вход

Подстрочные примечания к статье

...С.С.Кокарев1
logos-center@mail.ru 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... открытое2
Существование открытых подмножеств на $ \mathcal{M}$ подразумевает, что $ \mathcal{M}$ -- топологическое пространство. На самом деле, топологию на $ \mathcal{M}$ всегда можно выбрать индуцированной евклидовой топологией на $ R^m,$ потребовав, чтобы отображения $ \varphi$ в любой карте были непрерывными. Возможно, что такая точка зрения не является общепринятой и даже логически последовательной, но в настоящих лекциях мы придерживаемся ее из соображений экономии места и времени. Такой же подход используется автором в курсе лекций [6]. Более детальное обсуждение топологических аспектов многообразий можно найти в [16]. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... уравнению3
Выбором масштаба длины радиус окружности можно всегда сделать единичным. Сфера произвольного радиуса как многообразие принципиально ничем не отличается от единичной сферы, поэтому в дальнейшем мы для некоторого упрощения будем ограничиваться именно единичной сферой. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... плоскости4
Для дальнейшего обобщения конструкции на многомерный случай нам удобнее перейти от привычного обозначения декартовых координат $ (x,y)$ к "безличной" нумерации $ (x^1,x^2).$ 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... многообразие5
Его порядок гладкости определяется как $ \min(r_1,r_2),$ где $ r_1,r_2$ -- порядки гладкости сомножителей. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... виде6
Мы предполагаем, что все компоненты векторного поля отличны от нуля. Если некоторые из них (например, $ X^1,\dots,X^r$ $ r\le m$ ) равны нулю, то условие коллинеарности подразумевает, что $ dx^1=0,\dots, dx^r=0,$ т.е. характеристики -- это координатные поверхности $ x^1=$const$ ,\dots, x^r=$const$ .$ 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... длина7
Для избежания недоразумений, везде где не оговорено особо, мы рассматриваем риманову метрику. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... вид8
Мы приводим в иллюстративных целях только часть преобразований, соответствующих метрикам с положительными значениями инвариантов $ I_n.$ 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.