вход

Оглавление


3.  Природа третьего закона Ньютона

Логическую незавершенность механических экспериментов и уравнений динамики без третьего закона Ньютона мы уже обсуждали в предыдущей лекции. В ее последней части мы показали, что законы 3-мерной динамики можно свести к законам 4-мерной статики абсолютных историй в 4-мерном мире Минковского. Эта статика, как и обычная 3-мерная, опирается на законы равновесия (равенство нулю равнодействующей сил и моментов) и третий закон Ньютона. Для того чтобы получше разобраться с природой этих законов и их отношением друг к другу, обратимся к аксиоматике классической механики Ньютона, развитой в работах У. Нолла и его школы в 50-60-е годы XX века. Для наших целей мы несколько адаптируем изложение необходимых нам аксиом тел и сил [18]. Аксиоматика тел и сил в абстрактной форме заключает в себе общие свойства любых тел и любых сил, с которыми приходится иметь дело в классической механике. Будем рассматривать тела $ \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\dots$ как элементы некоторого универсального множества $ \Omega,$ называемого механической вселенной. Между телами существуют обычные отношение включения (например, $ \mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ - "тело $ \mathcal{A}$ является частью тела $ \mathcal{B}$ ") и операции наложения тел $ \mathcal{A}\cap\mathcal{B}$ ("общая часть") и их соединения $ \mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ ("составное тело") со всеми своими обычными свойствами. Пустое тело будем изображать символом $ \emptyset,$ а всеобъемлющее -- символом $ \aleph.$ Эти тела обладают характерными для них свойствами:

$\displaystyle \emptyset\subseteq\mathcal{A}$   для всех$\displaystyle \quad \mathcal{A}\in\Omega;\quad \mathcal{A}\subseteq\aleph$   для всех$\displaystyle \quad \mathcal{A}\in\Omega. $

Если два тела не имеют никаких других общих частей кроме $ \emptyset,$ они называются отделенными. Для любого тела $ \mathcal{A}\in \Omega$ существует единственное тело $ \mathcal{A}^{\text{ext}},$ называемое внешностью тела $ \mathcal{A},$ такое что

$\displaystyle \mathcal{A}\cup\mathcal{A}^{\text{ext}}=\aleph;\quad \mathcal{A}\cap\mathcal{A}^{\text{ext}}=\emptyset. $

Очевидны следующие соотношения:

$\displaystyle \emptyset^{\text{ext}}=\aleph;\quad \aleph^{\text{ext}}=\emptyset, $

а также соотношения:

$\displaystyle (\mathcal{A}^{\text{ext}})^{\text{ext}}=\mathcal{A};\quad \text{и... ...al{B}\quad\text{следует}\quad\mathcal{A}\cap\mathcal{B}^{\text{ext}}=\emptyset.$ (14)

Обратное к последнему также верно во вселенной $ \Omega$ : единственными телами, отделенными от $ \mathcal{A}^{\text{ext}}$ являются части тела $ \mathcal{A}.$ Нетрудно убедиться и в справедливости соотношений де Моргана:

$\displaystyle (\mathcal{A}\cup\mathcal{B})^{\text{ext}}=\mathcal{A}^{\text{ext}... ...\mathcal{B})^{\text{ext}}=\mathcal{A}^{\text{ext}}\cup\mathcal{B}^{\text{ext}};$ (15)

Имеет место важная формула разложения:

$\displaystyle \mathcal{A}=\mathcal{B}\cup(A\cap\mathcal{B}^{\text{ext}}),$ (16)

для любого тела $ \mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}.$ При этом компоненты разложения отделены:

$\displaystyle \mathcal{B}\cap(A\cap\mathcal{B}^{\text{ext}})=\mathcal{A}\cap\mathcal{B}\cap\mathcal{B}^{\text{ext}}=\emptyset. $


Рассмотрим теперь векторнозначные функции на парах отделенных тел вида $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B}\vrule depth 15pt width0pt).$ Будем называть такой вектор силой, с которой тело $ \mathcal{B}$ действует на тело $ \mathcal{A}.$ В классической механике силы удовлетворяют принципам суперпозиции и аддитивности. Оба эти принципа отражаются свойствами аддитивности силовой функции по второму и первому аргументам соответственно:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B}\cup\mathcal{C})= \over... ...hcal{A})+\overrightarrow{F}(\mathcal{C},\mathcal{A}) \vrule depth 15pt width0pt$ (17)

для любых попарно отделенных тел $ \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}.$ Полагая в соотношениях аддитивности $ \mathcal{B}=\emptyset$ или $ \mathcal{C}=\emptyset,$ получаем, что для нулевого тела имеют место соотношения:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\emptyset,\mathcal{A})=\overrightarrow{F}(\mathcal{A},\emptyset)=\overrightarrow{0} \vrule depth 15pt width0pt $

для всякого тела $ \mathcal{A}\in\Omega.$ Рассмотрим теперь силу $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}})\vrule depth 15pt width0pt $ , с которой внешность тела $ \mathcal{A}$ воздействует на него. Эта сила в механике называется равнодействующей. Рассмотрим два отделенных тела $ \mathcal{A}$ и $ \mathcal{B}.$ Второе свойство (14) и формула разложения (16) в комбинации с тождествами де Моргана (15) дает:

$\displaystyle \mathcal{A}^{\text{ext}}=\mathcal{B}\cup(\mathcal{A}\cup\mathcal{... ...thcal{B}^{\text{ext}}=\mathcal{A}\cup(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})^{\text{ext}}.$ (18)

В силу принципа суперпозиции сил имеем:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}})= \overri... ...hcal{B},(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})^{\text{ext}}). \vrule depth 15pt width0pt $

Складывая оба уравнения, используя принцип аддитивности силы в обратную сторону и собирая выражения с внешностями в правой части получаем:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})+\overrightarrow{F}(\m... ...athcal{B},(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})^{\text{ext}}) \vrule depth 15pt width0pt$ (19)

-- основное тождество, необходимое для анализа природы третьего закона Ньютона. Из соотношения (19) следует, что в механической вселенной, в которой выполняются силовые принципы суперпозиции и аддитивности третий закон Ньютона имеет место тогда и только тогда, когда равнодействующая также является аддитивной функцией первого аргумента на отделенных телах:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})+\overrightarrow{F}(\m... ...rrightarrow{F}(\mathcal{B},\mathcal{B}^{\text{ext}}) \vrule depth 15pt width0pt$ (20)

для всех $ \mathcal{A}\in\Omega,$ $ \mathcal{B}\in\Omega$ и $ \mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\emptyset.$ Это утверждение составляет суть теоремы Нолла. Обозначим выражение $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})+\overrightarrow{F}(\mathcal{B},\overrightarrow{A})\vrule depth 15pt width0pt $ через $ \overrightarrow{\Delta}(\mathcal{A},\mathcal{B})\vrule depth 15pt width0pt $ и назовем его невязкой сил для тел $ \mathcal{A}$ и $ \mathcal{B}.$ Теорема Нолла утверждает, что невязка является мерой неаддитивности взаимодействия составного тела $ \mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ с окружением. Рассмотрим теперь мир статики. В статике для любого тела $ \mathcal{A}$ имеем: $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}})=0.\vrule depth 15pt width0pt $ Из теоремы Нолла сразу следует, что в мире статики невязка сил для любой пары тел тождественно равна нулю. Иными словами, в статике третий закон Ньютона выполняется в силу общих принципов суперпозиции и аддитивности сил. Нетрудно понять, что третий закон Ньютона оказывается сильнее, чем каждый из принципов суперпозиции или аддитивности по отдельности. Действительно, применяя третий закон к каждому слагаемому в условиях (17), убеждаемся, что условие аддитивности сил становится принципом суперпозиции и наоборот на любой тройке попарно разделенных тел. Это означает, что справедливость третьего закона и одного из принципов влечет справедливость второго принципа, в то время как сам третий закон вытекает из принципов суперпозиции и аддитивности лишь при дополнительном условии аддитивности равнодействующей, который из принципов аддитивности и суперпозиции не следует. Теперь попытаемся несколько обобщить формулировки для того, чтобы рассматривать силы взаимодействия и принципы суперпозиции и аддитивности не только на отделенных телах. Доопределим соотношения (17) на телах с отличным от нулевого тела наложением:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B}\cup\mathcal{C})= \over... ...ghtarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B}\cap\mathcal{C}); \vrule depth 15pt width0pt$ (21)

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{B}\cup\mathcal{C},\mathcal{A})= \over... ...ghtarrow{F}(\mathcal{B}\cap\mathcal{C},\mathcal{A}). \vrule depth 15pt width0pt$ (22)

Эти соотношения при $ \mathcal{B}\cap\mathcal{C}=\emptyset$ переходят в (17) и, фактически, учитывают, что силовое взаимодействие $ \mathcal{B}\cap\mathcal{C}$ , если оно отлично от нуля, в формулах (17) учитывается дважды. Рассмотрим теперь силу взаимодействия на телах $ \mathcal{A}$ и $ \mathcal{B}$ с $ \mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\mathcal{C}\neq\emptyset.$ Используя представления:

$\displaystyle \mathcal{A}=\mathcal{A}'\cup(\mathcal{A}\cap\mathcal{B});\quad \mathcal{B}=\mathcal{B}'\cup(\mathcal{A}\cap\mathcal{B});$ (23)

где $ \mathcal{A}'=\mathcal{A}\setminus\mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'=\mathcal{B}\setminus\mathcal{A}$ -- выступы $ \mathcal{A}$ над $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}$ над $ \mathcal{A}$ соответственно (со всеми свойствами теоретико-множественной разности), определим силу взаимодействия не отделенных тел следующим образом:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})= \overrightarrow{F}(\... ...B}), \mathcal{B}'\cup(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}))= \vrule depth 15pt width0pt $

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A}',\mathcal{B}')+\overrightarrow{F}(... ...thcal{A}\cap\mathcal{B},\mathcal{A}\cap\mathcal{B}). \vrule depth 15pt width0pt$ (24)

В случае отделенных тел наше определение переходит в тождество вида $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})= \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B}).\vrule depth 15pt width0pt $ В случае неотделенных оно читается так: сила, с которой тело $ \mathcal{B}$ действует на неотделенное от него тело $ \mathcal{A}$ складывается из силы действия выступа $ \mathcal{B}'$ на выступ $ \mathcal{A}',$ силы действия наложения на выступ $ \mathcal{A}',$ силы действия выступа $ \mathcal{B}'$ на наложение и силы действия наложения самого на себя, т.е. самодействия наложения. Первые три слагаемые - это обычные силы на отделенных телах, значит вся новизна в определении силового взаимодействия не отделенных тел содержится в свойствах сил самодействия вида $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A})\equiv\overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}).$ Выясним природу этой силы. Рассмотрим силу взаимодействия некоторого тела $ \mathcal{A}$ с всеобъемлющим телом $ \aleph.$ В силу нашего определения (24), имеем:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\aleph)=\overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}})+ \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}). $

Это означает, что силу самодействия можно представить как разность:

$\displaystyle \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A})= \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\aleph)-\overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}}) $

силы взаимодействия с всеобъемлющим телом и равнодействующей. Поскольку все обычные тела классической механики в определенном смысле "малы" по сравнению как с окружением, так и с всеобъемлющим телом, мы имеем10 $ \mathcal{A}^{\text{ext}}\approx\aleph$ и поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A})\approx0. $

Тем не менее, сила самодействия все же может возникать как результат неполной компенсации двух приблизительно равных величин. Покажем теперь, что механическая вселенная с аддитивной равнодействующей и нетривиальным взаимодействием неотделенных тел невозможна. Для этого нам потребуются обобщение тождеств (18) на случай не отделенных тел и принцип суперпозиции для выступов. Нетрудно проверить, что для неотделенных тел $ \mathcal{A}$ и $ \mathcal{B}$ тождества (18) принимают вид:

$\displaystyle \mathcal{A}^{\text{ext}}=\mathcal{B}\cup(\mathcal{A}\cup\mathcal{... ...(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})^{\text{ext}}\setminus(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}).$ (25)

Принцип суперпозиции для выступов в силу их определений имеет вид:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B}\setminus\mathcal{C})= ... ...al{C}) -\overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{C}). \vrule depth 15pt width0pt$ (26)

Теперь, проделав выкладки, аналогичные проделанным нами при выводе (24), с учетом (25) и (26) получаем:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})+\overrightarrow{F}(\m... ...{A}\cap\mathcal{B})- \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=$ (27)

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}})+ \overri... ...thcal{B},(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})^{\text{ext}}) \vrule depth 15pt width0pt $

-- соотношение, обобщающее (19) на случай $ \mathcal{A}\cap\mathcal{B}\neq\emptyset.$ Из него сразу следует обобщенная теорема Нолла: аддитивность равнодействующей на всех телах эквивалентна выражению для невязки:

$\displaystyle \overrightarrow{\Delta}(\mathcal{A},\mathcal{B})=\overrightarrow{... ...{A}\cap\mathcal{B})+ \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}).$ (28)

Предположим, что равнодействующая аддитивна на всех телах и рассмотрим полученное выражение детальнее. Используя разложение (23) и обозначая $ \mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\mathcal{C},$ после элементарных упрощений, получаем из (28):

$\displaystyle \overrightarrow{\Delta}(\mathcal{A}',\mathcal{B}')+ \overrightarr... ...C},\mathcal{A}'\cup\mathcal{B}')=\overrightarrow{0}. \vrule depth 15pt width0pt$ (29)

Тела $ \mathcal{A}',\mathcal{B}'$ и $ \mathcal{C}$ можно рассматривать как произвольные отделенные тела, поэтому, в частности, для $ \mathcal{A}'=\emptyset$ (29) дает:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{C},\mathcal{B}')=\overrightarrow{0}. \vrule depth 15pt width0pt $

на всех отделенных телах. Таким образом, во вселенной с взаимодействием не отделенных тел, в которой равнодействующая аддитивна, отделенные тела вообще не взаимодействуют друг с другом (следовательно аддитивная равнодействующая просто равна нулю,) а не отделенные взаимодействуют только посредством силы самодействия их общей части. Для такой системы сил $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{B})=\overrightarrow{F}(\mathcal{B},\mathcal{A})= \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}\cap\mathcal{B}).$ Кроме того, сила самодействия обладает свойством аддитивности:

$\displaystyle \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2) =\o... ...rrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}_1)+\overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A}_2) $

для любого разбиения $ \mathcal{A}=\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2$ с $ \mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2=\emptyset.$ На самом деле, в мире с самодействием роль равнодействующей должна играть полная сила $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\aleph),\vrule depth 15pt width0pt $ а не равнодействующая $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}^{\text{ext}}).\vrule depth 15pt width0pt $ Условие аддитивности полной силы будет иметь вид:

$\displaystyle \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\aleph)+ \overrightarrow{F}(\mathc... ...thcal{A}\cap\mathcal{B},\aleph)=\overrightarrow{0}. \vrule depth 15pt width0pt $

Добавляя и вычитая в правую часть (27) необходимые слагаемые самодействия вида $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\mathcal{A}),\dots,\vrule depth 15pt width0pt $ и выполняя необходимые упрощения, приходим к тому же результату: во вселенной с аддитивной полной силой отделенные тела не взаимодействуют, а не отделенные взаимодействуют только за счет самодействия их наложения. Очевидно, содержательная статика в таком мире невозможна, поскольку если $ \overrightarrow{F}(\mathcal{A},\aleph)=\overrightarrow{0}\vrule depth 15pt width0pt $ для всякого $ \mathcal{A},$ то и $ \mathfrak{F}(\mathcal{A})=\overrightarrow{0}$ для всякого $ \mathcal{A},$ т.е. силы вообще отсутствуют.

\includegraphics{allpic.9}
Рис. 9. Вселенная $ \Omega$ с самодействием устроена также как вселенная $ \Omega'=\omega\cup\{\beth\}$ без самодействия. Роль ускоряющей силы играет сила взаимодействия тел $ \Omega$ с телом $ \beth,$ которое само наблюдениям недоступно. Такое взаимодействие, по этой причине, будет восприниматься наблюдателями из $ \Omega$ как самодействие, обладающее свойством аддитивности.

Интересно, что получившуюся необычную вселенную можно интерпретировать по другому. Рассмотрим более широкую вселенную $ \Omega'=\Omega\cup\{\beth\},$ в которой тела из $ \Omega$ не взаимодействуют друг с другом, но взаимодействуют с телом $ \beth.$ Положим $ \overrightarrow{\mathfrak{F}}(\mathcal{A})\equiv\overrightarrow{F}(\mathcal{A},\beth)$ для всех $ \mathcal{A}\in\Omega.$ При этом $ \overrightarrow{F}$ удовлетворяет только принципу аддитивности. Мы видим, что в такой расширенной вселенной наблюдатель, являясь частью $ \Omega,$ вопринимает силу взаимодействия с телом $ \beth,$ лежащим за пределами вселенной $ \Omega,$ как самодействие. Если эксперименты с телом $ \beth$ во вселенной $ \Omega$ принципиально невозможны, то выбор между языками самодействия и "трансцендентного" взаимодействия навсегда останется вопросом личных философких убеждений исследователя!


В заключении хочу поблагодарить Штерна Е.П. за выполненные им иллюстрации.



След.: Литература Выше: Три лекции о законах Пред.: 2.2.  Классическая механика как