вход

Оглавление


2.  Полиуглы в пространствах $ \mathcal {H}_n$

2.1.  Алгебра и геометрия $ P_3$

Для удобства мы рассмотрим сводку сведений по алгебре и геометрии поличисел $ P_3.$ Большая часть из этих свойств тривиальным образом рапространяется на общие поличисла $ P_n.$

2.1.1.  Алгебра и операции

Ассоциативно-коммутативная алгебра $ P_3$ над полем $ R$ (алгебра 3-чисел) обобщает хорошо известную алгебру двойных чисел на плоскости. Ее общий элемент имеет вид

$\displaystyle A=A_1e_1+A_2e_2+A_3e_3,$ (1)
где $ \{e_i\}$ -- специальный набор образующих алгебры, удовлетворяющих соотношениям:

$\displaystyle e_ie_j=\delta_{ij}e_i$   (нет суммирования!)$\displaystyle .$ (2)
Из соотношений (2) следуют простые правила умножения и деления поличисел:

$\displaystyle AB=A_1B_1e_1+A_2B_2e_2+A_3B_3e_3;
$

$\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{A_1}{B_1}e_1+\frac{A_2}{B_2}e_2+\frac{A_3}{B_3}e_3,
$

при этом деление определено только на т. н. невырожденные элементы, у которых все $ B_i\neq0.$ Роль единицы алгебры $ P_3$ играет элемент $ I=e_1+e_2+e_3.$

2.1.2.  Комплексные сопряжения и (псевдо)норма

Определим в $ P_3$ две операции комплексного сопряжения:

$\displaystyle A^{\dag }=(A_1e_1+A_2e_2+A_3e_3)^{\dag }\equiv
A_3e_1+A_1e_2+A_2e_3,
$

$\displaystyle A^{\ddag }=(A_1e_1+A_2e_2+A_3e_3)^{\ddag }\equiv
A_2e_1+A_3e_2+A_1e_3
$

и рассмотрим 3-число $ AA^{\dag }A^{\ddag }.$ Простое вычисление показывает, что оно вещественно и равно $ A_1A_2A_3I.$ Таким образом по аналогии с модулем комплексного числа в $ P_3$ можно ввести (псевдо)норму по формуле:

$\displaystyle \Vert A\Vert\equiv (AA^{\dag }A^{\ddag })^{1/3}=(A_1A_2A_3)^{1/3}.$ (3)
Для невырожденных 3-чисел эта норма имеет многие свойства обычной нормы, в частности, для таких 3-чисел имеет место равенство:

$\displaystyle \Vert AB\Vert=\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert.$ (4)

2.1.3.  Делители нуля и группа внутренних автоморфизмов

В отличие от поля комплексных чисел и тела кватернионов, алгебра $ P_3$ имеет делители нуля, т. е. существуют не равные нулю элементы $ N\in P_3$ , удовлетворяющие условию: $ \Vert NA\Vert=0$ для всякого $ A\in P_3.$ Такие элементы называются вырожденными и характеризуются тем, что в их представлении (1) имеются нулевые коэффициенты. Отметим, что множество вырожденных элементов замкнуто относительно умножения в $ P_3.$ Мы будем обозначать это подмножество $ P_3^{\circ}.$ С операцией умножения на невырожденные элементы в $ P_3$ связана группа внутренних автоморфизмов Aut$ (P_3),$ которая изоморфна подгруппе (по умножению) невырожденных элементов:

Aut$\displaystyle (P_3)\sim P_3\setminus P_3^{\circ},$   Aut$\displaystyle (P_3)\ni\sigma: A\to\sigma(A)\equiv \sigma A.$ (5)
В этой группе выделяется подгруппа $ D_2\subset
P_3$ группы изометрий Iso$ (P_3),$ элементы которой сохраняют норму. Ввиду определения (5) и свойства (4), элементы этой подгруппы выделяются условием: $ \Vert\sigma\Vert=1$ или в компонентах: $ \sigma_1\sigma_2\sigma_3=1.$ Группа $ D_2$ -- 2-параметрическая абелева, а группа Iso$ (P_3)$ -- 5-параметрическая неабелева. Кроме подгруппы $ D_2$ она включает в себя подгруппу трансляций, изоморфную $ R^3.$

2.1.4.  Ряды и экспоненциальное представление

В пространстве $ P_3$ (и любом $ P_n$ ) можно определять степени элементов любого порядка и аналитические функции поличисловой переменной. Например, функцию $ e^A$ можно определить стандартным рядом для экспоненты:

$\displaystyle e^A\equiv I+A+\frac{A^2}{2!}+\dots=e^{A_1}e_1+e^{A_2}e_2+e^{A_3}e_3.$ (6)
Определим теперь экспоненциальное представление поличисла по формуле:

$\displaystyle A=\Vert A\Vert e^{B},$ (7)
где $ B$ -- некоторое 3-число, инвариантное относительно действия группы $ D_2,$ сохраняющей норму $ \Vert A\Vert.$ Компоненты этого числа в базисе $ \{e_i\}$ называются экспоненциальными углами. Независимых экспоненциальных углов будет два, поскольку, как мы увидим ниже, пространство чисел $ B$ для числа $ A$ с фиксированной нормой $ \Vert A\Vert$ будет 2-мерным. Для выяснения явного вида экспоненциальных углов, выполним следующую цепочку тождественных преобразований в предположении, что все $ A_i>0$ :

$\displaystyle A=A_1e_1+A_2e_2+A_3e_3=(A_1A_2A_3)^{1/3}\times
$

$\displaystyle \left(\frac{A_1^{2/3}}{(A_2A_3)^{1/3}}e_1+\frac{A_2^{2/3}}{(A_1A_3)^{1/3}}e_2+\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}e_3\right)=
$

$\displaystyle \Vert A\Vert(e^{\ln(A_1^{2/3}/(A_2A_3)^{1/3})}e_1+e^{\ln(A_2^{2/3}/(A_1A_3)^{1/3})}e_2+e^{\ln(A_3^{2/3}/(A_1A_2)^{1/3})}e_3)=
$

$\displaystyle \Vert A\Vert(e^{\chi_1}e_1+e^{\chi_2}e_2+e^{\chi_3}e_3)=\Vert A\Vert e^{\chi_1e_1+\chi_2e_2+\chi_3e_3},$ (8)
где величины

$\displaystyle \chi_1\equiv\ln\left[\frac{A_1^{2/3}}{(A_2A_3)^{1/3}}\right]; \c...
...3)^{1/3}}\right]; \chi_3\equiv\ln\left[\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}\right]$ (9)
и есть искомые экспоненциальные углы. Ввиду соотношения:

$\displaystyle \chi_1+\chi_2+\chi_3=0,$ (10)
которое в силу формул (9) выполняются тождественно, независимых углов будет только два и представление (8) можно переписать в следующих эквивалентных формах:

$\displaystyle A=\Vert A\Vert e^{-\chi_2E_3+\chi_3E_2}=\Vert A\Vert e^{\chi_1E_3-\chi_3E_1}=\Vert A\Vert e^{-\chi_1E_2+\chi_2E_1},
$

где $ E_1=e_2-e_3,$ $ E_2=e_3-e_1,$ $ E_3=e_1-e_2$ -- комбинации базисных векторов, являющиеся генераторами группы $ D_2.$ Операции комплексного сопряжения действуют на экспоненциальные углы следующим образом:

$\displaystyle \dag :\quad \chi_1\to\chi_3; \chi_2\to\chi_1; \chi_3\to\chi_2;\quad
\ddag : \chi_1\to\chi_2; \chi_2\to\chi_3; \chi_3\to\chi_1
$

и обеспечивают справедливость формулы (3) в экспоненциальном представлении.


2.1.5.  Обобщения экспоненциальных углов

В предыдущем подразделе формулы (9) подразумевают, что все $ A_i>0.$ Другими словами, формула (7) справедлива только для "положительного октанта". Нетрудно определить экспоненциальное представление и в других октантах, немного обобщив (7). Именно, определим экспоненциальное представление для поличисла из внутренности произвольного октанта по формуле

$\displaystyle A=I_{(j)}\Vert A'\Vert e^{B'},$ (11)
где $ I_{(j)}$ $ (j=1,\dots,8)$ -- единичный вектор в направлении пространственной биссектриссы (в евклидовом смысле) соответствующего координатного октанта, число $ A'=A/I_{(j)}$ лежит в положительном октанте, а $ B'$ получается из $ B$ по формулам предыдущего подраздела с заменой $ A\to A/I_{(j)}.$ Такое определение снимает искусственное ограничение на область определения экспоненциальных углов и более адекватно передает их смысл как величин, отсчитываемых от соответствующих направлений $ I_{(j)}.$ Отметим, что в наших обозначениях мы принимаем $ I_1\equiv
I.$ В дальнейшем, если не оговорено особо, все рассмотрения будут проводиться в положительном октанте. Обобщение формул экспоненциального представления на поличисла $ P_n$ вполне элементарно. Для него имеет место формула (11), в которой индекс $ j$ может пробегать уже $ 2^n$ значений по числу разделенных координатными плоскостями областей (многомерных октантов). При этом в положительном октанте

$\displaystyle \Vert A\Vert=[\prod\limits_{i=1}^n A_i]^{1/n};\quad \chi_k=\ln\left[\frac{A_k}{\Vert A\Vert}\right]
$

и имеют место аналогичные формулы для соответствующих штрихованных величин для любого из $ 2^n$ многомерных октантов.

2.1.6.  Скалярное 3-произведение (полипроизведение)

С помощью операций $ \dag$ и $ \dag$ можно определить вещественное число $ (A,B,C),$ называемое скалярным 3-произведением элементов $ A,B,C$ , которое строится на любых трех векторах в $ P_3$ по правилу:

$\displaystyle {}^{(3)}G(A,B,C)\equiv(A,B,C)\equiv\sum\limits_{X,Y,Z=S(ABC)}XY^{\dag }Z^{\ddag }=$perm$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} A_1&A_2&A_3 B_1&B_2&B_3 C_1&C_2&C_3 \end{array}\right),$ (12)
где $ S(ABC)$ -- множество перестановок элементов $ A,B,C,$ а perm$  (M)$ -- перманент матрицы $ M,$ который повторяет структуру ее детерминанта, но все 6 слагаемых в нем берутся со знаком "плюс". Для поличисел $ P_n$ имеет место аналогичное определение $ n$ -произведения:

$\displaystyle {}^{(n)}G(X_1,\dots X_n)\equiv$perm$\displaystyle (X_1,\dots,X_n),
$

где $ \{X_i\}$ -- набор из $ n$ штук $ n$ -чисел.

2.2.  Пространства Бервальда-Моора

Если теперь абстрагироваться от алгебры и с самого начала рассматривать векторное пространство с 3-скалярным произведением, которое в специальном базисе имеет вид (12), мы приходим к финслеровому 3-мерному пространству Бервальда-Моора (БМ), которое будем обозначать $ \mathcal {H}_3.$ В отличие от $ P_3,$ в нем не предполагается существования какой-либо мультипликативной алгебры. Можно сказать, что отношение между $ P_3$ и $ \mathcal {H}_3$ аналогично отношению между комплексной плоскостью $ C$ и евклидовой плоскостью $ R^2.$

2.2.1.  Конструкция соприкосновения

Векторы $ \mathcal {H}_3$ , имеющие нулевую норму, называются в геометрии БМ изотропными. Как видно из определения (3), всякий изотропный вектор лежит в какой-либо из трех координатных плоскостей изотропной системы координат. В частности, векторы $ e_1=\{1,0,0\},e_2=\{0,1,0\},e_3=\{0,0,1\}$ изотропного базиса этой системы являются изотропными. Таким образом, все координатное пространство $ \mathcal {H}_3$ разбивается координатными плоскостями на 8 октантов, внутри которых нормы векторов отличны от нуля и имеют определенные знаки (рис. 1). На координатных плоскостях метрика (12) становится



\begin{picture}(72.50,59.83)
\unitlength=1mm
\emline{36.50}{55.00}{1}{36.50}{0.3...
....83){\makebox(0,0)[cc]{7}}
\put(44.17,10.67){\makebox(0,0)[cc]{8}}
\end{picture}
Рис. 1. Изотропные координатные плоскости и октанты в $ \mathcal {H}_3$


геометрически вырожденной, поскольку все векторы на них имеют нулевую норму. Для правильного описания геометрических свойств координатных плоскостей (это -- 2-мерные псевдоевклидовы пространства) можно использовать конструкцию соприкосновения [9]. Ее суть заключается в переходе от финслеровой метрики $ {}^{(3)}G$ вида (12) к соприкасающейся c ней вдоль вектора $ e_j$ квадратичной метрике: $ {}^{(2)}G_{(j)}\equiv{}^{(3)}G(e_j, , ),$ действующей в гиперплоскости направлений $ x^j=$const$ .$ Например, для случая $ j=3$ будем иметь:

$\displaystyle {}^{(2)}G_{(3)}\equiv {}^{(3)}G(e_3, , )=dX_1\otimes dX_2+dX_2\otimes dX_1
$

-- метрику Бервальда-Моора на плоскостях $ X_3=$const$ ,$ которая является 2-мерной метрикой Минковского, записанная в изотропных координатах.

2.2.2.  Индикатрисса

Метрические свойства пространства $ \mathcal {H}_3$ наглядно иллюстрируются видом единичной сферы $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ (индикатриссы $ \mathcal {H}_3$ ), которая определяется уравнением:

$\displaystyle \vert \Vert X\Vert \vert=\vert(X_1X_2X_3)^{1/3}\vert=1,$ (13)
где $ X=\{X_1,X_2,X_3\}$ -- радиус-вектор в $ \mathcal {H}_3.$ Поверхность $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ -- 8-связная и некомпактная. Ее компоненты связности расположены симметрично во всех 8 октантах и обладают дискретной симметрией относительно любых перестановок координат. Сечения этой поверхности плоскостями $ X_i=$const -- это семейство гипербол (понимаемых в евклидовом смысле). Наглядно одна из компонент индикатриссы в евклидовом представлении изображена на рис. 2.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{32.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{31.eps}
Рис. 2. Компонента индикатриссы $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}},$ лежащая в первом октанте. На правом рисунке эта компонента компактифицирована в единичный куб с помощью отображения $ X_i\mapsto \tanh(X_i\ln3/2).$ Коэффициент в аргументе гиперболического тангенса подобран так, чтобы точка $ \{1,1,1\}$ переходила в точку $ \{1/2,1/2,1/2\}$ единичного куба.

2.2.3.  Геометрическая интерпретация группы Iso$ (\mathcal{H}_3)$

Как, собственно, уже отмечалось выше группа изометрий Iso$ (\mathcal{H}_3)$ метрики (12) состоит из 3-параметрической абелевой подгруппы трансляций с элементами $ T_A: X\to X+A$ и 2-параметрической абелевой подгруппой унимодулярно-согласованных дилатаций $ {D}_2$ с элементами $ D_{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3}: \{X_1,X_2,X_3\}\to \{\sigma_1X_1,\sigma_2X_2,\sigma_3X_3\}$ и соотношением

$\displaystyle \sigma_1\sigma_2\sigma_3=1.$ (14)
С алгебраической точки зрения на $ \mathcal {H}_3$ группа $ {D}_2$ есть ни что иное, как описанная выше подгруппа из Iso$ (P_3)$ умножений на элементы с единичной нормой. Отметим еще раз, что группа Iso$ (\mathcal{H}_3)$ -- неабелева и имеет структуру полупрямого произведения: Iso$ (\mathcal{H}_3)=\mathcal{R}^3\rtimes{D}_2.$ Группа $ {D}_2$ играет роль вращений в пространстве $ \mathcal {H}_3$ и обобщает гиперболические вращения псевдоевклидовой плоскости. В частности, действие группы $ {D}_2$ на индикатриссе транзитивно: $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}}\stackrel{{D}_2}{\to}\mathcal{S}^2_{\text{BM}}.$ Мы увидим, что отличия групп евклидовых и гиперболических вращений (размерность и коммутационные соотношения) приводят к важным и интересным геометрическим следствиям. Для высших пространств БМ $ \mathcal {H}_n$ аналогично имеем Iso$ (\mathcal{H}_n)=R^n\rtimes D_{n-1}.$

2.3.  Об одном определении углов в евклидовом пространстве

Напомним, что одно из эквивалентных определений угла в евклидовом пространстве связано с длиной дуги на единичной окружности. Действительно, из метрического определения угла $ \varphi[\overrightarrow{a},
\overrightarrow{b}]$ между векторами на евклидовой плоскости со скалярным произведением $ ( , )$ :

$\displaystyle \varphi[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]\equiv\arccos\frac...
...ad \vert\overrightarrow{a}\vert= \sqrt{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a})}$ (15)
следует, что $ \varphi[\overrightarrow{a},
\overrightarrow{b}]=\varphi[\overrightarrow{n}_{a},
\overrightarrow{n}_b],$ где $ \overrightarrow{n}_{a},
\overrightarrow{n}_b$ -- единичные направляющие векторы для векторов $ \overrightarrow{a}$ и $ \overrightarrow{b}$ соответственно. Применяя это определение для вычисления длины $ L_S[\overrightarrow{n}_{a},
\overrightarrow{n}_b]$ дуги единичной окружности $ S,$ заключенной между концами векторов $ \overrightarrow{n}_{a}$ и $ \overrightarrow{n}_b$ , получаем:

$\displaystyle L_S[\overrightarrow{n}_{a}, \overrightarrow{n}_b]=\varphi_b-\varphi_a=\varphi[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}],$ (16)
где $ \varphi_{a}$ и $ \varphi_{b}$ -- угловые координаты концов векторов $ \overrightarrow{n}_{a}$ и $ \overrightarrow{n}_b$ , отсчитываемые от некоторого фиксированного направления. При этом аддитивность угла автоматически обеспечивается аддитивностью длины кривой (что, в свою очередь, связано с аддитивностью интеграла), а его конформная инвариантность, по существу, обеспечивается рассмотрением на единичной окружности. Можно обратить рассуждение и положить конструкцию на единичной окружности в основу определения угла. При этом мы приходим к определению (15) как следствию определения на единичной окружности. Именно такой способ изложения принят в элементарной геометрии.



\begin{picture}(72.50,59.83)
\unitlength=1mm
\emline{36.50}{55.00}{1}{36.50}{0.3...
....83){\makebox(0,0)[cc]{7}}
\put(44.17,10.67){\makebox(0,0)[cc]{8}}
\end{picture}
Рис. 3. К определению угла в евклидовом пространстве.


Для пары векторов в евклидовом пространстве (любого числа измерений) конструкция без труда переносится на евклидову единичную сферу (см. рис. 3). При этом плоскость векторов пересекается со этой сферой по окружности единичного радиуса и угол снова можно определять по формулам аналогичным (16). По самому построению угол обладает свойством аддитивности:

$\displaystyle \varphi[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{c}]=\varphi[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]+\varphi[\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]$ (17)
для всякой тройки ненулевых векторов, удовлетворяющих условию компланарности:

$\displaystyle \frac{a_1b_2-a_2b_1}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{a_1b_3-a_3b_1}{a_1c_3-a_3c_1}=\frac{a_2b_3-a_3b_2}{a_2c_3-a_3c_2} \vrule depth15pt width0pt$ (18)
или в более компактной форме, которая не зависит от размерности:

$\displaystyle \vec a\wedge\vec b\wedge\vec c=0,$ (19)
где $ \wedge$ -- стандартная операция внешнего умножения. Принципиальным для нашего дальнейшего рассмотрения фактом является то (геометрически неслучайное!) обстоятельство, что окружности, высекаемые на сфере плоскостями, проходящими через ее центр, являются экстремалями длины на сфере как на многообразии с метрикой, индуцированной евклидовой метрикой объемлющего пространства. Оказывается, метрический аналог именно этого обстоятельства и можно положить в основу общего определения углов в $ \mathcal{H}_n.$

2.4.  Угол (взаимный бингл) в $ \mathcal {H}_3.$

Мы переходим к определению понятия угла в $ \mathcal {H}_3.$ Определение угла, связанное с построениями на единичной сфере, полностью эквивалентно другим определениям, с помощью которых можно определять угол, оставаясь в рамках евклидовой геометрии. Неэквивалентность различных определений становится явной при попытке определить аналогичное по смыслу понятие в рамках другой геометрии. Руководящим принципом на этом пути выступает принцип деформации евклидовой геометрии (или более точно -- принцип "жесткости" евклидовых определений). В явном виде этот принцип был сформулирован Ю.А.Рыловым в [8] для иных целей. Суть принципа деформации можно сформулировать следующим образом: определение объекта в рамках любой метрической геометрии совпадает с его определением $ \Phi_{\text{D}}$ в евклидовой геометрии, где $ \Phi_{\text{D}}$ -- "формула объекта", записанная исключительно в терминах метрики $ D$ . В качестве простейшего примера приложения принципа деформации приведем определение сферы $ S_R(p)$ радиуса $ R$ с центром в точке $ p$ в абстрактном метрическом пространстве $ L$ :

$\displaystyle S_R(p)=\{x\in L\vert D(p,x)=R\}.
$

2.4.1.  Определение угла в $ \mathcal {H}_3$

Рассмотрим пару неизотропных векторов $ A,B\in\mathcal{H}_3,$ между которыми мы собираемся определить угол (бингл). Пусть сначала для определенности оба вектора лежат в одном и том же (например, первом) координатном октанте. Перейдем от векторов $ A,B$ к их единичным направляющим векторам: $ a=A/\Vert A\Vert$ и $ b=B/\Vert B\Vert$ соответственно. Их концы отмечают некоторые точки индикатриссы $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}},$ координаты которых можно представить в виде:

$\displaystyle a=\{a_1,a_2,(a_1a_2)^{-1}\};\quad b=(b_1,b_2,(b_1b_2)^{-1}).
$

Используя свободу изометрий группы $ \mathcal{D}_2$ , систему координат можно приспособить к этой паре таким образом, чтобы один из векторов -- пусть для определенности это будет вектор $ a$ -- стал ориентированным вдоль пространственной биссектриссы первого координатного октанта. Координаты пары векторов $ a$ и $ b$ станут при этом равными $ \{1,1,1\}$ и $ \{b_1/a_1,b_2/a_2,a_1a_2/(b_1b_2)\}$ соответственно. Будем называть такой выбор системы координат среди класса всех изотропных систем каноническим по отношению к паре векторов $ A$ и $ B$ . Каноническая система изотропных координат в принципиальном плане ничем не выделена по сравнению с другими изотропными системами, но некоторая часть вычислений производится в ней несколько проще. Определим бингл $ \phi[A,B]$ между векторами $ A$ и $ B$ следующей формулой:

$\displaystyle \phi[A,B]=L_{\mathcal{S}^2_{\text{BM}}}[a,b],$ (20)
где правая часть, по аналогии с формулой (16) квадратичного случая, определяет длину экстремали на индикатриссе $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}},$ вычисленную между концами векторов $ a$ и $ b.$ В отличие от евклидова случая, в геометрии $ \mathcal {H}_3$ сечения $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ плоскостями (аффинными) вообще говоря не будут экстремальными кривыми на этой поверхности. Прежде чем перейти к отысканию экстремалей на $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}},$ произведем небольшой подсчет оставшихся степеней свободы у пары исходных векторов $ A$ и $ B$ . Из шести начальных степеней свободы (шесть координат векторов) мы должны вычесть две степени свободы, связанных с двумя условиями нормировки, и две степени свободы, устраняемые за счет выбора канонической системы координат. В результате остается две степени свободы, что, в принципе, дает возможность определения двух типов бинглов. Таким образом, у пары векторов в $ \mathcal {H}_3$ имеется 4 собственных характеристики этой пары -- две нормы и два бингла. Очевидно, что отличие от ситуации в 3-мерном евклидовом или псевдоевклидовом пространствах (две нормы и один угол) связано с 2-мерностью группы гиперболических вращений в $ \mathcal {H}_3$ (в упоминаемых квадратичных 3-мерных пространствах группа вращений 3-мерна). Второй конформно-инвариантный и аддитивный бингл мы определим чуть позже.


2.4.2.  Экстремали $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ и их свойства

Выражая из уравнения (13) одну из координат через две других (например $ X_3$ через $ X_1$ и $ X_2$ : $ X_3=(X_1X_2)^{-1}$ ) и представляя координатную 1-форму $ dX_3$ в виде:

$\displaystyle dX_3=d(X_1X_2)^{-1}=-\frac{dX_1}{X_1^2X_2}-\frac{dX_2}{X_1X_2^2},
\vrule depth15pt width0pt
$

приходим к внутренней метрике на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ :

$\displaystyle \mathcal{G}\equiv{}^{(3)}G\vert _{\mathcal{S}^2_{\text{BM}}}=$ (21)

$\displaystyle -\frac{2}{X_1^2X_2}(dX_1\otimes dX_1\otimes dX_2+dX_1\otimes dX_2\otimes dX_1+dX_2\otimes dX_1\otimes dX_1)
$

$\displaystyle -\frac{2}{X_2^2X_1}(dX_2\otimes dX_2\otimes dX_1+dX_2\otimes dX_1\otimes dX_2+dX_1\otimes dX_2\otimes dX_2).
$

Таким образом, координатная плоскость $ \{X_1,X_2\}$ с выколотыми осями выступает как координатная карта многообразия $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ в целом (четыре различных ее квадранта для восьми различных компонент поверхности $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ ). Вводя параметризованные кривые $ \Gamma$ : $ \{X_1=X_1(\tau),$ $ X_2=X_2(\tau)\}$ можно составить функционал длины для этих кривых6:

length$\displaystyle [\Gamma]=\int\limits_{\Gamma} ds= \int\limits_{\tau_1}^{\tau_2}\...
...3}\int\limits_{\tau_1}^{\tau_2}\mathcal{G}(\dot X,\dot X,\dot X)^{1/3}  d\tau=$ (22)

$\displaystyle \int\limits_{\tau_1}^{\tau_2}
\left[\frac{\dot X_1^2\dot X_2}{X_1^2X_2}+\frac{\dot X_2^2\dot X_1}{X_2^2X_1}\right]^{1/3} d\tau.
$

При выборе в качестве параметра $ \tau$ длины дуги $ s$ кривой (натуральная параметризация) стандартная процедура варьирования этого функционала с закрепленными начальной и конечной точками приводит к следующей системе уравнений на экстремальные кривые поверхности $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ :

$\displaystyle \frac{dW_1}{ds}+\frac{d\ln X_1}{ds}W_1=0;\quad \frac{dW_2}{ds}+\frac{d\ln X_2}{ds}W_2=0, \vrule depth15pt width0pt$ (23)
где

$\displaystyle W_1=\frac{2\dot X_1\dot X_2}{X_1^2X_2}+\frac{\dot X_2^2}{X_2^2X_1};\quad W_2=\frac{2\dot X_1\dot X_2}{X_2^2X_1}+\frac{\dot X_1^2}{X_1^2X_2}.$ (24)
Полученные уравнения (23) легко интегрируются: $ W_i=C_i/X_i$ $ i=1,2,$ где $ C_i$ -- константы интегрирования, откуда, с учетом (24), приходим к системе уравнений первого порядка:

$\displaystyle \frac{2\dot X_1\dot X_2}{X_1X_2}+\frac{\dot X_2^2}{X_2^2}=C_1;\quad
\frac{2\dot X_1\dot X_2}{X_1X_2}+\frac{\dot X_1^2}{X_1^2}=C_2.
$

Вводя новую переменную $ U_i=d\ln X_i/ds,$ полученную систему можно свести к чисто алгебраической:

$\displaystyle 2U_1U_2+U_2^2=C_1;\quad 2U_1U_2+U_1^2=C_2.
$

Пусть $ U_1=C'_1=$const$ ,$ $ U_2=C'_2=$const -- ее решение, тогда возвращаясь к переменным $ X_1$ и $ X_2$ получаем общее представление для экстремалей на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ в виде:

$\displaystyle X_1=A_1e^{q_1s};\quad X_2=A_2e^{q_2s}.$ (25)
Константы $ A_i,q_i$ находятся путем задания начальных и (или) конечных условий для экстремали. При этом компоненты вектора скорости $ \dot X$ в силу натуральности параметризации должны удовлетворять условию $ \vert\dot X\vert _{\mathcal{G}}=1,$ что с учетом вида $ ds$ в (22), приводит к дополнительному ограничению:

$\displaystyle q_1q_2(q_1+q_2)=1.$ (26)
Зависимость (26) представлена на рис. 4.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{21.eps}

Рис. 4. Зависимость (26) на плоскости $ (q_1,q_2).$ Зависимость содержит три ветви: ветвь (1-2) при $ q_1q_2>0,$ ветвь (1-3) при $ q_1>0,q_2<0$ и ветвь (2-3) при $ q_1<0,q_2>0.$ Каждая из этих трех ветвей описывает пучки экстремалей, пересекающих соответствующую пару из шести компонент единичной окружности на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ (см. рис. 5 и 6).

Проекции экстремалей $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ на координатную плоскость $ \{X_1,X_2\}$ -- степенные кривые вида: $ X_2=(A_2/A_1^{1/B_1})X_1^{B_2/B_1}.$ Как было отмечено выше, экстремали на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ в общем случае не являются плоскими в аффинном смысле. Несколько представителей из класса экстремальных кривых показано на рисунке 5.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{22.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{23a.eps}

Рис. 5. Семейство экстремалей на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ , пересекающихся в точке $ \{1,1,1\}$ $ (A_1=A_2=1)$ для значений параметров $ q_1=1/25,1/16,1/9,1/4,1/2,1/2^{1/3},$ $ 1,2,3,4,5,$ и значений $ q_2,$ взятых на ветви (1-2) зависимости (26) (см. рис. 4). На правом рисунке левый (взятый с продолженными экстремалями) компактифицирован в единичный куб с помощью отображения: $ X_i\to\tanh(X_i\ln3/2).$

Кроме экстремалей нам в дальнейшем потребуются выражения и свойства геодезических окружностей на $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}}.$ По определению, геодезической окружностью с центром в точке $ p\in
\mathcal{S}^2_{\text{BM}}$ называется множество точек $ p'\in\mathcal{S}^2_{\text{BM}}$ удаленных от $ p$ на некоторое фиксированное расстояние $ \vert R\vert$ (это расстояние равно длине экстремали, соединяющей $ p$ и $ p'$ ), которое называется (геодезическим) радиусом окружности. В силу равноправия точек на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ достаточно рассмотреть структуру геодезической окружности с центром в точке $ \{1,1,1\}.$ Параметрическое уравнение такой окружности получится, если в уравнениях (25) зафиксировать параметр $ s$ : $ \vert s\vert=\vert R\vert,$ а менять один из параметров $ q_i,$ например $ q_1.$ Таким образом, параметрическое уравнение единичной окружности на $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ с центром в точке $ \{1,1,1\}$ имеет вид:

$\displaystyle X_1=e^{\pm q_1};\quad X_2=e^{\pm q_2};\quad X_3=e^{\mp(q_1+q_2)},$ (27)
где параметр $ q_2$ связан с $ q_1$ соотношением (26). В зависимости от выбора знака $ \pm$ и номера ветви в зависимости (26), получаем для геодезической окружности шесть несвязных компонент. Для случая $ \vert R\vert=1$ они показаны на рис. 6.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{24.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{25.eps}

Рис. 6. Шесть компонент геодезической единичной окружности. Компоненты единичной окружности с $ R=+1$ -- широкие дуги, с $ R=-1$ -- узкие. Широкие дуги, прилегающие в виде гипербол к координатным плоскостям описываются соответствующими этим плоскостям компонентами зависимости (26). На правом рисунке левый (взятый с продолженными дугами окружностей) компактифицирован в единичный куб с помощью отображения: $ X_i\to\tanh X_i.$

Рассмотрим, наконец, вопрос о пересечении геодезических на $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}}.$ Записывая параметрические уравнения пары геодезических:

$\displaystyle X_1=a_1e^{q_1s};\quad X_2=a_2e^{q_2s};\quad \bar X_1=\bar a_1e^{\bar q_1\bar s};\quad \bar X_2=\bar a_2e^{\bar q_2\bar
s},
$

где буквы без черты относятся к одной геодезической, а с чертой -- к другой, получаем условие их пересечения в виде системы уравнений:

$\displaystyle a_1e^{q_1s}=\bar a_1e^{\bar q_1\bar s};\quad a_2e^{q_2s}=\bar a_2e^{\bar q_2\bar
s}.
$

Логарифмируя и перенося слагаемые с параметрами $ s$ и $ \bar s$ в левые части, приходим к системе линейных неоднородных уравнений на эти параметры:

$\displaystyle q_1s-\bar q_1\bar s=\ln(\bar a_1/a_1);\quad q_2s-\bar q_2\bar s=\ln(\bar a_2/a_2),$ (28)
определяющей точку пересечения геодезических на $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}}.$ Если определитель системы (28) $ \bar q_1q_2-q_1\bar q_2\neq0,$ то система имеет единственное решение, и, следовательно, геодезические пересекаются строго в одной точке. Рассмотрим ситуацию, когда определитель системы (28) равен нулю. В этом случае мы должны проанализировать систему уравнений на параметры геодезических:

$\displaystyle \bar q_1q_2-q_1\bar q_2=0;\quad q_1q_2(q_1+q_2)=1;\quad \bar q_1\bar q_2(\bar q_1+\bar q_2)=1.$ (29)
Несложный анализ этой системы обнаруживает, что ее единственное решение: $ q_1=\bar q_1; q_2=\bar q_2.$ Это означает, что при невыполнении условия:

$\displaystyle \ln(\bar a_1/a_1)=\ln(\bar a_2/a_2)$ (30)
геодезические не будут пересекаться. Условие (30) по существу означает принадлежность точек $ (a_1,a_2)$ и $ (\bar a_1,\bar a_2)$ одной и той же геодезической. Другими словами, имеет место следующая теорема: через любую точку, не лежащую на данной геодезической можно провести единственную геодезическую, параллельную первой. Пара параллельных геодезических показана на рис. 7.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{26.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{27.eps}

Рис. 7. Пара параллельных геодезических. На правом рисунке левый (взятый с продолженными дугами окружностей) компактифицирован в единичный куб с помощью отображения: $ X_i\to\tanh X_i.$

2.4.3.  Явное выражение для первого бингла

Воспользуемся теперь результатами предыдущего раздела, для вывода явного выражения для аддитивного бингла по формуле (20). Обозначая $ \phi[A,B]=s_\ast,$ имеем согласно определению (20) и уравнениям (25):

$\displaystyle b_1/a_1=e^{q_1s_\ast};\quad b_2/a_2=e^{q_2s_\ast},$ (31)
где мы положили $ A_1=A_2=1$ с учетом начального условия в канонической по отношению к паре векторов $ A$ и $ B$ системе координат. Переписывая формулы (31) в виде:

$\displaystyle q_1=\frac{1}{s_\ast}\ln(b_1/a_1);\quad q_2=\frac{1}{s_\ast}\ln(b_2/a_2)
$

и подставляя эти выражения в условие нормировки (26), приходим к уравнению:

$\displaystyle \frac{1}{s_\ast^3}\ln(b_1/a_1)\ln(b_2/a_2)\ln(b_1b_2/a_1a_2)=1,
$

откуда:

$\displaystyle \phi[a,b]=s_{\ast}=\left[\ln(b_1/a_1)\ln(b_2/a_2)\ln(b_1b_2/a_1a_2)\right]^{1/3}. \vrule depth15pt width0pt$ (32)
Эта формула и представляет собой выражение для аддитивного бингла в терминах единичных векторов, аналогичное евклидовому выражению (16). Ее запись в терминах компонент исходных векторов $ A,B$ имеет более симметричный вид:

$\displaystyle \phi[A,B]=\phi[a,b]= -\left[\ln\left(\frac{B_1/A_1}{\vert B\vert/...
...\right) \ln\left(\frac{B_3/A_3}{\vert B\vert/\vert A\vert}\right)\right]^{1/3}=$ (33)

$\displaystyle \left[\ln\left(\frac{A_1^{2/3}/(A_2A_3)^{1/3}}{B_1^{2/3}/(B_2B_3)...
...\left(\frac{A_3^{2/3}/(A_1A_2)}{B_3^{2/3}/(B_1B_2)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}.
$

2.4.4.  Финслерово условие компланарности и операция би-сопряжения

Как уже отмечалось выше, бингл, определенный по формуле (33), оказывается аддитивным по определению, т. е. для любой тройки "компланарных" векторов $ A,B,C$ выполняется условие, аналогичное (17):

$\displaystyle \phi[A,C]=\phi[A,B]+\phi[B,C].$ (34)
Термин "компланарность" мы заключили в кавычки, поскольку он требует прояснения. Как это видно из предыдущих рассуждений, с геометрической точки зрения компланарными будут все векторы, концы единичных направляющих векторов которых упираются в одну из экстремалей индикатриссы $ \mathcal{S}^2_{\text{BM}}.$ При перемещении единичного вектора вдоль такой экстремали, он заметает некоторую коническую поверхность в $ \mathcal {H}_3$ (по терминологии [10] -- "веерообразные фигуры"). Назовем эту коническую поверхность плоскостью вращения. Выше мы отметили, что экстремали, за исключением нескольких представителей семейства, не являются в аффинном смысле плоскими кривыми. Это означает, что плоскости вращения и аффинные плоскости в геометрии $ \mathcal {H}_3$ существенно различаются. Более того, аффинная плоскость с точки зрения геометрии $ \mathcal {H}_3$ перестает играть сколь-нибудь существенную роль (за исключением изотропных плоскостей, которые являются аффинными плоскостями и не имеют точек пересечения с метрическими!).
\includegraphics[width=.5\textwidth]{351.eps}

Рис. 8. Плоскость вращения в $ \mathcal {H}_3$

Сформулируем аналитическое условие компланарности трех векторов $ A,B,C$ . Переходя на индикатриссу и полагая, что соответствующие единичные векторы $ a,b,c$ лежат на одной и той же экстремали, имеем систему соотношений:

$\displaystyle b_1=a_1e^{q_1s_1};\quad b_2=a_2e^{q_2s_1};\quad c_1=a_1e^{q_1s_2};\quad
c_2=a_2e^{q_2s_2},
$

где мы положили, что значению $ s=0$ соответствует положение конца вектора $ a,$ значению $ s=s_1$ соответствует положение конца вектора $ b$ и значению $ s=s_2$ соответствует положение конца вектора $ c.$ Исключая из этой системы параметры геодезической $ q_1,q_2,s_1,s_2$ приходим к условию метрической компланарности векторов $ A,B,C$ в виде:

$\displaystyle \frac{\ln(b_1/a_1)}{\ln(c_1/a_1)}=\frac{\ln(b_2/a_2)}{\ln(c_2/a_2)}.$ (35)
Переходя от единичных векторов $ a,b,c$ к исходным $ A,B,C,$ это соотношение можно записать в развернутом виде:

$\displaystyle \frac{\ln\left(\frac{B_1^{2/3}/(B_2B_3)^{1/3}}{A_1^{2/3}/(A_2A_3)...
...ht)}{\ln\left(\frac{C_2^{2/3}/(C_1C_3)^{1/3}}{A_2^{2/3}/(A_1A_3)^{1/3}}\right)}$ (36)
Выделенность третьей координаты векторов в этом выражении, конечно же, случайна и связана с тем, что координатная карта для описания индикатриссы $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ и геодезических на ней была связана с плоскостью $ \{X_1,X_2\}.$ Описание той же метрической плоскости в других картах дополнило бы соотношение (36) еще одним равенством, которое полностью восстанавливает симметрию координат и векторов. Полное условие метрической компланарности имеет вид:

$\displaystyle \frac{\ln\left(\frac{B_1^{2/3}/(B_2B_3)^{1/3}}{A_1^{2/3}/(A_2A_3)...
...ht)}{\ln\left(\frac{C_3^{2/3}/(C_1C_2)^{1/3}}{A_3^{2/3}/(A_1A_2)^{1/3}}\right)}$ (37)
и в такой форме оно, очевидно, аналогично евклидову условию компланарности (18). Чтобы показать неслучайность этой аналогии, убедимся, что существует и финслеров аналог более компактного условия (19). Для этого определим отображение $ \flat$ : $ \mathcal{H}_3\to\mathcal{H}^{\flat}_3,$ действующее по правилу:

$\displaystyle A=\{A_1,A_2,A_3\}\mapsto A^{\flat}=\left\{\ln\left[\frac{A_1}{\Ve...
...rac{A_2}{\Vert A\Vert}\right],\ln\left[\frac{A_3}{\Vert A\Vert}\right]\right\}.$ (38)
Назовем это отображение би-проекцией $ \mathcal{H}_3,$ пространство $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ -- би-пространством над $ \mathcal{H}_3,$ а элемент $ A^{\flat}$ -- бинглом элемента $ A.$ Отметим, что би-пространство $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ -- 2-мерно, ввиду тождественного выполнения соотношения:

Tr$\displaystyle  A^{\flat}\equiv A_1^{\flat}+A_2^{\flat}+A_3^{\flat}=0.$ (39)
Отметим также, что би-проекция нелинейна: $ (A+B)^{\flat}\neq A^{\flat}+B^{\flat}.$ Нетрудно проверить, что первое равенство в соотношении (37) имеет вид (12)-компоненты более компактного соотношения:

$\displaystyle (A^{\flat}-B^{\flat})\wedge(A^{\flat}-C^{\flat})=0,$ (40)
а второе равенство имеет смысл (13)-компоненты этого соотношения. Соответственно (23)-компонента этого соотношения получится, если мы рассмотрим равенство первой и третьей дроби в (37). В евклидовом и общем аффинном пространстве соотношение вида (40) означает в точности принадлежность точек с радиус-векторами $ A^{\flat},B^{\flat},C^{\flat}$ одной и той же аффинной прямой (в 3-мерном случае $ \wedge$ можно понимать как векторное произведение $ \times$ ). Таким образом, мы приходим к двум важным заключениям: 1) евклидово условие (19) компланарности векторов, при котором выполняется условие аддитивности, имеет финслерово-гиперболический аналог в виде условия (40) коллинеарности бинглов $ A^{\flat}-B^{\flat}$ и $ B^{\flat}-C^{\flat}$ ; 2) всякой плоскости вращения в $ \mathcal {H}_3$ соответствует некоторая аффинная прямая в $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ и наоборот: всякой аффинной прямой в $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ соответствует плоскость вращения в $ \mathcal {H}_3.$ Отметим, что полученный результат подтверждает и уточняет правильность гипотезы "нелинейного условия компланарности", высказанной ранее в [11].

2.4.5.  Геометрические свойства пространства $ \mathcal {H}_3^{\flat }$

Отображение би-проекции имеет более фундаментальный характер, чем просто средство для установления формальной аналогии условий аффинной и метрической компланарности. Действительно, в терминах векторов пространства $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ выражение (33) для бингла можно переписать в следующем неожиданно простом виде:

$\displaystyle \phi[A,B]=\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert=[(A^\flat_1-B^\flat_1)(A^\flat_2-B^\flat_2)(A^\flat_3-B^\flat_3)]^{1/3},$ (41)
где норма в пространстве $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ вычисляется по формуле (3), в предположении, что в этом пространстве определена метрика Бервальда-Моора вида (12). Эта формула и ее следствия имеют глубокий геометрический смысл. Прежде, чем перейти к их обсуждению, остановимся более подробно на геометрических аспектах пространства $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ и отображения би-проекции, образом которой оно является. Как уже отмечалось выше отображение $ \flat$ : $ \mathcal{H}_3\to\mathcal{H}_3^{\flat}$ переводит 3-мерное линейное пространство $ \mathcal {H}_3$ в 2-мерное многообразие $ \mathcal{H}_3^{\flat},$ которое на самом деле является 2-мерным линейным пространством. Действительно, основное свойство его точек -- свойство (39) равенства нулю следов -- остается инвариантным относительно образования линейных комбинаций:

   Tr$\displaystyle (\lambda A^{\flat}+\mu B^{\flat})=0,$   если   Tr$\displaystyle A^{\flat}=$Tr$\displaystyle B^{\flat}=0.
$

Это и означает, что $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ является линейным пространством, причем dim$ \mathcal{H}_3^{\flat}=2.$

\begin{picture}(75.17,40.67)
\unitlength=1mm
\emline{19.50}{13.00}{1}{19.50}{40....
...{71}{58.33}{19.33}{72}
\emline{58.33}{19.33}{73}{57.33}{17.33}{74}
\end{picture}
Рис. 9. Наглядное представление $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ -- вложение в 3-мерное линейное пространство $ \Omega\mathcal{H}_3.$

Это пространство можно наглядно представлять себе вложенным в 3-мерное линейное пространство $ \Omega\mathcal{H}_3,$ устроенное точно также, как и исходное $ \mathcal {H}_3$ и имеющее согласно (41) стандартную метрику БМ. Такое вложение в $ \Omega\mathcal{H}_3$ изображается плоскостью, проходящей через начало и ортогональной в (евклидовом смысле) вектору $ I=\{1,1,1\}$ (уравнение этой плоскости -- равенство нулю суммы координат) -- см. рис. 9. Таким образом, отображение би-проекции каждый из векторов $ \mathcal {H}_3$ переводит в некоторый вектор на плоскости $ \mathcal{H}_3^{\flat}\subset\Omega\mathcal{H}_3.$ Отметим, что отображение би-проекции представляет собой интересный геометрический пример нелинейного отображения линейных пространств. Ввиду нелинейности к этому отображению неприменимо большинство стандартных теорем о морфизмах линейных пространств. Как и положено для всякой проекции, би-проекция сюръективна7как отображение $ \mathcal{H}_3\to\mathcal{H}_3^{\flat}$ (но не сюръективна как отображение $ \mathcal{H}_3\to\Omega\mathcal{H}_3$ ). Найдем $ A^{\flat}$ -слой би-проекции, т.е. множество элементов $ X\in\mathcal{H}_3,$ для которых $ X^{\flat}=A^{\flat}.$ Для этого отметим, что любые два коллинеарные вектора из $ \mathcal{H}_3,$ отличающиеся лишь модулями, би-проекция переводит в один и тот же элемент $ \mathcal{H}_3^{\flat}.$ Назовем подмножества $ \mathcal {H}_3$ вида $ \cup_{\lambda\in R}\lambda A\equiv\ell(A)$ лучами, с направлением $ A$ . Таким образом, любые две точки на луче би-проекция "склеивает" в одну точку на плоскости $ \mathcal{H}_3^{\flat}.$ Поскольку каждый луч в $ \mathcal {H}_3$ однозначно задается единичным вектором направления: $ \ell(A)=\ell(a),$ то конструкцию лучей можно перенести на единичную сферу, у которой диаметрально противоположные точки $ a$ и $ -a$ -- отождествлены. Такую сферу будем называть проективной единичной сферой БМ и будем обозначать ее $ P\mathcal{S}^2_{\text{BM}}.$ Проективная сфера содержит 4 несвязных компоненты и получается из сферы $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ отождествлением центрально-симметричных точек. Для всякого элемента на проективной сфере с координатами $ \{a_1,a_2,1/(a_1a_2)\}$ общие формулы би-проекции (38) принимают вид: $ a^{\flat}=\{\ln a_1,\ln a_2,-\ln(a_1a_2)\},
$ из которого следует, что на каждой из компонент8 $ P\mathcal{S}^2_{\text{BM}}$ би-проекция действует биективно. Это означает, что слоями би-проекции являются в точности лучи пространства $ \mathcal {H}_3.$ Отметим, что элементы $ \Omega\mathcal{H}_3,$ не лежащие в $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ не имеют прообразов в $ \mathcal {H}_3$ и не могут быть истолкованы как бинглы. Отметим так же, что "ядром" би-проекции является луч $ \ell(I),$ где $ I=\{1,1,1\},$ поскольку $ (\lambda I)^{\flat}=0$ и если $ X^{\flat}=0,$ то $ X=\lambda I.$

2.4.6.  Симметрии $ \mathcal {H}_3^{\flat }$

Поскольку $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ является линейным пространством, то трансляции и умножения на вещественные числа оставляют пространство бинглов инвариантным. Геометрически эти преобразования описывают скольжения плоскости $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ вдоль себя в $ \Omega\mathcal{H}_3$ и ее однородные растяжения. Рассмотрим теперь нелинейные преобразования $ \mathcal{N}\mathcal{H}_3^{\flat},$ которые переводят $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ в себя. Эти преобразования описываются следующими формулами:

$\displaystyle A^{\flat}\to A^{\flat}_{\lambda}=\{\lambda_1A_1^{\flat},\lambda_2A_2^{\flat},\lambda_3A_3^{\flat}\},$ (42)
где вектор преобразования $ \lambda\in\Omega\mathcal{H}_3$ и лежит в плоскости, которая в евклидовом смысле ортогональна $ A^{\flat}.$ Действительно, евклидова ортогональность векторов $ A^{\flat}$ и $ \lambda$ эквивалентна условию: Tr$ A^{\flat}_{\lambda}=\lambda_1A_1^{\flat}+\lambda_2A_2^{\flat}+\lambda_3A_3^{\flat}=0.$ Это означает, что преобразованный вектор $ A^{\flat}_{\lambda}$ является бинглом. Поскольку преобразование зависит от вектора, то оно является нелинейным. Отметим, что элементы преобразования являются вообще говоря векторами из $ \Omega\mathcal{H}_3,$ т.е. векторы этого пространства можно рассматривать как элементы алгебры внешних автоморфизмов пространства бинглов. Эта алгебра содержит единицу $ I=\{1,1,1\}$ (этот вектор ортогонален в евклидовом смысле всем векторам из $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ поэтому применим ко всем векторам там и каждый вектор переводит в себя); для случая, когда все $ \lambda_i\neq0,$ преобразование обратимо: $ (A^{\flat}_{\lambda})_{\lambda^{-1}}=A^{\flat},$ где $ \lambda^{-1}=\{\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\lambda_3^{-1}\}$ и композиция преобразований имеет вид: $ (A^{\flat}_{\lambda})_{\sigma}=A^{\flat}_{\lambda\sigma},
$ где $ \lambda\sigma=\{\lambda_1\sigma_1,\lambda_2\sigma_2,\lambda_3\sigma_3\}.$ Нетрудно видеть, что преобразования из $ \mathcal{N}\mathcal{H}_3^{\flat}$ воспроизводят все основные свойства алгебры поличисел $ P_3.$ Формула (41) означает, что в пространстве $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ определена метрика БМ. Кроме отмеченных выше трансляций, ее изометрии описываются гиперболическими вращениями $ {D}_2^{\flat},$ действующие по правилу (42), в котором вместо ограничения, связанного с евклидовой ортогональностью, наложено условие: $ \lambda_1\lambda_2\lambda_3=1$ -- принадлежности конца вектора $ \lambda$ единичной сфере $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ в $ \Omega\mathcal{H}_3^{\flat}.$ Пересечение $ \mathcal{N}\mathcal{H}_3^{\flat}\cap{D}_2^{\flat}\equiv \mathcal{N}{D}^{\flat}$ образует однопараметрическое семейство нелинейных изометрий $ \mathcal{H}^{\flat}_3.$ Геометрически векторы преобразований $ \lambda\in\mathcal{N}{D}^{\flat}$ своими концами упираются в гиперболу, являющуюся пересечением единичной сферы $ \mathcal {S}^2_{\text {BM}}$ и плоскости, ортогональной вектору $ A^{\flat},$ на который это преобразование действует.

2.4.7.  Дальнейшие свойства бинглов

Опираясь на результаты предыдущего раздела продолжим обсуждение важнейших свойств бинглов. Для того, чтобы отличать бингл $ \phi[A,B]$ между векторами и бинглы как элементы пространства $ \mathcal{H}_3^{\flat},$ будем называть бинглы вида $ \phi[A,B]$ взаимными бинглами. 1) Формула (41) означает, что пространство $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ представляет собой метрическое пространство, метрика которого нетривиальным образом наследуется из исходного $ \mathcal {H}_3$ при операции би-проекции. При этом эта метрика по форме оказывается метрикой БМ.
2) Само пространство $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ состоит из объектов (точек) новой геометрической природы: согласно формуле (41) расстояние между двумя точками этого пространства имеет смысл угла между их векторными прообразами в $ \mathcal {H}_3.$ Двойственность подобного рода в рамках квадратичных геометрий обсуждалась П. К. Рашевским в [12]. Замечательным фактом, обнаружившемся в геометрии поличисел, является совпадение метрик в пространстве векторов и углов между ними.
3) Отметим, что би-проекция выходит за рамки конформных и даже аналитических (в поличисловом смысле) отображений [13].
4) Нетрудно видеть, что элементы пространства $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ с точки зрения алгебры поличисел представляют собой ни что иное, как экспоненциальные углы поличисла:

$\displaystyle A^{\flat}_1=\chi_1;\quad A^{\flat}_2=\chi_2;\quad A^{\flat}_3=\chi_3,
$

где $ \chi_i$ -- экспоненциальные углы (9). При этом формулу (41) можно переписать в терминах экспоненциальных углов следующим образом:

$\displaystyle \phi[A,B]=[(\chi_1^A-\chi_1^B)(\chi_2^A-\chi_2^B)(\chi_3^A-\chi_3^B)]^{1/3}.$ (43)
5) Отображение би-проекции реализует гомоморфизм общей группы дилатаций $ \mathcal{D}_3$ в $ \mathcal {H}_3$ в группу трансляций $ \mathcal{T}_3^{\flat}$ в $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ :

$\displaystyle A=\{A_1,A_2,A_3\}\mapsto \mathcal{D}_{\alpha_1,\alpha_2\alpha_3}A...
...alpha_1A_1,\alpha_2A_2,\alpha_3A_3\}\stackrel{\flat,\flat^{-1}}\rightleftarrows$ (44)

$\displaystyle A^{\flat}=\{A_1^{\flat},A_2^{\flat},A_3^{\flat}\}\mapsto\mathcal{...
...au_3}A^{\flat}=
\{A_1^{\flat}+\tau_1,A_2^{\flat}+\tau_2,
A_3^{\flat}+\tau_3\},
$

где

$\displaystyle \tau_1=\frac{2}{3}\ln\alpha_1-\frac{1}{3}\ln\alpha_2-\frac{1}{3}\...
...u_2=\frac{2}{3}\ln\alpha_2-\frac{1}{3}\ln\alpha_1-\frac{1}{3}\ln\alpha_3;\quad
$

$\displaystyle \tau_3=\frac{2}{3}\ln\alpha_3-\frac{1}{3}\ln\alpha_1-\frac{1}{3}\ln\alpha_2.
$

Таким образом, трансляционная инвариантность взаимных бинглов является $ \flat$ -образом их конформной инвариантности.
6) Рассмотрим взаимный бингл вида $ \phi[I,A].$ Согласно (41) он равен $ \Vert A^{\flat}-I^\flat\Vert=\Vert A^\flat\Vert=(\chi^A_1\chi^A_2\chi^A_3)^{1/3},$ где $ \chi_i^A$ -- экспоненциальные углы поличисла $ A.$ Такой бингл измеряет отклонение направления $ A$ от направления единицы, геометрически совпадающей с пространственной биссектриссой первого координатного октанта. Аналогичные конструкции вида $ \phi[I_{(j)}A],$ где $ I_{(j)}$ -- пространственная биссектрисса $ j$ -ого координатного октанта, позволяют продолжить определение взаимных бинглов между векторами в других октантах. Отметим, что взаимный бингл между векторами, лежащими в различных октантах, будет с необходимостью комплексным. Некоторые иллюстрации взаимного бингла приведены на рис. 10.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{33.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{34.eps}
Рис. 10. На левом рисунке -- евклидова карта абсолютной величины взаимного бингла $ \phi[A,I].$ На правом рисунке -- зависимость $ \phi(\theta)$ в плоскости $ X_1=X_2$ ($ \theta$ -- стандартный широтный евклидов угол в сферической системе координат).

2.5.  Второй (относительный) бингл

Определение второго независимого бингла можно сформулировать по аналогии с азимутальным углом $ \varphi$ стандартной угловой системы координат на евклидовой сфере. При этом первый бингл, очевидно, является гиперболическим аналогом широтного угла $ \theta.$ Как и в евклидовом случае этот бингл требует задания (произвольного!) начального направления отсчета. Чтобы отличать этот бингл от элементов $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ и взаимного бингла, будем называть его относительным бинглом.

2.5.1.  Определение

В качестве первого шага определения второго бингла приведем пару произвольных единичных векторов $ a$ и $ b$ на единичной сфере к их каноническому положению так, что $ a=\{1,1,1\},$ $ b=\{b_1/a_1,b_2/a_2,b_3/a_3\}$ и найдем точку пересечения геодезической дуги, соединяющей $ a$ и $ b$ с геодезической единичной окружностью с центром в $ a.$ Соответствующая система параметрических уравнений для геодезической дуги

$\displaystyle X_1=e^{q_1s};\quad X_2=e^{q_2s},$   где

$\displaystyle q_1=\frac{1}{s_\ast}\ln(b_1/a_1),\quad s_\ast=\phi[a,b],\quad
q_1q_2(q_1+q_2)=1,
$

а для единичной окружности

$\displaystyle Y_1=e^{\bar q_1};\quad Y_2=e^{\bar q_2},\quad \bar q_1\bar q_2(\bar q_1+\bar q_2)=1.$ (45)
Исключая параметр $ s,$ приходим к уравнению: $ q_1\bar q_2-q_2\bar q_1=0,$ которое имеет вид первого уравнения (29). Его решения мы уже знаем: $ q_1=\bar q_1,$ $ q_2=\bar q_2.$ В качестве второго шага заметим, что, ввиду шестисвязности единичной окружности, следует различать случаи попадания полученной выше точки пересечения геодезической дуги и единичной окружности на ее различные компоненты. Как уже отмечалось выше в разделе 2.4, компоненты окружности, содержащие направление $ a$ -- $ b$ можно различать в выбранной нами параметризации знаками параметров

$\displaystyle q_{1}[a,b]=\frac{1}{s_\ast}(B_1^{\flat}-A_1^{\flat})=\frac{B_1^{\...
...at}-A_2^{\flat})=\frac{B_2^{\flat}-A_2^{\flat}}{\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert}$ (46)
(эти выражения являются гиперболическими аналогами направляющих косинусов векторов в евклидовом пространстве) и знаком самого бингла $ s_\ast=\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert.
$ Для определенности договоримся, что в случае $ q_1>0,q_2>0$ и $ s_\ast\lessgtr0$ мы используем параметризацию в плоскости $ (X_1X_2)$ (третья положительная и отрицательная компонента $ 3^{\pm}$ ); в случае $ q_1<0,q_2>0$ и $ s_\ast\lessgtr0$ мы используем параметризацию в плоскости $ (X_1X_3)$ (вторая положительная и отрицательная компонента $ 2^{\pm}$ ); наконец, в случае $ q_1>0,q_2<0$ и $ s_\ast\lessgtr0$ мы используем параметризацию в плоскости $ (X_2X_3)$ (первая положительная и отрицательная компонента $ 1^{\pm}$ ). Таким образом, в первом случае параметризация дуги единичной окружности будет иметь вид

$\displaystyle X_1=e^{\pm q_1};\quad X_2=e^{\pm q_2};\quad q_1q_2(q_1+q_2)=1,
$

во втором

$\displaystyle X_1=e^{\pm q_1};\quad X_3=e^{\pm q_3};\quad q_1q_3(q_1+q_3)=1,
$

в третьем

$\displaystyle X_2=e^{\pm q_2};\quad X_3=e^{\pm q_3};\quad q_2q_3(q_2+q_3)=1.
$

Единое для всех компонент направление обхода единичной окружности (которую наглядно можно представлять как односвязную кривую в компактифицированном $ \mathcal {H}_3$ (второй график на рис. 6)), устанавливается следующими правилами изменения параметров (начинаем с третьей положительной компоненты в направлении от $ X_2$ к $ X_1$ ):

$\displaystyle 3^{+}: q_1\in(0;\infty)\to 1^{-}: q_2\in(0;\infty)\to 2^{+}: q_3\in(0;\infty)\to
$

$\displaystyle 3^{-}: q_1\in(0;\infty)\to
1^{+}: q_2\in(0;\infty)\to2^{-}: q_3\in(0;\infty).
$

Теперь мы можем определить второй бингл $ \psi[a,b]$ между $ a$ и $ b$ как длину дуги единичной окружности, заключенной между некоторой выделенной точкой на этой окружности и найденной выше точкой ее пересечения с геодезической дугой, соединяющей $ a$ и $ b.$ В зависимости от того, в какую из компонент попадает эта точка пересечения, мы будем иметь отдельный относительный бингл. По этой причине относительный бингл $ \psi[a,b]$ можно снабдить дополнительными индексами: $ \psi_j^{\pm}[a,b]$ , указывающими к какой из компонент он относится. Например, запись $ \psi_1^+[a,b]$ означает, что бингл относится к первой положительной компоненте единичной окружности и т.д. В качестве выделенной точки начала отсчета в каждой из компонент мы будем выбирать "симметричную точку": в первой компоненте ей соответствует значения $ q_2=q_3=2^{-1/3},$ во второй: $ q_1=q_3=2^{-1/3},$ в третьей $ q_1=q_2=2^{-1/3}.$ Таким образом, формулы для бинглов на различных компонентах единичной окружности принимают следующий вид:

$\displaystyle \psi_1[a,b]=\int\limits_{2^{-1/3}}^{q_2[a,b]}\frac{ds}{dq_2}dq_2;...
..._3}dq_3;\quad \psi_3[a,b]=\int\limits_{2^{-1/3}}^{q_1[a,b]}\frac{ds}{dq_1}dq_1,$ (47)
где интегрирования выполняется по дугам соответствующих компонент. В силу симметрии всех компонент достаточно установить явный вид интегралов для одной из них. Рассмотрим подробно интеграл для третьей компоненты. Подставляя в формулу (22) параметрическую зависимость вида (45), получаем после элементарных преобразований

$\displaystyle \psi_3[a,b]=\int\limits_{2^{-1/3}}^{q_1[a,b]}(\dot q_2+\dot
q_2^2)^{1/3} dq_1,
$

где точка обозначает дифференцирование параметра $ q_2$ по $ q_1$ с учетом их функциональной связи посредством последнего уравнения в (45). Используя дифференциальное следствие уравнения (45), получаем

$\displaystyle \frac{dq_2}{dq_1}=-\frac{q_2(q_2+2q_1)}{q_1(q_1+2q_2)}$ (48)
и его явное решение для основной ветви

$\displaystyle q_2=\frac{\sqrt{q_1^4+4q_1}-q_1^2}{2q_1},
$

приходим после несложных преобразований к искомому выражению для длины дуги третьей компоненты единичной окружности: $ \psi_3[a,b]=F(q_1[a,b]),$ где функция $ F(\xi)$ дается следующим интегралом:

$\displaystyle F(\xi)\equiv$ (49)

$\displaystyle -\frac{1}{2}\int\limits_{2^{-1/3}}^{\xi}\left(\frac{(x^2-\sqrt{x(...
...(3x^2+\sqrt{x(x^3+4)})
\sqrt{x(x^3+4)}+x^3-2)}{x^4(x^3+4)}\right)^{1/3}\!\!dx.
$

Знак "минус" перед интегралом поставлен для того, чтобы при обходе единичной окружности в выбранном нами положительном направлении (на втором рис. 6 ему соответствует обход "замкнутой кривой" по часовой стрелке), бингл возрастал. Правильность такого выбора знака объясняется видом зависимости куба подинтегральной функции в выражении (49) -- она представлена на рис. 11.


\includegraphics[width=.3\textwidth]{30.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{36.eps}
Рис. 11. Слева -- вид функции $ F'^3$ (эта функция меняет знак в точке $ x=2^{-1/3}),$ справа -- зависимость $ \psi(\xi).$

Запишем окончательные выражения для второго бингла с учетом формул (46) и (47):

$\displaystyle \psi_1[A,B]=F\left[\frac{B_2^{\flat}-A_2^{\flat}}{\Vert A^{\flat}...
...]=F\left[\frac{B_3^{\flat}-A_3^{\flat}}{\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert}\right];$ (50)

$\displaystyle \psi_3[A,B]=F\left[\frac{B_1^{\flat}-A_1^{\flat}}{\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert}\right],
$

где функция $ F$ определяется формулой (49). Функция $ F,$ которая не выражается через элементарные функции, обеспечивает аддитивность определенного таким образом бингла (см. [14,11]).

2.5.2.  Свойства второго бингла

Ввиду отмеченной выше аналогии аргументов функции $ F$ в формулах (50) с направляющими косинусами векторов в евклидовом пространстве, функцию $ F$ следует считать финслерово-гиперболическим аналогом функции $ \arccos,$ а обратную к ней $ F^{-1}\equiv-$cfh -- финслерово-гиперболическим аналогом косинуса (с точностью до знака). Таким образом, имеем:

$\displaystyle \frac{A_1^{\flat}-B_1^{\flat}}{\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert}\equiv$cfh$\displaystyle (\psi_1[A,B]);\quad \frac{A_2^{\flat}-B_2^{\flat}}{\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert}\equiv$cfh$\displaystyle (\psi_2[A,B]);\quad$ (51)

$\displaystyle \frac{A_3^{\flat}-B_3^{\flat}}{\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert}\equiv$cfh$\displaystyle (\psi_3[A,B]).
$

При этом имеет место основное тождество финслеровой тригонометрии:

cfh$\displaystyle  \psi_1$cfh$\displaystyle  \psi_2$cfh$\displaystyle  \psi_3=1.$ (52)
Это соотношение имеет смысл аналогичный евклидову соотношению нормировки направляющих косинусов:

$\displaystyle \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1,
$

где $ \alpha,\beta,\gamma$ -- углы между вектором и осями декартовой системы координат. Сравнивая тождество (52) и условие (14) на параметры группы $ {D}_2,$ приходим к выводу, что параметрам этой группы можно придать смысл косинусов углов, параметризующих преобразования из группы $ {D}_2.$ Действительно, как это видно из формулы (51) каждому вектору $ A\in\mathcal{H}_3,$ соответствует преобразование $ D_{\text{cfh}\psi_1,\text{cfh}\psi_2,\text{cfh}\psi_3}\in{D}_2,$ где $ \psi$ -- относительный бингл между $ A$ и $ I=\{1,1,1\}.$ Таким образом, функции cfh$ \psi_i$ дают естественную (избыточную, но симметричную) параметризацию гиперболических вращений, аналогичную углам Эйлера в евклидовой геометрии. Можно ввести финслерово-гиперболические аналоги синусов, тангенсов и котангенсов по формулам:

   sfh$\displaystyle  \psi_1=$cfh$\displaystyle  \psi_2$cfh$\displaystyle  \psi_3;$   sfh$\displaystyle  \psi_2=$cfh$\displaystyle  \psi_1$cfh$\displaystyle  \psi_3;$   sfh$\displaystyle  \psi_3=$cfh$\displaystyle  \psi_1$cfh$\displaystyle  \psi_2;
$

   tfh$\displaystyle  \psi_i\equiv\frac{\text{sfh} \psi_i}{\text{cfh} \psi_i};\quad
\text{ctfh} \psi_i=1/\text{tfh} \psi_i.
\vrule depth15pt width0pt
$

Имеют место очевидные тождества финслеровой тригонометрии, аналогичные соответствующим евклидовым:

   sfh$\displaystyle  \psi_i$cfh$\displaystyle  \psi_i=1;$   сfh$\displaystyle ^2 \psi_i$tfh$\displaystyle  \psi_i=1;$   sfh$\displaystyle ^2 \psi_i$ctfh$\displaystyle  \psi_i=1
$

(по $ i$ нет суммирования) и тождества, не имеющие аналогов в евклидовой геометрии:

   sfh$\displaystyle  \psi_1$sfh$\displaystyle  \psi_2$sfh$\displaystyle  \psi_3=1;$   tfh$\displaystyle  \psi_1$tfh$\displaystyle  \psi_2$tfh$\displaystyle  \psi_3=1;$   сtfh$\displaystyle  \psi_1$сtfh$\displaystyle  \psi_2$сtfh$\displaystyle  \psi_3=1.$

Отметим, что относительные бинглы, как и взаимные, конформно инвариантны, поскольку они выражаются через разности координат в $ \mathcal{H}_3^{\flat}.$


2.5.3.  Связь относительных бинглов с экспоненциальными углами. Высшие бинглы

Для выявления связи экспоненциальных углов и относительных бинглов нужно осуществить би-проекцию формулы (8). С учетом формул (141) и (51) приходим к системе равенств:

cfh$\displaystyle \psi_1=\frac{\chi_1^{2/3}}{(\chi_2\chi_3)^{1/3}}=e^{A_1^{2\flat}}; $   cfh$\displaystyle \psi_2=\frac{\chi_2^{2/3}}{(\chi_1\chi_3)^{1/3}}=e^{A_2^{2\flat}}; $ (53)

   cfh$\displaystyle \psi_3=\frac{\chi_3^{2/3}}{(\chi_1\chi_2)^{1/3}}=e^{A_3^{2\flat}},
$

определяющих искомую связь относительных бинглов и экспоненциальных углов. Здесь

$\displaystyle A^{2\flat}\equiv (A^{\flat})^{\flat}
$

-- элемент пространства $ \mathcal{H}_3^{2\flat}$ бинглов второго порядка. Таким образом, система относительных бинглов $ \{\psi_i\},$ из которых независимым будет только один, ввиду соотношений:

   Tr$\displaystyle  A^{2\flat}=\sum\limits_{i=1}^3\ln$cfh$\displaystyle  \psi_i=0,
$

и соотношения (10) для самих экспоненциальных углов, характеризует ориентацию самих бинглов как элементов $ \mathcal {H}_3^{\flat }$ друг относительно друга (углы в пространстве углов). Этот вывод подтверждается следующими формами представления поличисла (экспоненциально-тригонометрическое и дважды экспоненциальное):

$\displaystyle A=\Vert A\Vert e^{\phi_A(\text{cfh}\psi_1e_1+\text{cfh}\psi_2e_2+\text{cfh}\psi_3e_3)}=\Vert A\Vert e^{\phi_Ae^{A^{2\flat}}},$ (54)
которое подтверждает интерпретацию относительных бинглов как "углов в пространстве углов".

2.6.  Связь бинглов с метрическими инвариантами

Запишем выражения для взаимных и относительных бинглов (33) и (50) в терминах отношений компонент: $ \xi_i=B_i/A_i$ :

$\displaystyle \phi[A,B]=[\ln(\xi_1^{2/3}/(\xi_2\xi_3)^{1/3})\ln(\xi_2^{2/3}/(\xi_1\xi_3)^{1/3})\ln(\xi_3^{2/3}/(\xi_1\xi_2)^{1/3})]^{1/3};$ (55)

   cfh$\displaystyle  \psi_1=\left[\frac{\ln(\xi_1^{2/3}/(\xi_2\xi_3)^{1/3})}{\phi[A,B]}\right];$   cfh$\displaystyle  \psi_2=\left[\frac{\ln(\xi_2^{2/3}/(\xi_1\xi_3)^{1/3})}{\phi[A,B]}\right];\
$

   cfh$\displaystyle  \psi_3=\left[\frac{\ln(\xi_3^{2/3}/(\xi_1\xi_2)^{1/3})}{\phi[A,B]}\right].
$

Для выражения этих бинглов через конформно-инвариантные метрические инварианты:

$\displaystyle I_1\equiv\frac{1}{2}\frac{(A,A,B)}{\Vert A\Vert^2\Vert B\Vert};\q...
...rt^2};\quad
I_3\equiv\frac{\Vert A\Vert}{\Vert B\Vert}=\frac{(A,A,A)}{(B,B,B)}
$

запишем последние также в терминах безразмерных переменных $ \xi_i$ :

$\displaystyle I_1=\frac{\xi_1\xi_2+\xi_2\xi_3+\xi_1\xi_3}{(\xi_1\xi_2\xi_3)^{2/...
...{(\xi_1\xi_2\xi_3)^{1/3}};\quad
I_3=\xi_1\xi_2\xi_3.
\vrule depth15pt width0pt
$

Последние соотношения можно написать в эквивалентном виде:

$\displaystyle \xi_1+\xi_2+\xi_3=I_2I_3^{1/3};\quad \xi_1\xi_2+\xi_2\xi_3+\xi_1\xi_3=I_1I_3^{2/3};\quad \xi_1\xi_2\xi_3=I_3.$ (56)
Решая систему уравнений (56) относительно $ \xi_1,\xi_2,\xi_3$ и подставляя решение в (55), можно получить искомые выражения бинглов через метрические инварианты. Система уравнений (56) имеет простую алгебраическую интерпретацию. В силу известного обобщения теоремы Виета на кубические уравнения можно утверждать, что три решения системы (56) -- это три корня кубического уравнения:

$\displaystyle \xi^3-I_2I_3^{1/3}\xi^2+I_1I_3^{2/3}\xi-I_3=0.
$

2.7.  Многомерное обобщение бинглов

Приведем краткую сводку формул, обобщающих некоторые предыдущие рассмотрения.


$ n$ -числа в изотропном базисе:

$\displaystyle A=\sum\limits_{i=1}^nA_ie_i.
$


Экспоненциальные углы:

$\displaystyle \chi_i=\ln\left[\frac{A_i^{n-1/n}}{(\widehat{A_1\dots A_n})^{1/n}...
...^{\flat})_i;\quad A=\Vert A\Vert\exp\left[\sum\limits_{i=1}^n\chi_ie_i\right].
$

При этом крышка в $ i$ -ой формуле означает, что член с номером $ i$ отсутствует в выражении под ней и имеют место тождества:

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\chi_i=0;\quad \Leftrightarrow$   Tr$\displaystyle A^{\flat}=0.
$


Геодезические на $ \mathcal{S}^{n-1}_{\text{BM}}$ :

$\displaystyle \left\vert\prod\limits_{i=1}^nX_i\right\vert=1;\quad X_i=A_ie^{q_is};\quad
\prod\limits_{i=1}^{n-1}q_i\sum\limits_{i=1}^{n-1}q_i=1.
$

Последнее выражение можно интерпретировать как уравнение сечения идикатриссы Бервальда-Моора плоскостью $ q_1+\dots q_{n-1}-q_n=0$ в пространстве направлений:

$\displaystyle q_1\cdots q_{n-1}\cdot\bar
q_n=1,$

где $ \bar q_n\equiv q_1+\dots q_{n-1}.$
Первый (взаимный бингл):

$\displaystyle \phi[A,B]=\Vert A^{\flat}-B^{\flat}\Vert=\left[\prod\limits_{i=1}^n(\chi^A_i-\chi^B_i)\right]^{1/n}.
$


Метрическое условие компланарности:

$\displaystyle (A^{\flat}-B^{\flat})\wedge(A^{\flat}-C^{\flat})=0.
$


Различные экспоненциальные представления поличисел:

$\displaystyle A=\Vert A\Vert\exp\left[\sum\limits_{i=1}^n\chi^{(1)}_ie_i\right]...
...A\Vert\exp\left[\phi^{(1)}\sum\limits_{i=1}^n\text{cfh}\psi^{(1)}_ie_i\right]=
$

$\displaystyle \Vert A\Vert\exp\left[\phi^{(1)}\exp\left[\sum\limits_{i=1}^n\chi...
...eft[\phi^{(2)}\sum\limits_{i=1}^n\text{cfh}\psi^{(2)}_ie_i\right]\right]=\dots
$

$\displaystyle \dots=\Vert A\Vert\underbrace{\exp\left[\phi^{(1)}\exp\left[\phi^...
...e_i\underbrace{\left.\left.\left.\right]\dots\right]\right]}_{k\
\text{раз}}=
$

$\displaystyle \Vert A\Vert\left(\mathop{\circ}\limits_{k=1}^{n-2}\phi^{(n-k-1)}\exp\right) 
\phi^{(n-1)}\sum\limits_{i=1}^n$cfh$\displaystyle \psi^{(n-1)}_ie_i
$

Здесь

$\displaystyle \phi^{(k)}\equiv\Vert A^{k\flat}\Vert;\quad A^{k\flat}\equiv (\flat\circ)^{k}
A;\quad \phi^{(0)}\equiv \Vert A\Vert;
$

   Tr$\displaystyle A^{k\flat}=0;$   cfh$\displaystyle \psi^{(k)}_i=\frac{A_i^{k\flat}}{\Vert A^{k\flat}\Vert};\
\prod\limits_{i=1}^n$cfh$\displaystyle \psi_i^{(k)}=1.
$


Пример: полное разложение в $ \mathcal{H}_3:$

$\displaystyle A=\phi^{(0)}e^{\phi^{(1)}e^{\phi^{(2)}(\text{cfh}\psi^{(2)}_1e_1+\text{cfh}\psi^{(2)}_2e_2+\text{cfh}\psi^{(2)}_3e_3)}},
$

где

$\displaystyle \phi^{(0)}=(A_1A_2A_3)^{1/3};\quad
$

$\displaystyle \phi^{(1)}=
$

$\displaystyle \left[\ln\left(\frac{A_1^{2/3}}{(A_2A_3)^{1/3}}\right)\ln\left(\f...
..._3)^{1/3}}\right)\ln\left(\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}
$

$\displaystyle \phi^{(2)}=\left[\ln\left(\frac{\left[\ln\left(\frac{A_1^{2/3}}{(...
...left(\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}}\right)\times\right.
$

$\displaystyle \ln\left(\frac{\left[\ln\left(\frac{A_2^{2/3}}{(A_1A_3)^{1/3}}\ri...
...ht)\ln\left(\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}}\right)\times
$

$\displaystyle \left.\ln\left(\frac{\left[\ln\left(\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/...
...left(\frac{A_2^{2/3}}{(A_1A_3)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}}\right)\right]^{1/3}
$

$\displaystyle $cfh$\displaystyle \psi^{(2)}_1=\frac{1}{\phi^{(2)}}\ln\left(\frac{\left[\ln\left(\f...
...}\right)\ln\left(\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}}\right);
$

$\displaystyle $cfh$\displaystyle \psi^{(2)}_2=\frac{1}{\phi^{(2)}}\ln\left(\frac{\left[\ln\left(\f...
...}\right)\ln\left(\frac{A_3^{2/3}}{(A_1A_2)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}}\right);
$

$\displaystyle $cfh$\displaystyle \psi^{(2)}_3=\frac{1}{\phi^{(2)}}\ln\left(\frac{\left[\ln\left(\f...
...}\right)\ln\left(\frac{A_2^{2/3}}{(A_1A_3)^{1/3}}\right)\right]^{1/3}}\right).
$

2.8.  Тринглы

2.8.1.  Объемы в квадратичных геометриях

Напомним соображения, на которых строятся определения объемов в квадратичных неевклидовых геометриях. В их основе лежит понятие относительного скаляра. Рассмотрим, к примеру, стандартную форму объема в евклидовом пространстве в декартовой системе координат:

vol$\displaystyle _0\equiv dx_1\wedge\dots\wedge dx_n.$ (57)
Почему эта форма в таком виде не годится для вычисления объема в любой (скажем косоугольной или даже криволинейной) системе координат? Дело в том, что при общем преобразовании координат $ x'=f(x)$ форма (57) преобразуется по закону:

vol$\displaystyle '_0=\Delta_f$vol$\displaystyle _0,$ (58)
где $ \Delta_f$ -- якобиан преобразования $ x'=f(x)$ (т.е. определитель матрицы $ J$ , составленной из частных производных новых координат по старым). С формальной алгебраической точки зрения закон преобразования (58) означает, что объект vol$ _0$ является относительным скаляром с весом $ +1$ (умножается на якобиан преобразования в первой степени). С геометрической точки зрения такой закон преобразования означает, что определение (57) не годится в качестве общего определения формы объема, поскольку такая форма должна быть скаляром веса нуль (допускается изменение знака, связанное с координатными преобразованиями, меняющими ориентацию исходной системы координат). Для того, чтобы прийти к общему определению формы объема, заметим, что закон преобразования метрики $ g$ при расмотренных выше преобразованиях имеет матричный вид:

$\displaystyle g'=(J^{-1})^{\text{T}}gJ^{-1},
$

где $ J$ -- якобиева матрица преобразования, откуда для детерминантов получаем:

$\displaystyle \det g'=\frac{\det g}{\Delta_f^2}.
\vrule depth15pt width0pt
$

Последняя формула означает, что детерминант метрики является относительным скаляром веса $ -2,$ а величина $ \sqrt{\det g}$ является относительным скаляром веса $ -1.$ Перемножая два относительных скаляра с противоположными весами, получаем искомый скаляр с нулевым весом:

vol$\displaystyle \equiv \sqrt{\det g} dx_1\wedge\dots\wedge dx_n.$ (59)
Формула (59) определяет инвариантную форму объема в любой квадратичной геометрии в любой допустимой системе координат.

2.8.2.  Формы площади и объема в $ \mathcal {H}_3$

В неквадратичных пространствах вопрос о виде формы объемов требует прояснения. Из общих соображений, на которых строится понятие объема, форму объема в неквадратичных пространствах числа измерений $ n$ следует искать в виде:

vol$\displaystyle =\mathfrak{v}  dx_1\wedge\dots\wedge dx_n,$ (60)
где $ \mathfrak{v}$ -- относительный скаляр веса $ -1,$ построенный из финслеровой метрики. Для его явного построения необходимо привлечь общую теорию инвариантов и ковариантов полилинейных форм, которая в своей алгебраической части опирается на теорию многомерных матриц [15]. В настоящей статье у нас нет необходимости излагать общий подход. Мы ограничимся случаем симметричной кубичной формы с компонентами $ (G_{\alpha\beta\gamma})$ в 2-мерном пространстве, которую можно представить парой квадратных матриц:

$\displaystyle G=(H_1,H_2),\quad H_1\equiv G_{1\alpha\beta};\quad H_2\equiv G_{2\alpha\beta}.
$

Можно показать ([15]), что величина:

$\displaystyle \Delta\equiv\det\left( \begin{array}{cc} \det(H_1,H_1)& \det(H_1,H_2) \det(H_2,H_1)&\det(H_2,H_2) \end{array} \right)$ (61)
является относительным скаляром, ассоциированным с формой $ G,$ веса $ -6.$ Здесь детерминант кубической матрицы в пространстве двух измерений определяется по формуле:

$\displaystyle \det
G=\det(H_1,H_2)=G_{111}G_{222}-G_{112}G_{221}+G_{122}G_{211}-G_{121}G_{212}
$

В частном случае, когда $ G_{111}=G_{222}=0,$ формула (61) приводит к выражению (мы отбрасываем не существенный постоянный множитель):

$\displaystyle \Delta=G_{112}^2G_{221}^2$ (62)
Искомый относительный скаляр $ \mathfrak{v}$ веса $ -1$ в этом случае равен

$\displaystyle \mathfrak{v}=\Delta^{1/6}=(G_{112}G_{221})^{1/3}.$ (63)
Аналогично, но несколько более громоздко можно строить относительные скаляры веса $ -1$ и для квадратичных форм высших измерений.

2.8.3.  Форма площади на индикатриссе и определение трингла

Для метрики (21) на индикатриссе с помощью формулы (63) легко построить инвариантную форму площади (форма 2-мерного объема):

area$\displaystyle _{\mathcal{S}^2_{\text{BM}}}=\frac{dX_1\wedge dX_2}{X_1X_2}. \vrule depth15pt width0pt$ (64)

\begin{picture}(35.89,37.22)
\unitlength=1.0mm
\bezier{168}(6.11,13.44)(10.33,34...
...xt{cfh}\psi[a,c]$}}
\put(28.56,29.22){\makebox(0,0)[lc]{$s(q)-?$}}
\end{picture}
Рис. 12. К определению трингла
Определим трингл $ \Sigma(A,B,C),$ построенный на тройке векторов $ A,B,C$ как площадь соответствующего геодезического треугольника $ \Delta abc$ на индикатриссе, т.е. как интеграл:

$\displaystyle \Sigma(A,B,C)=\int\limits_{\Delta abc} \frac{dX_1\wedge dX_2}{X_1X_2}.$ (65)
Очевидно, что таким образом определенный трингл является аналогом евклидова телесного угла (см. рис. 12).

2.8.4.  Вывод явной формулы для трингла

Поместим треугольник $ \Delta abc$ на индикатриссе таким образом, чтобы точка $ a$ имела координаты {1,1,1}. Координаты векторов $ b$ и $ c$ станут при этом равными:

$\displaystyle b=\{b_1/a_1,b_2/a_2,a_1a_2/(b_1,b_2)\};\quad
c=\{c_1/a_1,c_2/a_2,a_1a_2/(c_1,c_2)\}.
$

Геодезические $ \Gamma_{ab}$ и $ \Gamma_{ac},$ соединяющие $ a$ с $ b$ и $ a$ с $ c$ соответственно, параметризуются уравнениями:

$\displaystyle \Gamma_{ab}: \{X_1=e^{qs}, X_2=e^{\bar q s}\};\quad \Gamma_{ac}: \{Y_1=e^{q's}, Y_2=e^{\bar q's}\},$ (66)
где по формулам (46):

$\displaystyle q=-$cfh$\displaystyle \psi_1[A,B];\quad \bar q=-$cfh$\displaystyle \psi_2[A,B];\quad q'=-$cfh$\displaystyle \psi_1[A,C];\quad \bar q'=-$cfh$\displaystyle \psi_2[A,C].
$

Систему параметров $ q$ и $ s$ можно рассматривать как систему координат на множестве точек треугольника $ \Delta abc.$ При этом, как только что установлено, координата $ q$ изменяется в интервале от cfh$ \psi_1[A,B]$ до cfh$ \psi_1[A,C],$ а область изменения $ s$ лежит в интервале от нуля до $ s(q),$ где функция $ s(q)$ подлежит определению. Для определения функции $ s(q)$ запишем уравнение геодезической $ \Gamma_{bc}$ в параметризованном виде:

$\displaystyle Z_1=\frac{b_1}{a_1}e^{p\tau};\quad Z_2=\frac{b_2}{a_2}e^{\bar p\tau},
\vrule depth15pt width0pt
$

где

$\displaystyle p=-$cfh$\displaystyle \psi_1[B,C];\quad \bar p=-$cfh$\displaystyle \psi_2[B,C].
$

Далее, составим систему уравнений на точку пересечения геодезических $ \Gamma_{am}$ и $ \Gamma_{bc},$ где $ m$ -- некоторая точка на $ \Gamma_{bc}$ :

$\displaystyle e^{qs}=\frac{b_1}{a_1}e^{p\tau};\quad
e^{\bar qs}=\frac{b_2}{a_2}e^{\bar p\tau}.
\vrule depth15pt width0pt
$

Простые выкладки, связанные с исключением $ \tau,$ приводят к решению:

$\displaystyle s(q)=\phi[A,B]\frac{\text{cfh} \psi_2[B,C]\text{cfh} \psi_1[A,B...
...ext{cfh} \psi_2[A,B]}{\text{cfh} \psi_2[B,C]q-\text{cfh} \psi_1[B,C]\bar q}.$ (67)
Теперь для трингла $ \Sigma(A,B,C)$ имеем цепочку равенств:

$\displaystyle \Sigma(A,B,C)=\int\limits_{\Delta abc} \frac{dX_1\wedge
dX_2}{X_1...
... abc} d\ln X_1\wedge
d\ln X_2=\int\limits_{\Delta abc} d(qs)\wedge d(\bar qs)=
$

$\displaystyle \int\limits_{\Delta abc} \left(s\bar q-sq\frac{d\bar q}{dq}\right) dq\wedge ds.
$

Мы использовали представление (66) и стандартные свойства операции $ \wedge.$ Подставляя производную $ d\bar q/dq$ из (48) с тривиальными заменами и производя элементарные выкладки под интегралом (с учетом соотношения $ q\bar q(q+\bar q)=1$ ), получаем:

$\displaystyle \Sigma(A,B,C)=3\int\limits_{\Delta abc}\frac{s}{q(q+2\bar q)} 
d...
...,B]}^{\text{cfh}\psi_1[A,C]}\frac{dq}{q(q+2\bar
q)}\int\limits_0^{s(q)}s  ds.
$

Вычисляя интеграл по $ s$ с учетом формулы (67) и свойств функции cfh получаем окончательно следующую формулу для трингла:

$\displaystyle \Sigma(A,B,C)=\frac{3}{2}\phi^2[A,B]($cfh$\displaystyle  \psi_1[B,C]$cfh$\displaystyle  \psi_1[A,B]-$cfh$\displaystyle  \psi_2[B,C]$cfh$\displaystyle  \psi_2[A,B])^2\times$ (68)

$\displaystyle \int\limits_{-\text{cfh}\psi_1[A,B]}^{-\text{cfh}\psi_1[A,C]}\fra...
...t{cfh} \psi_1[B,C]-(\sqrt{x^4+4x}-x^2)/(2x\text{cfh} \psi_2[B,C])\right)^2}.
$

Отметим, что выражение (68) симметрично относительно циклических перестановок векторов $ A,B,C,$ хотя эта симметрия оказалась замаскированной благодаря выбранной нами локальной системе координат с началом в точке