вход

Оглавление


1.  Введение

В современных физике и математике можно наблюдать развитие и взаимодействие двух подходов или даже стилей мышления: геометрического и алгебраического. Как геометрия, так и алгебра начинаются с абстрагирования вполне "элементарных" процедур: опыта визуального пространственного восприятия и счета соответственно. Слово "элементарные" взято в кавычки неслучайно: анализ, предпринятый математиками, физиками, психологами и философами, обнаруживает довольно сложный и опосредованный характер абстракций геометрии и алгебры. Интересное обсуждение взаимодействия геометрии и опыта можно найти в работах [3] и [4]. Оказывается, что геометрические представления, предписываемые евклидовой геометрией, опираются на опыт восприятия окружающего мира, в котором имеются твердые (или, точнее, относительно твердые) тела. Если бы окружающий мир был жидким, указывает А. Пуанкаре, то евклидова геометрия была бы недостаточна или даже бесполезна для описания его свойств, а ее место "естественной геометрии" заняла бы геометрия более с более общими свойствами, в которой единственным инвариантом был бы объем, а не длина. "Мир лучей света" описывается проективной геометрией, а свойства мира деформируемых сплошных сред более адекватно описываются в терминах общей римановой геометрии. Специальная и общая теории относительности, сформировавшиеся в первые десятилетия XX в. как ответ на вопиющую нестыковку фундаментального принципа относительности в его галилеевской форме и экспериментов с электромагнитными сигналами и гравитационными явлениями, привнесли в физику революционный тезис о том, что геометрия является предметом опыта, а не плодом априорных умозрительных заключений, как считал, например И. Кант и его последователи3. Развивая этот тезис, можно ожидать, что всякий новый класс объектов (реальных или воображаемых, т. е. используемых для теоретического описания реальных) подразумевает свою собственную "естественную" геометрию, справедливость которой можно установить экспериментируя с объектами или теоретически исследуя их свойства. Другими словами, исследователь, принимающийся за разработку той или иной проблемы, должен быть готов отказаться от привычных геометрических представлений и принять геометрию с весьма необычными свойствами, если она позволяет описать решение проблемы более ясным, содержательным и универсальным языком. Фундаментальная физика XX и XXI веков дает массу примеров обобщения геометрии по той простой причине, что одним из ее руководящих принципов стал принцип геометризации физических законов. Его суть сводится к тому, что ключевое понятие физики -- физическое взаимодействие -- описывается в терминах той или иной обобщенной геометрии. Можно сказать, что физики XX века пытаются обойтись без сил, сводя их действие на частицы и тела к некоторым фундаментальным геометрическим характеристикам пространства-времени (кривизна, правило параллельного переноса, дополнительные измерения и т. п.). Параллельно этому процессу геометризации можно отметить тесно связанный с ним процесс алгебраизации математики и физики. Дело в том, что понятия и концепции современной геометрии часто имеют столь абстрактный характер, что апелляция к наглядным образам и интуитивным геометрическим построениям оказываются ненадежными помощниками в решении тех или иных проблем. Рассмотрим, к примеру, следующий вопрос: чему равен объем правильного $ n+1$ -эдра с единичным ребром в $ n$ -мерном евклидовом пространстве? Для $ n=3$ ответ $ (\sqrt2/12)$ получается средствами элементарной геометрии. Уже при $ n=4$ геометрические рассуждения требуют весьма развитого многомерного воображения. Перевод же этой задачи на аналитический язык (например, язык векторной алгебры) позволяет обойтись минимальным числом геометрических рассуждений и получить4общий результат для любого $ n.$ В современных физике и математике приходится решать проблемы, связанные с геометрическими объектами намного "менее наглядными", чем $ n+1$ -эдр в евклидовом пространстве и потому алгебраизация задач в определенном смысле неизбежна. Более того, история развития физики и математики показывает, что геометрия и алгебра взаимно дополняют друг друга и находятся в глубоком родстве. Одним из простейших примеров такого родства служат комплексные числа. Хорошо известно, что алгебра комплексных чисел индуцирует евклидову геометрию на комплексной плоскости5. При этом, движения евклидовой плоскости (т. е. преобразования, оставляющие неизменными любые длины на ней) очень компактно и элегантно описываются на языке алгебры комплексных чисел. Возникает закономерный вопрос: существует ли алгебра, которая аналогичным образом индуцировала бы геометрию псевдоевклидовой плоскости? Актуальность вопроса связана с тем обстоятельством, что с позиций физики псевдоевклидова плоскость представляет собой усеченное до двух измерений пространство-время специальной теории относительности. Ответ на поставленный вопрос оказывается положительным: такая алгебра существует. Она носит название алгебры двойных чисел. Двойные числа (или, как их иногда называют, гиперболически комплексные или расщепляемые числа) известны довольно давно и применяются как в математике, так и в физике [6,7]. В связи с тем обстоятельством, что соответствующая им алгебра изоморфна прямой сумме двух алгебр вещественных чисел, свойства двойных чисел принято считать малоинтересными, а в сравнении с комплексными числами -- даже тривиальными. В настоящих лекциях мы выявим ошибочность подобных мнений и покажем, что возможности алгебры и анализа (вернее, $ h$ -анализа) двойных чисел вместе с соответствующей им геометрией двумерной плоскости еще далеки от своего хоть в каком-нибудь смысле полного исследования. Мы увидим, что во многих отношениях двойные числа "ни в чем не уступают" комплексным числам. Учитывая отмеченную выше связь двойных чисел со специальной теорией относительности, мы подготовим для физики новые плодотворные почву и идеи, имеющие чисто алгебраические основания. Многомерные обобщения двойных чисел носят название поличисел или $ n$ -чисел и обозначаются $ P_n$ или $ \mathcal{H}_n.$ Мы увидим, что двойные числа $ \mathcal{H}_2$ занимают выделенную роль в ряду алгебр $ \mathcal{H}_n.$ В частности, лишь двойные числа индуцируют геометрию с квадратом нормы векторов. В геометриях $ \mathcal {H}_n$ при $ n>2$ возникают т. н. полинормы, связанные с $ n$ -ми степенями нормы векторов. Такие геометрии относятся к очень специальным (и в техническом плане самым простым!) классам финслеровых геометрий. Нетривиальность их содержания в настоящих лекциях мы проиллюстрируем на примере введения в них понятия углов (бинглов и тринглов). Мы увидим, что правильно выбранный руководящий принцип (в нашем случае это будет принцип деформации евклидовой геометрии, сформулированный в [8]) позволяет довольно уверенно ориентироваться на неизвестной территории и получать содержательные и конкретные формулы для вычисления углов, которые, как обнаруживает их последующий анализ, обладают высокой степенью симметрии и глубоким геометрическим смыслом. Лекции делятся на три части. По методическим соображениям геометрическая часть лекций, связанная главным образом с геометрией пространства $ \mathcal{H}_3,$ вынесена в первую часть. Алгебра и набросок теории функций двойной переменной вынесен во вторую часть. Третья часть представляет собой изложение 2-мерных специальной теории относительности и электродинамики на языке алгебры и анализа двойных чисел. Материал лекций предполагает знакомство читателя со стандартными курсами математического анализа, ТФКП, дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, вариационного исчисления, основами СТО и электродинамики.
Далее: 2.  Полиуглы в пространствах Вверх: Лекции по финслеровой геометрии Previous: Лекции по финслеровой геометрии