вход

Оглавление


7.  Математические проблемы

В работе ([перейти]) П.Девис обозначил пять преимуществ дальнодействующей формулировки электродинамики по сравнению с традиционной запаздывающей формулировкой:

  1. Отсутствие проблемы бесконечной собственной электромагнитной энергии заряженных частиц;
  2. Возможность устранения расходимостей без необходимости разработки динамической теории поля (за счет надлежащей модификации фотонного пропагатора);
  3. Экономия основных постулатов. В частности, в поглощающей вселенной запаздывающие взаимодействия появляются автоматически, в то время как в традиционной опережающие решения приходится устранять искусственно ("своими руками");
  4. Новая формулировка дает возможность установить связи между термодинамической, космологической и электромагнитной стрелами времени;
  5. Возможность развития квантовой теории измерений посредством включения квантовых микросистем в космологию и необратимую термодинамику.
Второй и пятый пункт характеризуют квантовую версию дальнодействующей электродинамики, которую мы обсудим в следующей части статьи. Несмотря на отмеченные преимущества, дальнодействующая формулировка электродинамики не была принята широкими кругами научной общественности. Причины такого неприятия мы обсудим в заключении.

В этом разделе мы кратко остановимся на проблемах дальнодействующей формулировки электродинамики технического характера, которые не возникают в явном виде в ее полевой формулировке. Рассмотрим самосогласованную задачу об определении закона движения пары зарядов в теории Фоккера-Тетроде. Принцип наименьшего действия во временной параметризации принимает вид:

$\displaystyle \mathcal{A}[x_1(t),x_2(t)]=-m_1c^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\dot x_1^2/c^2} dt- m_2c^2 \cdot $

$\displaystyle \cdot \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\dot x_2^2/c^2} dt- \frac{... ..._{t_1}^{t_2}\delta(s_{12}^2)(\mathfrak{u}_1\cdot \mathfrak{u}_2) dt_1 dt_2,$ (45)
где $ m_{1,2}$ -- массы покоя первой и второй частицы, $ q_{1,2}$ -- их заряды, $ x_1(t),x_2(t)$ -- искомые законы движения, $ \mathfrak{u}_i=(c,\vec v_i)$ $ i=1,2$ -- формальные "4-векторы" скорости, получающиеся дифференцированием 4-радиус векторов частиц по координатному времени. Раскрывая выражение $ \delta(s_{12}^2)$ и выполняя в действии взаимодействия интегрирование по времени $ t_2,$ приходим к нелокальному во времени действию следующего вида:

$\displaystyle \mathcal{A}[x_1(t),x_2(t)]=-m_1c^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-... ...cdot \mathfrak{u}^-_2}{r_{12}^-}\right) dt\vrule height0pt depth15pt width0pt$ (46)
где, символы $ \pm,$ у величин, характеризующих вторую частицу, означают что они рассматриваются в момент времени:

$\displaystyle t_2=t\pm\frac{r^{\pm}_{12}}{c}.$ (47)
Здесь

$\displaystyle r^{\pm}_{12}=\sqrt{\vert\vec r_1-\vec r_2^{\pm}\vert^2}$ (48)
-- расстояние между частицами вдоль конуса будущего и конуса прошлого частицы 1. Уже на этом этапе мы сталкиваемся сразу с двумя серьезными проблемами: во-первых, действие нелокально во времени, во-вторых эта нелокальность зависит от закона движения, который определяется нелокальным действием, в котором нелокальность зависит от закона движения и т.д. Ничего подобного нет в стандартной полевой формулировке: действие () всегда локально и приводит к системе дифференциальных уравнений второго порядка. В самосогласованной задаче движения пары частиц в стандартной электродинамике часть из них (для частиц) -- обыкновенные, часть (для поля) -- в частных производных. Для вывода уравнений движения частиц в формулировке Фоккера-Тетроде, проварьируем действие (45) по закону движения $ x_1(t)$ первой частицы. При этом необходимо учесть, что величины, зависящие от закона движения второй частицы в действии взаимодействия также подлежат варьированию, поскольку они зависят от $ x_1(t)$ через соотношение (47). Например, вариация $ r_{12}^{\pm}$ с учетом (47) и (48) принимает вид:

$\displaystyle \delta x_{12}^{\pm}=\frac{\vec x_{12}^{\pm}\cdot\delta\vec x_1}{x_{12}^{\pm}\pm(\vec x_1-\vec x_2^{\pm})\cdot \vec v_2^{\pm}/c}.$ (49)
Используя (49), приходим к следующему уравнению движения для частицы 1:

$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\vec v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}\right)= \fr... ...{1}{c^2}\frac{d}{dt}\left( \frac{\vec v_2^\sigma}{x_{12}^\sigma}\right)\right],$ (50)
где

\begin{displaymath} \epsilon_\sigma=\left\{ \begin{array}{lr} +1,&\sigma=+1\\ -1,&\sigma=-1. \end{array}\right. \end{displaymath}

Уравнение для второй частицы получается заменой индексов $ 1\leftrightarrow2$ в выражении (50). В нерелятивистском пределе $ c\to\infty$ исчезают релятивистские эффекты и запаздывание с опережением, а уравнение (50) описывает нерелятивистскую задачу двух тел в кулоновом поле, решения которой хорошо известны. Уравнение (50) в общем виде изучено мало и его приближенные решения известны лишь для небольшого числа частных случаев. Главная проблема заключается в том, что в отличие от дифференциальных уравнений обычного типа, уравнение (50) связывает неизвестный закон и его производные не в один и тот же момент времени, а в разные моменты. При этом сдвиг во времени зависит от неизвестного закона движения. Уравнения такого рода называются в математической литературе дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом []. Наличие отклонения (запаздывания или опережения) приводит к необходимости пересмотра начальной задачи Коши. Напомним, что решения уравнений движения обычных механических систем содержат произвольные константы интегрирования, которые конкретизируются посредством задания начальных значений координат и скоростей. В случае уравнений с отклоняющимся аргументом, задания начальных значений координат и скоростей будет недостаточным. Это обстоятельство иллюстрируется рисунком ([перейти]). Для простоты на нем показано лишь запаздывающее взаимодействие. При заданных значениях координат и скоростей частиц в момент $ t=0,$ отрезки мировых линий $ AA'$ и $ BB'$ остаются неопределенными, поскольку их непосредственно определяет не настоящее и будущее, а прошлое частиц. Для корректной постановки задачи в качестве начального условия необходимо каким-либо образом задавать целые отрезки мировых линий. При произвольном задании этих отрезков, может оказаться, что прошлые истории частиц, описываемые отрезками $ AA''$ и $ BB''$ , которые могли бы определять движение на $ AA'$ и $ BB'$ не удовлетворяют исходным уравнениям движения (50). В этом случае, мы должны допустить существование каких-то сторонних сил, которые обеспечивают необходимый характер движения на $ AA''$ и $ BB'',$ чтобы $ AA'$ и $ BB'$ задавали нужные нам начальные условия. В такой постановке задача становится несамосогласованной. Самосогласованная постановка задачи получится, если наряду с начальными данными при $ t=0$ дополнительно потребовать, чтобы на всем временном интервале закон движения удовлетворял одним и тем же уравнениям (50). В такой постановке задача двух тел исследовалась Драйвером [28,29].

Характер решений уравнений движения с отклонением (даже в случае приближенных решений) значительно отличается от решения нерелятивистской задачи двух тел. В работе ([перейти]) изучался вопрос о существовании круговых орбит в динамике запаздывающего типа. Оказывается, что круговые орбиты в такой динамике могут образовывать лишь дискретный набор, при этом частицы могут не лежать на одном диаметре круговой орбиты. В симметричной электродинамике Фоккера-Тетроде появляется еще одна особенность: будущее влияет на прошлое в той же степени, в которой прошлое влияет на будущее. Рисунок ([перейти]) иллюстрирует это обстоятельство. Частица 1 посредством опережающего сигнала влияет на прошлое частицы 2, а частица 2 также посредством опережающего сигнала влияет на прошлое самой частицы 1. Аналогичные рассуждения справедливы и для будущих историй. В целом это означает, что задача об эволюции взаимодействующих частиц в симметричной электродинамике Фоккера-Тетроде должна изначально решаться в целом [29]. При этом мы с необходимостью приходим к вопросу о начально-конечных условиях как в прошлом и в будущем. В традиционной постановке эти условия не вытекают из уравнений движения и должны задаваться "руками" для выделения однозначного решения. В динамике с отклонением в принципе возможна ситуация, когда начальные условия однозначно определяются из условия самосогласованности решения на протяжении всего времени эволюции системы взаимодействующих частиц. Это обстоятельство, любопытное само по себе, могло бы послужить в качестве дополнительного критерия отбора реалистичных космологических моделей.

Рассмотрим, наконец, вопрос о том, почему в полевой формулировке электродинамики мы не сталкиваемся с проблемой решения уравнений с отклоняющимся аргументом, а имеем дело с обычными дифференциальными уравнениями. На самом деле, введение концепции поля в математическом отношении и можно рассматривать как способ перейти от дифференциальной системы с отклоняющимся аргументом к системе локальных дифференциальных уравнений. Запаздывание или опережение переносится при этом на "механизм распространения" вспомогательной сущности -- электромагнитного поля, которое с одной стороны приобретает свои собственные (фиктивные с точки зрения дальнодействующей формулировки) немеханические степени свободы, с другой -- позволяет наглядно объяснять и истолковывать электромагнитные явления по аналогии с механическими полями напряжений в физике сплошных сред. Разумеется, последовательная попытка решить релятивистскую задачу двух тел в рамках электродинамики Фарадея-Максвелла с необходимостью приведет к уравнениям с отклоняющимся аргументом. Действительно, Вариация действия стандартного действия ([перейти]) по полям дает уравнения Максвелла с источниками, подлежащими определению из уравнения движения ([перейти]). Последние получаются варьированием того же действия по координатам частиц. При этом компоненты тензора напряженности электромагнитного поля должны определяться из уравнений Максвелла ([перейти]). Таким образом, мы имеем зацепленную систему уравнений, которую можно решать "методом последовательного исключения переменных." Выберем в качестве промежуточной переменной компоненты электромагнитного поля, т.е. выразим поле из уравнений Максвелла через источники. Решение (векторный потенциал) будет выражаться через функцию Грина $ \mathcal{E}_{W-}$ по формуле:

$\displaystyle \mathfrak{A}(x)=\int\mathcal{E}_{W-}(x-x')\mathfrak{J}(x') d^4x.$ (51)
Интегрирование по времени в этом выражение приведет к появлению запаздывающего аргумента, так что

$\displaystyle \mathfrak{A}(x)=\int\frac{\mathfrak{J}^-}{\vert\vec x-\vec x'\vert} dV',$ (52)
где $ \mathfrak{J}^-\equiv\mathfrak{J}\vert _{t=t'-\vert\vec x-\vec x'\vert/c}.$ Подставляя выражение (52) в правую часть уравнений движения ([перейти]), мы и получим уравнения движения с запаздыванием. Отметим, что общее точное решение релятивистской задачи двух тел до сих пор неизвестно.

Далее: 8.  Заключение: еще раз Вверх: Близкодействие против дальнодействия: окончательна Previous: 6.  Неполное поглощение