вход

Оглавление


2.  Некоторые задачи с качением тел

Качение тел по плоской поверхности -- весьма распространенный вид механического движения. Однако, решение конкретных задач, связанных с качением тел, как правило, вызывает затруднения, которые можно было бы, в значительной степени, избежать, если в самом начале изучения этой темы более четко определить понятие силы трения качения. Дело в том, что при качении тел приходится иметь дело с тремя различными видами сил трения: силой трения покоя (у некоторых авторов "сцепления"), трения скольжения и трения качения (в узком собственном смысле). Только с последними двумя силами связана диссипация механической энергии (т.е. превращение механической энергии в тепло). Сила трения покоя, хотя и играет роль в динамике движения, механической работы не совершает. Привычка, или сложившийся стереотип решения задач, связанные с заменой распределенной по поверхности силы ее равнодействующей с определенной точкой приложения, приводят в случае трения качения к ряду "парадоксов", которых можно избежать, отказавшись от однозначности в трактовке этой силы. Ряд авторов классических учебников по физике для вузов, как правило, избегают рассмотрения этого вопроса. Полагая, что силы трения качения в обычных условиях невелики авторы учебников и задачников при рассмотрении задач на качение тел с проскальзыванием и без него, как правило, ограничиваются замечанием о том, что силами трения качения можно пренебречь, не оценивая значимость такого упрощения. Действительно, такой подход позволяет решить ряд задач достаточно просто и эффектно. При этом в ряде случаев используется закон сохранения механической энергии. Однако, несложный анализ обнаруживает, что при вынужденном качении тел по горизонтальной поверхности сила трения покоя может быть направлена в любую сторону и может даже обратиться в нуль, что для сил трения качения в узком смысле невозможно. В этой ситуации даже возникает вопрос: по сравнению с какой силой можно пренебречь силой трения качения? Задача о вынужденном качении достаточно поучительна и ее решение мы здесь обсудим. Цилиндр массы $ M$ и радиуса $ R$ находится на горизонтальной шероховатой поверхности. На цилиндре имеется шкив радиуса $ r<R.$ На шкив наматывается нить, которую тянут за конец с постоянной силой $ F.$ Исследуем зависимость силы трения покоя $ f$ от радиуса шкива и выясним условия, при которых качение будет происходить со скольжением. Силы трения качения в узком смысле будем, как это и принято, считать пренебрежимо малыми.

\includegraphics{allpic.1}   \includegraphics{allpic.2}
Рис. 3. Вынужденное качение цилиндра.   Рис. 4. График зависимости силы трения качения на площадке контакта от точки приложения внешней силы.

Силы, действующие на цилиндр изображены на рис. 3. Записав уравнение поступательного и вращательного движения в отсутствие проскальзывания:

$\displaystyle F+R=Ma;\quad (F-f)r=\frac{MR^2}{2}\cdot\frac{a}{R}, $

получаем выражение для силы трения покоя:

$\displaystyle f=\frac{2r-R}{2r+R}F. $

График полученной зависимости представлен на рис.4. Скольжения не будет, пока $ \vert f\vert\le \mu mg,$ ($ \mu$ -- коэффициент трения), т.е. при

$\displaystyle \mu\ge \left\vert\frac{F}{Mg}\left(\frac{2r-R}{2r+R}\right)\right\vert. $

Если силу $ F$ приложить на расстоянии $ r=R/2$ от центра, скольжения не будет при любом сколь угодно малом коэффициенте трения. При приложении силы $ F$ вблизи центра катящегося тела, возникающая сила трения покоя, практически, равна по модулю и противоположна по направлению приложенной внешней силе. Если же внешнюю силу приложить на расстоянии $ r>R/2$ от центра катящегося цилиндра, сила трения покоя будет направлена в ту же сторону, что и внешняя сила. Это интересное обстоятельство иллюстрирует нашу идею, высказанную во введении. Часть механизмов силы трения качения обусловлена физическими процессами, происходящими на площадке контакта. В частности, одной из важных характеристик этих процессов является истинное распределение напряжений на ней. Разобранная задача наглядно демонстрирует, что распределение напряжений на площадке контакта кардинальным образом зависит от способа приложения силы, т.е. от условий качения. Естественно ожидать, что и сила трения качения будет существенно зависеть от этих условий. Задачи подобного типа нуждаются в уточнении для объяснения ряда наблюдаемых эффектов, возникающих при качении. В качестве примера рассмотрим особенности движения бильярдных шаров. Рассмотрим следующий вопрос: как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы сила трения шара о сукно заставляла его двигаться: а) ускоренно; б) замедленно; в) равномерно. Для упрощения анализа предположим, что удар наносится кием горизонтально в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и точку касания его с поверхностью бильярдного стола (рис. 5).

\includegraphics{allpic.3}   \includegraphics{allpic.4}
Рис. 5. Удар по бильярдному шару.   Рис. 6. Различные направления силы трения скольжения в зависимости от характера движения бильярдного шара.

На первый взгляд, может показаться странным, что после удара шар может двигаться по столу ускоренно, поскольку принято считать, что силы трения всегда направлены в сторону, противоположную движению. На самом деле, в зависимости от условий удара, сила трения может быть направлена как по скорости движения, так и против нее (6). Действительно, вследствие удара шар приобретает как поступательное, так и вращательное движение. Здесь возможны три различных ситуации. 1. Если скорость поступательного движения меньше линейной скорости вращательного движения точек на поверхности шара $ (v_{\text{п}}<v_{\text{в}}),$ то шар движется с проскальзыванием и возникает сила трения скольжения, направленная в сторону движения, увеличивающая скорость поступательного движения и уменьшающая скорость вращательного движения до тех пор, пока эти скорости не сравняются. После этого потери механической энергии шара при его качении будут определяться силой трения качения в узком смысле. 2. Если скорость поступательного движения будет больше скорости вращательного движения $ (v_{\text{п}}>v_{\text{в}}),$ то шар будет двигаться замедленно. 3. При $ (v_{\text{п}}=v_{\text{в}})$ шар покатится с последующей постепенной потерей энергии за счет действия сил трения качения. Необходимые условия удара (см. рис. 5) находятся из уравнений динамики поступательного и вращательного движений (без учета сил трения качения):

$\displaystyle F=\frac{dv_{\text{п}}}{dt};\quad Fr=J\frac{d\omega}{dt}, \vrule depth 15pt width0pt $

где $ J=2mR^2/5$ -- момент инерции шара. Отсюда:

$\displaystyle dv_{\text{вр}}=\frac{Fr dt}{2mR/5};\quad dv_{\text{п}}=\frac{F dt}{m}. \vrule depth 15pt width0pt $

В силу того, что начальные значения поступательной и вращательной скоростей равны нулю, имеем:

$\displaystyle v_{\text{п}}<v_{\text{в}}\quad \text{при}\quad d(v_{\text{п}}-v_{\text{в}})<0\Rightarrow R>r>\frac{2}{5}R; $

$\displaystyle v_{\text{п}}>v_{\text{в}}\quad \text{при}\quad d(v_{\text{п}}-v_{\text{в}})>0\Rightarrow 0<r<\frac{2}{5}R; $

$\displaystyle v_{\text{п}}=v_{\text{в}}\quad \text{при}\quad d(v_{\text{п}}-v_{\text{в}})=0\Rightarrow r=\frac{2}{5}R; $

Рассмотрим теперь задачу о столкновении бильярдных шаров при различных условиях. Точнее, определим условия, при которых при столкновении движущегося шара с другим (неподвижным) шаром: 1) оба шара стали двигаться вперед (удар с накатом); 2) налетающий шар остановился, а покоящийся стал двигаться вперед; 3) налетающий шар после удара откатился назад (удар с оттяжкой). По-прежнему мы будем пренебрегать силой трения качения шаров как при движении шаров, так и в процессе их взаимодействия. Первый случай реализуется при высоких ударах $ (r>2R/5),$ когда шар движется с вращением в сторону движения. При упругом столкновении шары обмениваются поступательными импульсами и второй шар начинает скользить со скоростью первого. При этом сила трения скольжения будет уменьшать скорость поступательного и увеличивать скорость вращательного движений до того момента, до того момента, когда они сравняются и шар покатится. Движущийся шар остановится, но, поскольку он вращался, сила трения скольжения будет продолжать действовать вперед и шар снова начнет двигаться. Для того, чтобы произвести столкновение шаров типа "удара с оттяжкой", необходимо, чтобы скользящий шар вращался противоположно рассмотренному выше случаю. Наконец, чтобы реализовать столкновение с остановкой налетающего шара, необходимо, чтобы его поступательная и вращательная скорость после удара одновременно обратились в нуль. На практике это возможно, но теоретическое объяснение в этом случае потребует учета силы трения качения. Следует отметить, что и предыдущих ситуациях учет силы трения качения при столкновениях может привести к существенной модификации решения.
След.: 3.  Оценки различных составляющих Выше: Что такое сила трения Пред.: 1.  Введение