вход

Оглавление


3.  Классическая теория прямого межчастичного взаимодействия фоккеровского типа

3.1.  Принцип действия Фоккера-Тетроде

Действия Фоккера-Тетроде, предложенное в работах ([перейти]), описывает систему непосредственно (т.е. без посредников типа электромагнитного поля) взаимодействующих электромагнитным образом частиц c массами $ m_{(i)}$ и зарядами $ q_{(i)}$ $ (i=1,\dots,N)$ в 4-мерном мире Минковского. Наводящие соображения, которые позволяют установить его общий вид, следующие:

  1. В пределе незаряженных частиц $ (q_{(i)}\to0)$ действие должно переходить в действие свободных частиц в виде суммы слагаемых типа (107).
  2. Взаимодействие частиц имеет парный характер (т.е. взаимодействие совокупности частиц сводится к взаимодействиям всевозможных пар этой совокупности).
  3. Выражение, описывающее взаимодействие пары частиц симметрично относительно перестановки частиц (обобщенный третий закон Ньютона)
  4. Взаимодействие имеет релятивистски-инвариантный характер, т.е. описывается 4-мерно ковариантными выражениями.
  5. Принцип соответствия с уравнениями теории поля.
Пункт 1 из этого списка позволяет представить искомое действие в виде:

$\displaystyle \mathcal{A}^{FT}=\mathcal{A}^{FT}_0+\mathcal{A}^{FT}_{\text{int}},$ (4)
где

$\displaystyle \mathcal{A}^{FT}_0=-\sum\limits_{i=1}^Nm_{(i)}c\int\limits_{\gamma_{(i)}}ds_{(i)}$ (5)
-- действие системы невзаимодействующих частиц, $ \mathcal{A}^{FT}_{\text{int}}$ -- действие прямого взаимодействия, которое в силу соображений пунктов 2, 3 и 4 можно представить в виде:

$\displaystyle \mathcal{A}^{FT}_{\text{int}}=-\frac{1}{2}\sum\limits_{i\neq j} \... ...s^2_{{(i)}{(j)}})(\mathfrak{u}_{(i)}\cdot\mathfrak{u}_{(j)}) ds_{(i)}ds_{(j)}.$ (6)
Здесь $ \gamma_{(i)}$ -- мировая линия $ i$ -ой частицы, $ ds_{(i)}$ -- ее 4-мерный линейный элемент,

$\displaystyle s^2_{(i)(j)}=(x_{(i)}^0-x_{(j)}^0)^2-(x_{(i)}^1-x_{(j)}^1)^2-(x_{(i)}^2-x_{(j)}^2)^2-(x_{(i)}^3-x_{(j)}^3)^2 $

-- 4-мерный интервал между некоторыми положениями $ i$ -ой и $ j$ -ой частицами на их мировых линиях, $ U_i$ -- 4-скорость на мировой линии $ i$ -ой частицы, $ U_i\cdot U_j$ -- 4-мерное скалярное произведение 4-скоростей $ i$ -ой и $ j$ -ой частиц. Множитель $ 1/2$ перед суммой в правой части (6) учитывает, что сумма по $ i\neq j$ симметричных по $ i$ и $ j$ выражений будет содержать по два одинаковых слагаемых.

Разумеется, соображения пунктов 1,2,3,4 кроме выражения для действия взаимодействия (6) допускают и множество других (например, вместо 4-скоростей можно поставить 4-ускорения и т.д.). Вид (6) однозначно получается, если учесть все пять пунктов, но последний пункт 5 мы обсудим отдельно в следующем разделе.

Отметим некоторые характерные особенности действия Фоккера-Тетроде (4)-(6).

  1. В отличие от стандартного действия (121) действие Фоккера-Тетроде не содержит компонент электромагнитного поля. Оно формулируется в терминах интегральных характеристик частиц (их масс и зарядов), их кинематических характеристик (4-х скоростей) и пространственно-временных отношений между парами частиц (расстояний и промежутков и времени). По своей сути такая формулировка электромагнитной теории вполне аналогична дальнодействующим формулировкам законов гравитационного и электростатического взаимодействия (1)-(2).
  2. В отличие от (1)-(2), действие Фоккера-Тетроде имеет изначально 4-мерно ковариантный вид, поскольку формулируется в терминах 4-мерных скаляров и векторов и инвариантных операций с ними (4-мерное скалярное произведение, интегрирование вдоль мировых линий). Таким образом, теория Фоккера-Тетроде представляет собой релятивистский вариант теории дальнодействия, в которой конечность скорости распространения взаимодействия оказывается автоматически учтенной в структуре пространства-времени Минковского.
  3. Выражение $ \delta(s^2_{ij})$ под знаком интеграла в (6), согласно основному свойству $ \delta$ -функции, дает отличный от нуля вклад только тогда, когда $ s^2_{ij}=0.$ Это означает, что взаимодействие между любой парой частиц имеет место лишь в моменты их релятивистского контакта, которому, на обычном языке теории поля, соответствует обмен электромагнитным сигналом, распространяющимся со скоростью $ c.$ Таким образом, теорию Фоккера-Тетроде можно назвать теорией релятивистского близкодействия. Геометрически, взаимодействие происходит между теми точками двух мировых линий, которые лежат на световом конусе любой из точек (рис.[перейти]).
  4. Замена $ t\to-t$ не изменяет вида межчастичного действия (6). Это означает, что электромагнитное взаимодействие теории Фоккера-Тетроде симметрично во времени. Рассмотрим пару частиц, лежащих на световом конусе, т.е. испытывающих релятивистское контактное взаимодействие. Их временные координаты будут обязательно различными и мы говорим, что одна частица рассматривается в "более поздний момент времени" чем другая. Такое разделение на "раньше" и "позже", однако, имеет в рассматриваемой теории условный, а точнее говоря, внешний, искусственный характер, именно потому, что в силу пункта 3 частицы взаимодействуют симметрично: воздействие "прошлой" частицы на "будущую" точно такое же, как и воздействие "будущей" частицы на "прошлую". На самом деле, это очень естественное свойство фундаментального парного взаимодействия, каковым выступает электромагнитное взаимодействие в теории Фоккера-Тетроде. Введение стрелы времени на уровне парного взаимодействия обязательно нарушило бы его симметричность и потребовало бы искусственных "причинных правил отбора" в духе теории поля. Мы увидим, что причинность наблюдаемого электромагнитного взаимодействия в теории Фоккера-Фейнмана возникает как статистический эффект взаимодействия большого числа частиц, а теорию поля с ее изначально причинным характером взаимодействия следует рассматривать как некоторую "эффективную теорию", в которой учет коллективного взаимодействия уже произведен.
  5. В отличие от действий полевого типа, действие взаимодействия $ \mathcal{A}^{FT}_{\text{int}}$ не является локальным. Это приводит к ряду технических трудностей, от которых свободна теория поля. Об этих трудностях речь пойдет ниже.

3.2.  Соответствие с электродинамикой Фарадея-Максвелла

Действие Фоккера-Тетроде (4)-(6) для одной выделенной частицы с номером $ i$ можно тождественно переписать в более привычном для теории поля виде (121):

$\displaystyle \mathcal{A}^{FT}_{i}=-m_ic\int\limits_{\gamma_i}ds_i- \frac{q_i}{c}\int\limits_{\gamma_i}(\mathfrak{A}_{(i)}\cdot \mathfrak{u}_{(i)} ds_i,$ (7)
где введено формальное обозначение:

$\displaystyle \mathfrak{A}_{(i)}\equiv\sum\limits_{j\neq i}\frac{q_j}{c}\int\limits_{\gamma_j}\delta(s^2_{ij})\mathfrak{u}_{(j)} ds_j$ (8)
для векторного потенциала $ \mathfrak{A}_i,$ создаваемого всеми зарядами $ q_j$ кроме заряда $ q_i$ в точке нахождения последнего. Следует отметить, что в отличие от теории поля, эта величина (из-за присутствия множителя $ \delta(s^2_{ij})$ под интегралом) определена только на мировой линии заряда $ q_i.$ В частности, если все мировые линии зарядов $ q_j$ удалить на пространственную бесконечность, то величина $ \mathfrak{A}_i\to 0.$ Мы обсудим это важное свойство теории Фоккера-тетроде в разделе ([перейти]).

Повторяя практически без изменений вывод формулы ([перейти]), приходим к стандартному уравнению движения заряженной частицы в "электромагнитном поле":

$\displaystyle W_{(i)\alpha}=\frac{q_i}{m_i}F_{(i)\alpha\beta}U^{\beta},$ (9)
где формальный "тензор напряженности электромагнитного поля" определен формулой:

$\displaystyle F_{(i)\alpha\beta}=\frac{\partial \mathfrak{A}_{(i)\beta}}{\partial x^\alpha}- \frac{\partial \mathfrak{A}_{(i)\alpha}}{\partial x^\beta}$ (10)
на мировой линии заряда $ q_i.$ Отметим, что производные $ \mathfrak{A}_i$ по координатам $ i$ -ой частицы должны пониматься в обобщенном смысле.

Из структуры выражения (10) сразу следует выполнимость (в обобщенном смысле) пары уравнений Максвелла без источников (115). Для проверки выполнимости второй пары заметим, что дельта-функцию $ \delta(s^2_{ij})$ можно представить в виде:

$\displaystyle \delta(s^2_{ij})=\frac{\delta(ct_{ij}-r_{ij})+\delta(ct_{ij}+r_{ij})}{2r_{ij}}= =2\pi(\mathcal{E}_{W-}+\mathcal{E}_{W+}),$ (11)
где $ \mathcal{E}_{W\pm}$ -- опережающая и запаздывающая функции Грина (93) волнового уравнения. Выражение после первого знака равенства в этой формуле получено с помощью свойства (87) $ \delta-$ функции. Формула (11) явным образом демонстрирует симметричный во времени и, следовательно, непричинный характер парных взаимодействий в электродинамике Фоккера-Тетроде. В силу представления (11) и определения (90) функции Грина имеем следующую цепочку равенств для формального векторного потенциала (8):

$\displaystyle \Box_i \mathfrak{A}_{(i)}=\Box_i\sum\limits_{j\neq i}\frac{q_j}{c... ...ac{q_j}{c}\int\limits_{\gamma_j}\Box_i\delta(s^2_{ij})U_j ds_j= 4\pi J_{(j)},$ (12)
где 4-ток заряда $ q_j$ определен выражением:

$\displaystyle J_{(j)}=q_j\int\limits_{\gamma_j}\delta^4(x_i-x_j)U_j ds_j. $

Предположим теперь, что система зарядов, описываемых действием Фоккера-Тетроде финитна, т.е. во все моменты времени сосредоточена внутри конечного объема, причем размер $ L$ области занимаемой зарядами и время $ T$ эволюции системы удовлетворяют сильному неравенству: $ L\ll cT.$ При таком предположении для 4-мерной дивергенции 4-потенциала имеем цепочку равенств:

$\displaystyle \frac{\partial\mathfrak{A}_{(i)}^\alpha}{\partial x_i^\alpha}=q_b... ...s_{\gamma_j}d \delta(s^2_{ij})=q_b\delta(s_{ij}^2)\vert _{-\infty}^{+\infty}=0.$ (13)
Здесь после второго знака равенства использовано то обстоятельство, что функция Грина $ \delta(s^2_ij)$ зависит лишь от разностей координат и следовательно $ \partial\delta(s^2_{ij})\partial x_i^\alpha=-\partial\delta(s^2_{ij})/\partial x_j^\alpha.$ Последний знак равенства вытекает из неравенства $ L\ll cT$ : "начала" и "концы" мировых линий зарядов $ q_j$ лежат внутри светового конуса с вершиной в некоторой точке мировой линии заряда $ q_i,$ следовательно $ \delta(s^2_{ij})\vert _{t_j\to\pm\infty}=0.$ Другими словами, формальный 4-вектор-потенциал в электродинамике Фоккера-Тетроде финитной системы частиц в бесконечной во времени вселенной в силу своего определения удовлетворяет калибровке Лоренца. Этот факт можно было бы вывести и из общих соображений: из характеристик зарядов нельзя построить релятивистски-инвариантную величину, имеющую размерность напряженности поля.

С учетом (12) и (13) имеем:

$\displaystyle \frac{\partial F_{(i)\alpha}^{ \beta}}{\partial x_i^\alpha}=\fra... ...ha_{(i)}}{\partial x^\alpha}\right)-\Box_i\mathfrak{A}_{(i)\beta}=-4\pi J_\beta$ (14)
-- тождественную выполнимость пары уравнений Максвелла с источниками ([перейти]). Таким образом, электродинамика Фоккера-Тетроде находится в полном формальном соответствии с полевой электродинамикой Максвелла. Однако, в отличие от электродинамики Максвелла, в теории Фоккера-Тетроде нет свободы в выборе характера причинности взаимодействия: парные взаимодействия симметричны во времени. Очевидные проблемы механизмов причинности взаимодействия и радиационного трения в этой теории обусловили своеобразное отношение к ней физиков 20-30-х годов: любопытный "научный курьез", но не серьезная научная теория.

Благодаря оригинальным работам Фейнмана и Уиллера, слабость теории Фоккера-Тетроде неожиданно стала ее сильной стороной.

3.3.  Фейнман-уиллеровская теория поглотителя

3.3.1.  Нерелятивистская формула для силы радиационного трения

В классической работе ([перейти]) Фейнман и Уиллер предложили механизм причинности и необратимости излучения в теории Фоккера-Тетроде, который связан с аккуратным учетом опережающего переизлучения частиц поглотителя. Проиллюстрируем идею авторов на простейшем примере расчета нерелятивистской силы радиационного трения. Рассмотрим заряженную частицу (будем называть ее для определенности источником) с зарядом $ q,$ массой $ m$ и нерелятивистским законом движения $ \vec r(t),$ обусловленным взаимодействием этой частицы с большим числом окружающих ее частиц (будем называть частицы окружения поглотителем) с зарядами $ q_i,$ массами $ m_i$ $ (i=1,\dots, N).$ Предположим, что частицы поглотителя:

  1. не связаны в атомы или молекулы;
  2. движутся относительно выделенной частицы с нерелятивисткими скоростями;
  3. достаточно разрежены;
  4. распределены в пространстве равномерно с концентрацией $ n;$
  5. одинаковы c точностью до знака заряда, т.е. $ q_i=\pm e,$ $ m_i=\mu;$
  6. занимают объем, достаточный для полного поглощения излучения источника.

Пусть источник в некоторый момент времени имеет ускорение $ \ddot \vec r(t)$ за счет электромагнитного или иного взаимодействия с окружающими частицами. Согласно электродинамике Максвелла, помимо кулоновского поля, ускоренная частица создает в окружающем ее пространстве поле излучения, которое мы в нашем элементарном расчете будем считать целиком запаздывающим. Ответ на вопрос о том, каким образом это запаздывающее излучение возникает из симметричной суперпозиции запаздывающего и опережающего, мы рассмотрим в следующем подразделе. В силу разреженности частиц поглотителя нас будет интересовать поле на больших расстояниях от источника. На таких расстояниях дипольная компонента излучения будет преобладающей, так как спадает с расстоянием по закону $ \sim 1/r$ в отличие от статической кулоновской $ (\sim 1/r^2)$ и высших мультипольных компонент $ (\sim1/r^n, n\ge2)$ . Рассмотрим типичную частицу поглотителя с радиус-вектором $ \vec r_i.$ Дипольная компонента излучения в точке нахождения этой частицы характеризуется электрическим полем:

$\displaystyle \vec E(t,\vec r_i) =\frac{q}{c^2r_i}(\ddot{\vec r}(t')\times \vec n_i)\times\vec n_i= -\frac{q\ddot{\vec r}_\perp(t')}{c^2r_i},$ (15)
где $ \vec n$ -- единичный вектор, проведенный из источника в направлении $ i$ -ой частицы поглотителя, $ \ddot{\vec r}_\perp$ -- составляющая ускорения источника, перпендикулярная $ \vec n_i.$ Отметим, что в выражении (15) ускорение источника рассматривается в момент времени $ t'=t-r_i/c$ более ранний, чем момент времени наблюдения поля. Электрическое поле (15) действует на заряд $ q_i$ с силой $ q_i\vec E(t,\vec r_i)$ и вызывает его мгновенное ускорение5 $ \ddot{\vec r}_i(t)=q_i\vec E(t,\vec r_i)/m_i.$ Магнитную часть полной силы Лоренца можно не учитывать в силу сделанного предположения о малости скоростей поглотителя по сравнению со скоростью света. Теперь, согласно симметричной картине излучения в электродинамике Фоккера-Тетроде, $ i$ -ая частица поглотителя будет излучать симметрично в прошлое и будущее. Ее излучение в прошлое, испущенное в момент $ t,$ будет воздействовать на источник как раз в момент $ t'$ с силой реакции излучения $ i$ -ой частицы, определяемой половиной выражения (15):

$\displaystyle \vec F_{(i)}=-\frac{q_i{\ddot r}_{i\perp}}{2c^2r_i}.$ (16)
С учетом выражения (15) для $ \ddot{\vec r}_i$ и очевидного равенства $ (\ddot{\vec r}_\perp)_\perp= \ddot{\vec r}_\perp$ приходим к следующему выражению для силы реакции $ i$ -ой частицы:

$\displaystyle F_{(i)R}=\frac{q^2e^2}{2c^4r_i^2\mu}\ddot{\vec r}_{\perp}.$ (17)
Для вычисления полной силы реакции необходимо проинтегрировать выражение (17) с множителем $ n$ по всему объему, занятому поглотителем. Ясно, что эта операция включает усреднение векторного выражения (17) по всем направлениям. В силу изотропности распределения частиц поглотителя результат усреднения должен быть вектором, коллинеарным $ \ddot{\vec r}$ (никаких других выделенных направлений пространства для источника не существует). Таким образом, интегрировать необходимо лишь компоненту (17) вдоль ускорения, равную

$\displaystyle \frac{q^2e^2}{2c^4r_i^2\mu}\vert\ddot{\vec r}\vert\sin^2(\ddot{\vec r},\vec n). $

Переходя к сферической системе координат $ (\xi,\theta,\varphi)$ , в которой азимутальный угол $ \theta$ отсчитывается от направления $ \ddot{\vec r},$ приходим к следующему интегральному представлению для полной силы реакции излучения:

$\displaystyle \vec F_R=\int\limits_{R^3}\frac{q^2e^2}{2c^4\xi^2\mu}\ddot{\vec r... ...t\limits_{R^3}\frac{1}{\xi^2}\cdot \xi^2\sin\theta d\xi d\theta d\varphi.$ (18)
Выполняя интегрирование по углам, приходим к выражению:

$\displaystyle \vec F_R=\frac{2q^2\ddot{\vec r}}{3c^3}\frac{2\pi ne^2}{\mu c}\int\limits_0^\infty d\xi,$ (19)
которое в отличие от известного выражения ([перейти]):
  1. пропорциональна не второму ускорению $ \dddot{\vec r}$ , а первому $ \ddot{\vec r};$
  2. зависит от характеристик частиц поглотителя;
  3. принимает неограниченно большие значения, когда поглотитель занимает все пространство или зависит от его размеров в противном случае.

Фейнман и Уиллер сделали замечательное наблюдение, благодаря которому появляется возможность уточнить вычисления и вместо формулы (19) получить правильную формулу ([перейти]). Они обратили внимание, что "...между исходящим излучением источника и обратной реакцией существует фазовый сдвиг, который не был учтен в предыдущих вычислениях...". Дело в том, исходящее от источника запаздывающее излучение распространяется в среде не со скоростью света, а со скоростью $ c'=c/n,$ где $ n$ -- показатель преломления среды. В отличие от запаздывающего сигнала, опережающее излучение, распространяющееся вспять во времени от частицы поглотителя к источнику мы должны рассматривать как элементарное парное взаимодействие, распространяющееся со скоростью света. Как это показывается в курсах физической оптики, показатель преломления среды учитывает, что на первичное излучение в среде, распространяющееся со скоростью света, накладывается вторичное излучение частиц среды, что эффективно приводит к замедлению скорости распространения электромагнитного возмущения. Для среды, состоящей из слабо взаимодействующих заряженных частиц, выражение для коэффициента преломления получается следующим:

$\displaystyle n=1-\frac{2\pi Ne^2}{\mu\omega^2}.$ (20)
Чтобы избежать сложных интегральных дисперсионных соотношений, учитывающих зависимость коэффициента преломления от частоты, предположим теперь, что мы следим за эволюцией одной фурье-компоненты излучения. Она порождается соответствующей фурье-компонентой ускорения

$\displaystyle \ddot{\vec r}_\omega(t)=\ddot{\vec r}_{\omega0}e^{-i\omega t},$ (21)
где $ \ddot{\vec r}_{\omega0}$ -- постоянная амплитуда. С учетом свойств среды, угол сдвига фаз между ускорением источника и опережающей реакцией $ i$ -ой частицы поглотителя, будет определяться выражением:

$\displaystyle \Delta=\omega\left(\frac{r_i}{c}-\frac{nr_i}{c}\right)=\frac{2\pi r_iNe^2}{\mu c\omega}.$ (22)
Для учета фазового сдвига в выражении (19) для полной силы реакции необходимо проинтегрировать выражение $ \exp(-i\Delta)$ по всем сферическим слоям поглотителя. В результате приходим к выражению:

$\displaystyle \vec F_R=\frac{2q^2\ddot{\vec r}_\omega}{3c^3}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{2\pi Ne^2}{\mu c}e^{-i\Delta}d\xi.$ (23)
Для корректного вычисления расходящегося интеграла необходимо ввести "бесконечно малое поглощение": $ n\to n'=n+i\epsilon,$ где $ \epsilon$ -- малый коэффициент поглощения среды. Подстановка, вычисление интеграла и переход к пределу $ \epsilon\to0$ приводят к цепочке равенств для интеграла:

$\displaystyle \lim\limits_{\epsilon\to0}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{2\pi Ne^... ...silon\omega/c+ 2i\pi N e^2/\mu c\omega}\left.\right\vert^{\infty}_0= -i\omega. $

Результат не зависит от конкретных свойств поглотителя! Его подстановка в выражение (23) с учетом (21):

$\displaystyle \vec F_R=\frac{2q^2\ddot{\vec r}_\omega}{3c^3}(-i\omega)=\frac{2q^2\dddot{\vec r}_\omega}{3c^3}.$ (24)
приводит к стандартному выражению для силы радиационного трения для одной фурье-компоненты. В силу линейности и однородности преобразования Фурье полученный результат будет справедлив для любого нерелятивистского закона движения источника.

Таким образом, в электродинамике Фоккера-Тетроде сила радиационного трения имеет ясную физическую природу: она возникает как результат коллективного опережающего отклика частиц поглотителя на запаздывающее излучение источника.

3.3.2.  Запаздывающие взаимодействия и рецепт Дирака

Может показаться, что вывод выражения для радиационной силы трения, сделанный в предыдущем разделе, существенным образом опирался на сделанные предположения относительно поглотителя и источника. Фейнман и Уилер показали несколькими различными независимыми способами, что стандартное выражение для силы радиационного трения получается независимо от свойств поглотителя. Точнее говоря, поглотитель должен удовлетворять лишь единственному условию: он должен быть абсолютным, т.е. поглощать все излучение от источника. Детальные вычисления и довольно громоздкие вычисления для некоторых простых моделей поглотителя обнаруживают еще одно важное коллективное свойство симметричной электродинамики Фоккера-Тетроде: опережающее действие частиц абсолютного поглотителя таково, что, складываясь с собственным наполовину запаздывающим, наполовину опережающим полем источника, оно удваивает первое и уничтожает последнее, т.е. восстанавливает причинный характер излучения каждой одиночной частицы. Доказательство этого факта в рамках теории Фоккера-Тетроде с помощью явных вычислений (довольно громоздких) для модели поглотителя с довольно общими свойствами можно найти в оригинальной работе Фейнмана и Уилера. Мы воспроизведем здесь их завершающий способ рассуждений, опирающийся только на общее условие полного поглощения. Это условие означает, что любая пробная частица, помещенная снаружи поглотителя, не будет испытывать силового воздействия частиц среды. Обозначая посредством $ \mathfrak{F}_-^{(i)}$ и $ \mathfrak{F}_+^{(i)}$ тензоры напряженности запаздывающего и опережающего полей, создаваемых $ i$ -ой частицей среды, это условие математически можно записать так:

$\displaystyle \sum\limits_i\left(\frac{1}{2}\mathfrak{F}_-^{(i)}+\frac{1}{2}\mathfrak{F}_+^{(i)}\right)=0$   вне поглотителя$\displaystyle .$ (25)
Выражение (25) должно обращаться в нуль вне поглотителя при $ t\to\pm\infty.$ Но это возможно только в том случае, когда каждая из сумм запаздывающих и опережающих полей обращается в нуль независимо (на $ +\infty$ приходят только запаздывающие поля частиц, а на $ -\infty$ -- только опережающие):

$\displaystyle \sum\limits_i \mathfrak{F}_-^{(i)}=0$   вне поглотителя$\displaystyle ; \sum\limits_i\mathfrak{F}_+^{(i)}=0$   вне поглотителя$\displaystyle .$ (26)

Отсюда, в свою очередь, следует что сумма разностей запаздывающего и опережающего полей в каждой точке пространства вне поглотителя обращается в нуль:

$\displaystyle \sum\limits_i\left(\frac{1}{2}\mathfrak{F}_-^{(i)}-\frac{1}{2}\mathfrak{F}_+^{(i)}\right)=0$   вне поглотителя$\displaystyle .$ (27)
Но в отличие от выражений (25) и (26) такая комбинация полей является решением уравнений Максвелла в пустоте. Действительно, каждое из слагаемых под знаком суммы удовлетворяет уравнению Максвелла с одним и тем же источником, следовательно, в силу линейности уравнений Максвелла, их разность удовлетворяет уравнению Максвелла в пустоте. Эта комбинация описывает поле в пустоте не только в области вне поглотителя, но и внутри него, т.к. в точках нахождения зарядов она не имеет кулоновских сингулярностей (они взаимно сокращаются). Следовательно условие полного поглощения можно записать в следующем эквивалентном виде:

$\displaystyle \sum\limits_i\left(\frac{1}{2}\mathfrak{F}_-^{(i)}-\frac{1}{2}\mathfrak{F}_+^{(i)}\right)=0$   во всем пространстве$\displaystyle .$ (28)
Рассмотрим теперь выделенную $ k$ -ую частицу поглотителя. Внешнее поле $ \mathfrak{F}$ , которое оказывает силовое действие на нее согласно электродинамики Фоккера-Тетроде дается выражением:

$\displaystyle \mathfrak{F}=\sum\limits_{i\neq k}\left(\frac{1}{2}\mathfrak{F}_-^{(i)}+\frac{1}{2}\mathfrak{F}_+^{(i)}\right).$ (29)
Выражение (29) можно тождественно переписать следующим образом:

$\displaystyle \mathfrak{F}=\sum\limits_{i\neq k}\mathfrak{F}_-^{(i)}+\frac{1}{2... ...i}\left(\frac{1}{2}\mathfrak{F}_-^{(i)}-\frac{1}{2}\mathfrak{F}_+^{(i)}\right).$ (30)
При условии полного поглощения последняя сумма обращается в нуль. Первое слагаемое описывает стандартное запаздывающее поле частиц поглотителя, окружающих $ k$ -ую частицу. Второе слагаемое описывает радиационное трение в полном соответствии с рецептом Дирака. При этом для получения явного выражения для силы радиационного трения по этому рецепту необходимо аккуратно произвести операцию вычитания двух сингулярных в точке нахождения заряда потенциалов. Надлежащий предельный переход приводит в нерелятивистском приближении к выражению (24), а в релятивистском (технические детали вывода можно найти в [14]) к 4-мерно ковариантному выражению:

$\displaystyle \mathfrak{f}_R=\frac{2e^2}{3}\left(\mathfrak{u}(\dddot{\mathfrak{a}}\cdot\mathfrak{u})- \dddot{\mathfrak{a}}\right),$ (31)
где точка обозначает дифференцирование по собственному времени. Таким образом, электродинамика Фоккера-Тетроде, рассматриваемая на фоне абсолютного поглотителя, полностью эквивалентна стандартной полевой электродинамике Фарадея-Максвелла с ее причинным характером взаимодействия и свойством необратимости излучения.

Далее: 4.  Стрела времени и Вверх: Близкодействие против дальнодействия: окончательна Previous: 2.  Немного истории