• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение


• 2. Некоторые задачи с качением тел


• 3. Оценки различных составляющих силы трения качения
• 3.1. Контактная задача теории упругости
• 3.2. Потери на упругий гистерезис
• 3.2.1. Статический гистерезис
• 3.2.2. Динамический гистерезис
• 3.3. Механизм проскальзывания
• 3.4. Механизм разрыва адгезионных связей


• 4. Обсуждение результатов


• Литература

4.  Обсуждение результатов

Полученные оценки наглядно иллюстрируют тот факт, что за простым термином "сила трения качения" могут стоять довольно сложные и весьма различные по своей физической природе механизмы диссипации энергии. Во всех случаях мы, в рамках принятого механизма, независимо вычисляли мощность диссипации энергии при движении колеса и приравнивали ее мощности формальной "силы трения качения": $F_{\text{тр.к.}}v.$ Этот прием переводит сложную картину явлений, сопровождающих качение колеса, на привычный нам язык сил. В отличие от более простых сил, сила трения качения существенно зависит от большого числа факторов, в том числе и от динамических условий качения (свободное или вынужденное качение,
область приложения крутящего момента и т.д.), которые обсуждались ранее. Рассмотренные нами конкретные механизмы и количественные оценки не исчерпывают полной картины качения. Тем не менее, с их помощью можно анализировать характер силы трения качения в большом числе практически важных экспериментальных ситуаций. Обсудим некоторые характерные свойства полученных оценок. Как нетрудно видеть, сила трения качения $F_{\text{тр.к.1}}$ , обусловленная механизмом статического гистерезиса, как это и следовало ожидать, не зависит от характеристик скорости движения колеса. Зависимость силы трения качения имеет ступенчатый характер: при условии

$$\Theta\equiv\frac{2fE}{3\pi(1-\nu^2)\sigma_0^2R}<1, \vrule depth15pt width0pt$$ (13)

Рис. 11. Пространственный график зависимости $F_{\text{тр.к.}}(f,R)$ для колеса, изготовленного из алюминия. Поверхность графика пересекает плоскость $(f,R)$ по прямой $f\approx152126R.$ В области между этой прямой и осью $OR$ сила трения качения отсутствует.

она равна нулю, поскольку при таком условии максимальное напряжение на площадке контакта меньше напряжения пластического течения. При постепенном увеличении нагрузки неравенство (13) переходит в равенство, а затем в обратное неравенство: $\Theta>1$ . При этом сила трения качения "включается" и нарастает. В окрестности области $\Theta=1$ зависимость $F_{\text{тр.к.1}}(f,R)$ неаналитична. Ее пространственный график и его характерные сечения для алюминиевого $(E=70$ГПа$, \sigma_0=50$МПа$, \nu=0.31)$ колеса показаны на рис. 11.

Рис. 12.		Рис. 13.
Характерные сечения предыдущего графика. Первая зависимость построена при $f=5\cdot10^4$Н/м$,$ вторая -- при $R=10$ см. Вдали от значений $f,R,$ при которых $F_{\text{тр.к.}}$ обращается в нуль, зависимости выходят за пределы области применимости рассматриваемой модели.

Оценка (10) для силы трения качения, обусловленной динамическим гистерезисом материала колеса, напротив, указывает на прямо пропорциональную зависимость от скорости. Полагая в формуле (12) $\lambda\sim10^{-10}$ м (атомные масштабы), $E\sim10^{11}$ Па, $d\sim1$ см, находим: $F_{\text{тр.к.4}}\sim0.1$ Н -- разумный порядок величины. В общем случае сила трения качения обусловлена всеми четырьмя механизмами:

$$F_{\text{тр.к.}}=F_{\text{тр.к.1}}+F_{\text{тр.к.2}}+F_{\text{тр.к.3}}+F_{\text{тр.к.4}}.$$ (14)

Чтобы выяснить относительную роль каждого из слагаемых в обычных условиях свободного качения, будем выражать результирующую силу трения качения в единицах $\sigma_0(f/E)^{3/2}R^{1/2},$ а в качестве прижимающей силы $F$ возьмем собственный вес сплошного цилиндрического колеса. Тогда после некоторых элементарных преобразований, приходим к следующей оценке:

$$\frac{F_{\text{тр.к.}}}{\left({g}/{c^2}\right)^{3/2}R^{7/2}\sigma... ..._0}\sqrt{\frac{g}{R}}+\frac{\lambda d \rho c^5}{\sigma_0g^{3/2}R^{7/2}}\right],$$ (15)

где $\rho$ -- плотность вещества цилиндра, $c=\sqrt{E/\rho}$ -- скорость звука в веществе колеса, $g$ -- ускорение свободного падения. Для определенности рассмотрим сплошной алюминиевый цилиндр ( $E=7\cdot10^{10}$ Па, $\nu=0.3$ , $\rho=2.7\cdot10^3$кг/м$^3$ , $\sigma_0=5\cdot10^5$ Па, $\eta\sim10^{-2}$Па$\cdot$с , а также $g=9.8$м/с$^2,$ $\lambda\sim10^{-10}$ м). Подстановка характеристик алюминия приводит к следующей оценочной формуле:

$$\frac{F_{\text{тр.к.}}}{10^{-2}R^{7/2}}\sim\left[(\sqrt{0.54Rd}-1... .../2}+10^{-12}\frac{vd}{R}+10^{-1}\frac{d}{R^{1/2}}+10^3\frac{d}{R^{7/2}}\right].$$ (16)

Слагаемые в квадратных скобках безразмерны и соответствуют в порядке следования слагаемым в формуле (14), а геометрические характеристики колеса $R,d$ и скорость качения $v$ измеряются в м и м/с соответственно. Выясним соотношения безразмерных слагаемых друг с другом и их зависимость от параметров $R,d$ и $v$ .

Рис. 14. Фрагмент зависимости $v=10^{12}(R/d)(\sqrt{0.54Rd}-1)^{3/2},$ выражающей равенство вкладов механизмов статического и динамического гистерезиса в силу трения качения. Из графика видно, что разумные скорости ($\sim10^1$ м/с) получаются для цилиндров, имеющих вид длинной тонкой проволоки.

Приравнивание второго слагаемого к третьему и четвертому позволяет получить значения скоростей, при которых вклад вязкого трения сравнивается со вкладами трения скольжения и адгезии:

$$v_1\sim10^{11}R^{1/2};\quad v_2\sim10^{15}/R^{5/2}.$$

Эти оценки показывают, что для всех разумных (макроскопических) размеров катящегося цилиндра, вкладом вязкости в силу трения качения можно пренебречь по сравнению с вкладами проскальзывания и разрыва связей. График на рис. 14, изображающий фрагмент зависимости скорости от $R=x$ и $d=y$ при условии, что второе слагаемое в (16) имеет порядок величины первого, наглядно иллюстрирует тот же вывод о малости вклада вязкости по отношению к механизму статического гистерезиса. Таким образом при качении алюминиевого (и вообще жесткого) цилиндра вкладом в силу трения качения механизма вязкости можно полностью пренебречь. Аналогично, приравнивая третье и четвертое слагаемое в (16), приходим к выводу, что вклад проскальзывания начинает доминировать над механизмом разрыва связей, начиная с $R\gtrsim10$ м. Соотношение вкладов статического гистерезиса и разрыва связей демонстрируется графиком на первом рисунке.

Рис. 15.		Рис. 16.
(1) Фрагмент зависимости $10^3d^2=R^7(\sqrt{0.54Rd}-1)^3$ $(x=R, y=d),$ выражающей равенство вкладов механизмов статического гистерезиса и разрыва связей в силу трения качения. В области выше графика доминирует первый механизм. Большинство практически важных ситуаций относится к области ниже графика. (2) Фрагмент зависимости $d^2=100R(\sqrt{0.54Rd}-1)^3$ $(x=R, y=d),$ выражающей равенство вкладов механизмов статического гистерезиса и проскальзывания в силу трения качения. В области выше графика доминирует первый механизм.

Таким образом, в обычных условиях разрыв адгезионных связей при качении является определяющим механизмом диссипации энергии. Обратное соотношение роли механизмов наблюдается в области параметров $R\gtrsim10$ м, $d\gtrsim0.1$ м. Рассмотрим в этой области соотношение механизмов статического гистерезиса и проскальзывания. График, представленный на втором рисунке, показывает, что в этой области доминирует механизм гистерезиса. Отметим в заключение, что наши простые оценки для большого числа ситуаций качественно согласуются с зависимостями, представленными в литературе на основе имеющихся экспериментальных данных [8,9,10,11]. След.: Литература Выше: Что такое сила трения Пред.: 3.4.  Механизм разрыва адгезионных