• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение


• 2. Алгебра $\mathbb{C}$ и некоторые ее приложения
• 2.1. Алгебра $\mathbb{C}$
• 2.2. Геометрия $\mathbb{C}$
• 2.3. Дробно-линейные преобразования
• 2.4. Стереографическая проекция
• 2.5. Спиноры над $\mathbb{C}$
• 2.6. Голоморфные отображения $\mathbb{C}\to \mathbb{C}.$
• 2.7. Аналитический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций
• 2.8. Топологический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций.
• 2.9. Геометрический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.10. Физический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.11. Фрактальный аспект отображений $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений


• 3. Алгебра и геометрия двойных чисел $H$


• 4. Элементарные функции на $H$
• 4.1. Степенные функции $F(h)=h^n,\n\in \mathbb{Z}.$
• 4.2. Экспонента двойной переменной $w=e^h$
• 4.3. Тригонометрические функции $\sin h,$ $\cos h$ и обратные к ним
• 4.4. Тригонометрические функции $\tan h$ , $\cot h$ и обратные к ним
• 4.5. Гиперболические функции $\sinh h$ , $\cosh h$ , $\tanh h$ , $\coth h$ и обратные к ним


• 5. Изотропный базис и аналитическое продолжение


• 6. Компактификация $H$


• 7. Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на $H$


• 8. Гиперболические спиноры $\mathfrak{S}(H)$


• 9. $h$ - голоморфные функции двойной переменной
• 9.1. Гиперболические условия Коши-Римана
• 9.2. $h$ -гармонические функции
• 9.3. Конформное свойство


• 10. Теорема и формула Коши


• 11. "Фракталы" на двойных числах


• 12. Теория гиперболического потенциала на $H$
• 12.1. Поле гиперболического точечного источника
• 12.2. $h$ -дуальная интерпретация
• 12.3. $h$ -вихреисточник
• 12.4. Гиперболический цилиндр в постоянном поле
• 12.5. $h$ -мультиполя


• 13. 2-мерная СТО
• 13.1. 2-мерное пространство-время и векторные операции в нем
• 13.2. Алгебра изометрий
• 13.3. Коалгебра $H^\ast$
• 13.4. Системы отсчета на $\mathcal {M}_2$


• 14. Конформная теория относительности
• 14.1. Конформный сдвиг частоты


• 15. Алгебраическая теория пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперлэнде)
• 15.1. Общая идея
• 15.2. Вариационный принцип и уравнения поля
• 15.3. Первый интеграл и его следствия
• 15.4. Тензор энергии-импульса и характеристики источников
• 15.5. Супервариационный принцип для фундаментальных теорий
• 15.6. Пример 2: суперэкстремум в теории $h$ -поля
• 15.7. Статический Гиперлэнд


• 16. Что дальше?


• 17. Заключение
• 17.1. Комплексные или двойные числа?
• 17.2. КТО и физика Гиперлэнда


• Литература

17.  Заключение

Мы рассмотрели алгебраические, аналитические, геометрические, фрактальные и физические аспекты алгебры двойных чисел. Наш анализ обнаружил несколько замечательных фактов, которые мы сейчас перечислим.

17.1.  Комплексные или двойные числа?

1. Наличие делителей нуля в алгебре двойных чисел не является серьезным препятствием для их приложений. Более того, именно наличие делителей нуля в этой алгебре, в конечном счете, обусловливают релятивистский аспект физических приложений (2-мерная СТО и ее конформное расширение).
2. Факт сведения алгебры двойных чисел к прямой сумме двух вещественных алгебр, несомненно, позволяет утверждать, что эта алгебра устроена проще, чем алгебра комплексных чисел. Тем более удивительным становится наличие гиперболических аналогов большей части комплексных объектов (гиперболические дробно-линейные преобразования, гиперболические спиноры, $h$ -голоморфные функции, гиперболические конформные преобразования, гиперболические условия Коши-Римана и гиперболическая гармоничность и т.д.) с аналогичными свойствами.
3. Разумеется, не все факты комплексного анализа имеют полные гиперболические аналоги (таковых нет в точном смысле для интегральной формулы Коши, для фракталов, для совпадения классов голоморфных и аналитических функций и ряда других фактов). При этом, однако, не все факты алгебры двойных чисел имеют комплексные аналоги (к примеру, на комплексной плоскости нет изотропного базиса и тесно связанной с ним конформной структуры). Наконец, часть родственных фактов осталось просто незатронутой в этой статье (например, мы совсем не коснулись гиперболического аналога стереографической проекции, поскольку такая конструкция (она существует!) требует выхода в алгебру тройных чисел -- 3-мерное непосредственное (и простейшее) обобщение алгебры двойных чисел. Этому вопросу будет посвящена специальная публикация в будущем). Отметим, что возможность естественного и непосредственного многомерного обобщения алгебры двойных чисел, также является характерным отличительным свойством этой алгебры. Скажем, в алгебре квадрачисел $P_4$ (вещественная размерность 4 -- см. раздел 16) все изотропные измерения равноправны, в то время как 4 вещественных измерения $\mathbb{C}^2$ комбинируются с точки зрения комплексной структуры в пару комплексных прямых.
4. Можно сказать, что алгебры комплексных и двойных чисел в определенном смысле дополняют друг друга. Наиболее рельефно мы можем наблюдать это в физике Гиперлэнда: в ней имеется целая "лакуна реальности", которая не описывается действием, построенным на алгебре двойных чисел. Действительно, если строить голоморфную теорию 2-мерной Вселенной, опираясь на алгебру комплексных чисел (назовем ее Эллиплэндом) и повторяя дословно все рассуждения, мы придем к уравнению (247) c тригонометрическим косинусом. Его область значений $[-1;1]$ выделит на графиках 34 область физических значений $Z,$ которые не попали в Гиперлэнд. Ей будет соответствовать небольшой кусочек синей ветви уравнения состояния вблизи нуля на правом графике -- это часть реальности 2-мерной вселенной. Можно сказать, что воображаемые жители Гиперлэнда (назовем их гиперболонами), исследуя свой мир, могли бы прийти чисто "феноменологическим путем" к алгебре комплексных чисел, исследуя закономерности поведения вещества своей вселенной. Напротив, недостаточность алгебры комплексных чисел для описания свойств Эллиплэнда также могла быть установлена воображаемыми эллиптонами феноменологически. Полная картина возникает только при одновременном использовании алгебр $\mathbb{C}$ и $H,$ при этом диаграмма на рис. 1 приобретает даже некоторый буквальный физический смысл.

17.2.  КТО и физика Гиперлэнда

1. Концепция КТО занимает промежуточное место между специальной и общей теориями относительности. С одной стороны, мы строим теорию поля в плоском двумерном пространстве-времени, с другой -- расширяем множество изометрических преобразований, оставляющих метрику форминвариантной, до множества конформных преобразований, которые образуют бесконечномерную группу. При этом физико-геометрические эффекты, порождаемые гиперболическим полем, могут быть истолкованы на языке эффективной метрики пространства-времени (полученной деформацией плоской метрики Минковского в декартовых координатах). Мы, однако, становимся на активную точку зрения на координатные преобразования, согласно которой деформируется само пространство-время, в то время как псевдоевклидова метрика считается недеформируемой (отсчетной). Наглядно деформация пространства-времени в нашем подходе представлена на рис. 43.

   
   

   
   
   

   Рис. 43. Деформация пространства-времени в ОТО (сверху) и в $h$ -голоморфном подходе (снизу). В ОТО деформации пространства-времени в общем случае связаны с изгибанием пространственно-временной мембраны, приводящими к кривизне, в то время как в $h$ -голоморфном подходе деформация пространственно-временной мембраны сводится к растяжениям-сжатиям, оставляющим внутреннюю кривизну нулевой.

   
   Общее обсуждение теории пространства-времени с позиций теории упругости многомерных сплошных сред можно найти в [36,37].

2. В пустом пространстве-времени $h$ -поле описывается $h$ -голоморфной функцией двойной переменной. Условия гиперболической голоморфности (100) автоматически обеспечивают волновой характер $h$ -поля $F$ в этом случае, равно как и конформную инвариантность вместе со спецрелятивистской инвариантностью.
3. В пустом пространстве-времени $h$ -поле проявляет себя в эффектах конформной деформации хроноинтервалов и пространственных длин, принципиально доступных экспериментальному наблюдению. С позиций классических специальной и общей теорий относительности эти эффекты объясняются на геометрическом языке, включающем спецрелятивистские эффекты и кривизну. В частности, формулы (182)-(183) по всей видимости представляют собой альтернативное выражение классического эффекта гравитационного красного смещения, традиционно описываемого в рамках геометрических теорий гравитации с помощью неоднородной метрики временных промежутков. Вопрос о точном соотношении теории относительности с развиваемым в настоящей статье подходом мы оставляем для будущих исследований. По всей видимости предлагаемый подход является альтернативным к ОТО (в ее двумерной версии) и ни одна из теорий не является частным или предельным случаем другой.
4. Области пространства-времени, заполненные материей, характеризуются отличным от нуля квадратом модуля неголоморфности $\mathcal{X}=\vert F_{\bar h}\vert^2.$ При этом все основные свойства материи (плотность энергии, давление и их связь) определяются видом потенциальной функции $\mathcal{U}(\mathcal{X}).$ Выбор действия в виде (192) автоматически обеспечивает как согласованность с предыдущим пунктом, так и возможность описания протяженных конфигураций материи (соотношение (214) и обсуждение в конце раздела 15.3). Отметим некоторую условность разделения лагранжиана в (192) на кинетическое и потенциальное слагаемые: первое (кинетическое) слагаемое, рассматриваемое под знаком интеграла в действии (192) может быть преобразовано в выражение $X$ с помощью двукратного перекрестного применения формулы интегрирования по частям. Таким образом, можно считать, что излагаемый нами подход не содержит кинетического члена в действии и описывает статическое пространственно-временное равновесие 2-мерной вселенной. Такая точка зрения в несколько ином аспекте высказывалась ранее в работе [38].
5. Возможна ситуация, когда величина $\mathcal{X}=0,$ в то время как сама неголоморфность $F_{,\bar h}\neq0.$ Такая неголоморфность должна соответствовать "материи", которая в некотором смысле близка по своим свойствам к пустому пространству-времени. Выскажем здесь гипотезу, согласно которой неголоморфность с нулевым модулем описывает безмассовые физические поля (гравитацию и (или) электромагнетизм). Эта гипотеза частично подкрепляется следующим наблюдением: формулы (227) при $\mathcal{X}=0$ дают уравнение состояния материи вида $p=\varepsilon,$ которое в случае 2-мерного пространства-времени описывает газ ультрарелятивистских частиц³³.
6. Новые интересные и перспективные возможности излагаемого подхода открывает изложенная нами в общих чертах в разделе 15.5 супервариационная процедура. С одной стороны, эта процедура применима к любой фундаментальной теории поля. Она дает принципиальную возможность рассчитать как фундаментальные параметры теории, так и ее фундаментальные зависимости, не выходя за рамки самой теории. С другой стороны, как это показывает более тщательный анализ [35], не для всякой теории поля супервариационный принцип дает содержательные результаты. В разделе 15.6 мы установили, что теории $h$ -голоморфных полей с действием вида (192) имеют суперэкстремум вида (241), который и представляет собой ту единственную уникальную модель пространства-времени-материи, которая и подлежит детальному изучению в рамках данной теории.

Более реалистичные и богатые по физическому содержанию ситуации возникают при обобщении развитого подхода на случай поличисел $\mathcal{H}_n$ высших измерений. При этом основные положения и интерпретация теории, оставаясь в своих общих чертах неизменными, требуют некоторой доработки. Мы планируем посвятить таким обобщениям ряд будущих публикаций. След.: Литература Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 16.  Что дальше?