alpha^2(\epsilon-Z^2)^2}(\epsilon-Z^2)}{Z^2(3\epsilon -Z^2)},$ (250)
которая получается дифференцированием (247) по $ x.$ С учетом формулы:

$\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial \alpha}=-\frac{Z}{\alpha},
\vrule depth15pt width0pt
$

которая получается из (247) дифференцированием по $ \alpha,$ условие экстремума действия $ \partial\mathcal{S}^\checkmark/\partial\alpha=0$ можно привести к виду:

$\displaystyle \int\limits_{s^\ast(\alpha^2)}^\infty\frac{s^{5/2}(3-\epsilon s)}{(1-\epsilon s)^2\sqrt{s^3-\alpha^2(1-\epsilon s)^2}} ds=0,$ (251)
где $ s^{\ast3}-\alpha^2(1-\epsilon s^\ast)^2=0,$ $ s=Z^2.$ Интеграл (251) расходится: он ведет себя как $ O(s)$ при $ s\to\infty$ и, кроме того, имеет конечную неинтегрируемую особенность! Первая причина расходимости является вполне естественной в рассматриваемой нами модели: она связана с некомпактностью 2-мерного пространства-времени. Ее можно избежать, заключая вселенную Гиперлэнда в "пространственный ящик" размерами $ L,$ а затем после вычислений в конечном результате переходя к пределу $ L\to\infty.$ Это, однако, не устраняет вторую причину расходимости интеграла (251) -- конечную особенность в точке, в которой подкоренное выражение в знаменателе обращается в ноль. Оказывается, только при $ \epsilon=+1$ существует единственное значение константы

$\displaystyle \alpha^2=\alpha_0^2=\frac{27}{4},$ (252)
при котором нуль подкоренного выражения и нуль числителя совпадают и интеграл регуляризуется. Значение $ \alpha_0=\pm3\sqrt3/2$ (выбор знака в дальнейшем несущественен) мы и примем за значение $ \alpha$ в статической вселенной Гиперлэнда32. В процессе определения структурной константы $ \alpha$ определилось и значение дискретной константы $ \epsilon$ : только ветвь с $ \epsilon=+1$ допускает регуляризацию интеграла (251). Отметим, что энергия вакуума $ \Lambda$ на данном этапе не вычисляется с помощью вариационного принципа, поскольку $ \Lambda$ входит в действие тривиально. Теперь мы можем описать вещество Гиперлэнда (мы будем далее называть его даблонной материей или даблоном, помня об его алгебраическом источнике -- двойных числах). Формулы (226) для плотности энергии и давления даблонной материи с учетом (244) и (248) принимают следующий вид:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\varepsilon p \end{array}\right\}=\Lambda-2\ln\vert 1-Z^2\vert-\frac{2Z^2(1\pm Z^2)}{1-Z^2}.$ (253)
В совокупности с формулами:

$\displaystyle \cosh x=\frac{Z^3}{\alpha_0(1-Z^2)};\quad r=V=\frac{Z^4-Z^2+2}{1-Z^2}+\ln\vert 1-Z^2\vert$ (254)
(вторая формула получается из первой с помощью (214) и второго соотношения в (171)) мы имеем теперь все соотношения для описания свойств вселенной Гиперлэнда. Поскольку в (253) $ \varepsilon$ и $ p$ зависят от $ Z,$ мы заключаем, что в статическом Гиперлэнде плотность энергии и давления связаны уравнением состояния вида $ p=p(\varepsilon).$ Оказывается, оно имеет три различные ветви с разными свойствами. Чтобы выявить этот факт, обратимся к первому соотношению (254). Оно, фактически, выделяет физические области изменения параметра $ Z$ : ввиду того, что $ \cosh x\ge 1,$ допустимы лишь те значения $ Z,$ при которых правая часть больше единицы. На левом графике 34 показана зависимость $ {Z^3}/{\alpha_0(1-Z^2)}.$ Черная горизонтальная линия ограничивает допустимые значения гиперболического косинуса -- они лежат выше нее. Допустимые части ветвей отмеченной зависимости представлены синим (справа), красным (ы центре) и зеленым (слева) цветами. На графике справа показаны соответствующие ветви уравнения состояния (синяя -- слева, красная -- справа, зеленая -- по центру, близко к оси ординат), которое задается параметрически при соотвествующих значениях $ Z$ (ветви одного цвета на левых и правых графиках соответствуют друг другу).



\includegraphics[width=.35\textwidth,clip]{phys.eps}
 
\includegraphics[width=.35\textwidth,clip]{state1.eps}
Рис. 34. Три физических области $ Z$ и три ветви уравнения состояния дублона (синяя, красная и зеленая) $ \Lambda=0$ .


Чтобы изобразить все три ветви на одном графике, необходимо было выбрать достаточно мелкий масштаб, при котором ускользают некоторые любопытные детали. Зеленая и красная ветви сливаются в одну непрерывную кривую. При выбранном значении энергии вакуума $ (\Lambda=0)$ она не проходит через ноль имеет точку максимального приближения к оси давлений, давление на этой ветви состояния всегда больше нуля, плотность энергии на зеленой ветви меньше нуля, а на красной -- меняет знак. Синяя ветвь не доходит до нуля. Отметим также, что выделенность значения $ \alpha_0,$ полученного нами на основании сображений регуляризации уравнения экстравариационного принципа, проявляется на левом графике 34 в том, что именно при этом значении $ \alpha$ зеленая и красная ветви уравнения состояния даблона начинают соприкасаться (красно-зеленая ветвь кривой касается горизонтальной прямой). Охарактеризуем более подробно различные состояния даблона. На рис. 35 представлены профили плотности энергии и давления "синего состояния".



\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{b1.eps}
 
\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{b2.eps}
Рис. 35. $ \varepsilon(r)$ и $ p(r)$ "синего даблона" $ (\Lambda=-5).$


Графики 35 получаются из (253) подстановкой туда $ Z\in(\sqrt3/2;+\infty),$ соответствующего синей ветви на рис. 34 (слева). При выбранном $ \Lambda=-5$ (для каждого цвета оно выбирается пока условно для удобства изображения) плотность энергии и давление оказываются отрицательными, при этом давление возрастает по направлению к границе "синего состояния". Эта граница определяется равенством давления даблона внешнему давлению вакуума. Отрицательность давления означает, что вещество даблона в "синем состоянии" подвержено растяжению. Поскольку вся система находится в равновесии, градиент давления должен уравновешивать некоторую универсальную коллективную самосогласованную силу, действующую на каждый одномерный элемент объема даблонной материи в Гиперлэнде:

$\displaystyle f-p'=0.$ (255)
Вычисляя градиент $ p,$ получим зависимость этой силы от расстояния внутри "синего даблона" (рис.36).



\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{b3.eps}
Рис. 36. Рис. 36. $ f(r)$ внутри "синего даблона".


Из приведенного рисунка видно, что эта сила проявляет себя здесь как сила отталкивания со следующими асимптотическими характеристиками:

$\displaystyle f\stackrel{r\to\infty}{=}\frac{2}{r};\quad
f\stackrel{r\to0}{=}\frac{2}{9}.
$

Рисунки 37-38 иллюстрируют ситуацию с красным состоянием даблона.



\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{r1.eps}
 
\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{r2.eps}
Рис. 37. $ \varepsilon(r)$ и $ p(r)$ "красного даблона" $ (\Lambda=-1.5)$



\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{r3.eps}
Рис. 38. $ f(r)$ внутри "красного даблона".


Внутри красного даблона также действует фундаментальная сила отталкивания с асимптотическими характеристиками:

$\displaystyle f\stackrel{r\to\infty}{=}\frac{2}{r};\quad f\stackrel{r\to0}{=}\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{r}}.
$

Наконец, зеленое состояние даблона характеризуется графиками 39-40.



\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{g1.eps}
 
\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{g2.eps}
Рис. 39. $ \varepsilon(r)$ и $ p(r)$ для "зеленого даблона" $ (\Lambda=20).$



\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{g3.eps}
Рис. 40. $ f(r)$ внутри "зеленого даблона".


В отличие от синего и красного состояния, зеленое состояние характеризуется силой притяжения с асимпотическими характеристиками:

$\displaystyle f\stackrel{r\to\infty}{=}2-\frac{4}{r},\quad f\stackrel{r\to0}{=}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{r}}.
$

Мы видим, что статическая вселенная Гиперлэнда достаточно просто и несимметрично структурирована: в ней есть элементарные локализованные состояния даблонной материи с различными свойствами. Подчеркнем, что, как число даблонных состояний, так и их (весьма конкретные!) свойства мы вывели из достаточно общих принципов: принципа алгебраизации и экстравариационного принципа. Если описанные выше даблонные состояния принять за элементарные составляющие статического Гиперлэнда (элементарные частицы? атомы?), то далее возникает естественный вопрос о возможности существования более сложных составных конфигураций элементарных составляющих (химии и физики конденсированного состояния, ядерной физики Гиперлэнда). Мы выносим обсуждение этих вопросов в следующие публикации.
След.: 16.  Что дальше? Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 14.  Конформная теория относительности