вход

Оглавление


3.  Элементы теории функций двойной
переменной (ТФДП).


3.1.  Аналитические функции комплексной переменной

Целью настоящего раздела является напоминание основных фактов стандартной теории функций комплексной переменной. Их гиперболические аналоги будут лежать в основе последующих рассмотрений на плоскости двойной переменной. Все доказательства приводимых фактов можно найти в известных руководствах (см., например, [16]). Алгебра комплексных чисел $ \mathcal{C}$ порождается парой образующих $ \{1,i\}$ $ R$ -модуля с таблицей умножения

\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c} & 1& i \hline 1& 1 & i \hline i& i& -1 \end{array}\end{displaymath} (70)
Таким образом, элементы $ \mathcal{C}$ имеют вид: $ \mathcal{C}\ni z=1\cdot x+iy,$ где $ x,y\in R.$ При этом вещественное число Re$  z\equiv x$ называется вещественной частью комплексного числа $ z,$ а вещественное число Im$  z\equiv y$ называется мнимой частью комплексного числа $ z.$ Алгебра комплексных чисел с правилом умножения, определяемым таблицей (70), образует числовое поле, подполем которого является поле вещественных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел основана на очевидной биекции: $ \mathcal{C}\leftrightarrow R^2,$ действующей по правилу: $ \mathcal{C}\ni z=x+iy\leftrightarrow (x,y).$ Другими словами, каждому комплексному числу $ z$ соответствует точка на декартовой плоскости с координатами $ \{$Re$  z,$Im$  z\}$ (см. рис. 13).

\begin{picture}(41.00,33.33)
\unitlength=1mm
\emline{20.00}{1.00}{1}{20.00}{33.0...
...(0,0)[lc]{$\varphi$}}
\put(26.50,22.50){\makebox(0,0)[rb]{$\rho$}}
\end{picture}
Рис. 13. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
При этом сумма и разность комплексных чисел изображается стандартным правилом параллелограмма для соответствующих радиус-векторов на декартовой плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Вводя на комплексной плоскости стандартную полярную систему координат $ \{\rho,\varphi\}$ , можно перейти к тригонометрической форме представления комплексного числа

$\displaystyle z=x+iy=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi),$ (71)
где $ \rho\equiv\sqrt{x^2+y^2}\equiv\vert z\vert$ -- модуль комплексного числа $ z,$

$\displaystyle \varphi=\arctan(y/x)\equiv \arg z
$

-- его аргумент, определенный с точностью до $ 2\pi k,$ $ k\in\mathbb{Z}.$ Нетрудно проверить, что $ \vert z_1z_2\vert=\vert z_1\vert\vert z_2\vert.$ Знаменитая формула Эйлера:

$\displaystyle \cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\varphi}$ (72)
приводит к экспоненциальной форме представления комплексного числа

$\displaystyle z=x+iy=\rho e^{i\varphi}=e^{\theta},$ (73)
где в последнем равенстве мы перешли к "комплексному углу"

$\displaystyle \theta=\ln\rho+i\varphi\equiv\ln z.$ (74)
При этом произведение двух комплексных чисел сводится к сложению их комплексных углов. Важной и полезной операцией над комплексными числами является инволютивная операция комплексного сопряжения: $ z=x+iy\mapsto \bar z=x-iy.$ Геометрически эта операция описывает отражение комплексной плоскости относительно оси Im$ z=0.$ Пару $ \{z,\bar z\}$ можно рассматривать как независимые комплексные координаты на плоскости, которые связаны с декартовыми координатами посредством очевидных формул

$\displaystyle x=\frac{z+\bar z}{2};\quad y=\frac{z-\bar z}{2i}.$ (75)
Комплексная координатная билинейная форма $ \mathcal{B}\equiv
dz\otimes d\bar z$ раскладывается на симметричную $ \eta$ и кососимметричную $ \omega$ неприводимые компоненты следующим образом:

$\displaystyle \mathcal{B}\equiv dz\otimes dz=\eta-i\omega,$ (76)
где $ \eta=dx\otimes dx+dy\otimes dy$ -- евклидова метрическая форма, $ \omega\equiv dx\wedge dy=i dz\wedge d\bar z/2$ -- 2-мерная симплектическая форма (евклидова форма площади). В частности, $ \rho=\sqrt{z\bar z},$ а евклидов элемент длины $ dl=\sqrt{dz  d\bar z}.$ Из комплексного представления формы $ \mathcal{B}$ следует, что эта форма инвариантна относительно произвольных трансляций комплексной плоскости и преобразований вида: $ z\mapsto e^{i\delta} z,$ описывающих евклидовы вращения комплексной плоскости. В совокупности эти преобразования составляют группу движений 2-мерного евклидового пространства. Отметим, что форма $ \omega$ инвариантна относительно более широкой группы унимодулярных преобразований комплексной плоскости, для которых якобиан преобразования равен единице. Евклидову длину кривой $ \gamma=z(\tau)$ и (ориентированную) площадь области $ \Sigma$ , ограниченной замкнутой кривой $ \Gamma=\partial\Sigma,$ можно вычислить с помощью формул

length$\displaystyle [\gamma]=\int\limits_{\tau_A}^{\tau_B}\sqrt{\dot z  \dot{\bar z}}  d\tau;$   area$\displaystyle [\Sigma]=\frac{i}{2}\int\limits_{\Sigma}dz\wedge d\bar z=\frac{i}{4}\oint\limits_{\Gamma}(z  d\bar z-\bar z  dz),$ (77)
где в последнем равенстве мы использовали комплексный вариант фундаментальной теоремы Пуанкаре-Дарбу об интегрировании дифференциальных форм. Функция $ \ln z,$ определенная соотношением (74), является простым и важным представителем класса т. н. голоморфных функций комплексной переменной. Напомним, что произвольное гладкое отображение $ f$ : $ R^2\to R^2$ можно представить парой компонент

$\displaystyle (x,y)\mapsto(x',y'):  x'=f_1(x,y);\quad y'=f_2(x,y),$ (78)
где $ f_1,f_2$ -- гладкие функции $ R^2\to R.$ С помощью формул (75) эти отображения можно всегда записать в виде

$\displaystyle (z,\bar z)\mapsto(z',\bar z'):  z'=F_1(z,\bar z);\quad \bar z'=F_2(z,\bar z).$ (79)
Для интерпретации $ R^2$ как комплексной плоскости $ \mathcal{C}$ естественно ограничиться отображениями, сохраняющими комплексную структуру плоскости, т. е. отображениями $ \mathcal{C}\to
\mathcal{C}$ вида: $ z\mapsto w=F(z).$ Дифференцируемые функции $ R^2\to R^2,$ удовлетворяющие в некоторой области $ D\subseteq
\mathcal{C}$ условию

$\displaystyle F_{,\bar z}=0,$ (80)
называются голоморфными в области $ D$ функциями комплексной переменной $ z.$ Функции, удовлетворяющие условию

$\displaystyle F_{,z}=0,$ (81)
называются антиголоморфными. Напомним некоторые основные свойства голоморфных функций. Расписывая условие (80) в декартовых координатах, приходим к условиям голоморфности (комплексной аналитичности) Коши-Римана:

$\displaystyle u_{,x}=v_{,y};\quad u_{,y}=-v_{,x},$ (82)
где $ u(x,y)=$Re$   F(z),$ $ v(x,y)=$Im$   F(z).$ Аналогичные формулы имеют место и для представления функции через комплексный угол $ F(z)=e^{\ln\rho(x,y)+i\psi(x,y)}$ :

$\displaystyle (\ln\rho)_{,x}=\psi_{,y};\quad (\ln\rho)_{,y}=-\psi_{,x}.$ (83)
Имеют место фундаментальные теорема Коши:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}F(z)  dz=0$ (84)
и формула Коши:

$\displaystyle F(z_0)=\frac{1}{i\ell_E }\oint\limits_{\Gamma}\frac{F(z)}{z-z_0}  dz,$ (85)
где $ \Gamma$ -- кусочно-гладкий замкнутый контур, ограничивающий область $ D\in\mathcal{C},$ $ F(z)$ -- произвольная голоморфная в области $ D$ функция, $ z_0\in D,$ $ \ell_E=2\pi$ -- евклидова длина единичной окружности, параметризующей пространство направлений9. Формулы (84)-(85) вытекают непосредственно из условия аналитичности функции $ F(z)$ в форме (80) или форме (82). При этом формула (84) допускает обобщение на многосвязные области, а формула (85) допускает обобщение на контуры, содержащие бесконечно-удаленную точку и контуры, проходящие через точку $ z_0$ и даже имеющие там точку излома. Голоморфные функции допускают разложение в ряд Тейлора вида

$\displaystyle F(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k,$ (86)
где коэффициенты $ c_k$ можно вычислить по формуле

$\displaystyle c_k=\frac{1}{i\ell_E}\oint\limits_{\Gamma}\frac{F(z)}{(z-z_0)^{k+1}} dz.$ (87)
Последняя формула опирается на интегральную формулу Коши (85) и тождество, справедливое для целых $ n$ :

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}(z-z_0)^n dz=i\ell_E\delta_{n,-1}.$ (88)
Введенная выше билинейная форма $ \mathcal{B}$ ведет себя относительно аналитического преобразования $ F(z)$ как относительный скаляр

$\displaystyle \mathcal{B}\mapsto \mathcal{B}'=\vert F'(z)\vert^2\mathcal{B},$ (89)
где $ F'(z)=dF/dz,$ откуда следуют законы преобразования элементов длины и площади:

$\displaystyle dl'=\vert F'\vert  dl;\quad (dz\wedge d\bar z)'=\vert F'\vert^2(dz\wedge d\bar z).$ (90)
Относительная скалярность формы площади имеет место при всяких диффеоморфизмах, а вот первое равенство в (90) означает, что аналитические функции осуществляют конформные преобразования евклидовой плоскости, т. е. сохраняют углы между кривыми в каждой точке. Отметим, что $ \vert F'\vert=\vert\nabla u\vert^2=\vert\nabla v\vert^2=\sqrt{\Delta_F},$ где $ \nabla$ -- оператор градиента в евклидовой метрике, а $ \Delta_F$ -- якобиан отображения $ F,$ рассматриваемого как отображение $ R^2\to R^2.$ Каждый диффеоморфизм $ f$ : $ R^2\to R^2$ можно интерпретировать как гладкое векторное поле на плоскости $ R^2$ по правилу:

$\displaystyle F=f_1(x,y)\partial_x+f_2(x,y)\partial_y$ (91)
или в комплексной алгебраической версии:

$\displaystyle F=f_1(x,y)+if_2(x,y),$ (92)
где $ f_i$ -- компоненты отображения $ f.$ Векторные поля, соответствующие аналитическим функциям, обладают рядом интересных и важных для приложений свойств. Из условий (82) следует, что каждая из компонент векторного поля $ F(z)=u+iv$ (стрелку опускаем) является гармонической функцией, т. е. удовлетворяет 2-мерному уравнению Лапласа

$\displaystyle \Delta u=\Delta v=0.$ (93)
Гармонические функции, связанные друг с другом условиями Коши-Римана, называются сопряженными. Любая гармоническая на декартовой плоскости функция определяет (с точностью до постоянной) свою сопряженную. Условия Коши-Римана на языке векторного анализа имеют следующую интерпретацию: векторное поле $ i\bar F$ потенциально10 и соленоидально, т.е. компоненты $ \{X,Y\}=\{v,u\}$ векторного поля $ i\bar F$ удовлетворяют соотношениям:

$\displaystyle \bar F_{,z}=0\Leftrightarrow$   rot$\displaystyle   i\bar F\equiv Y_{,x}-X_{,y}=0;$   div$\displaystyle  i\bar F\equiv X_{,x}+Y_{,y}=0.$ (94)
Эти свойства обусловливают применение конформных отображений для решения задач гидродинамики потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости, электростатики и магнитостатики и ряда других, связанных с решением 2-мерного уравнения Лапласа. В этих задачах уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал $ \varphi$ (поля или скорости). Сопряженная к нему функция $ \chi$ имеет смысл функции тока. Семейство поверхностей $ \varphi=$const определяет семейство эквипотенциальных линий в смешанной магнито-электростатической задаче, с одной из которых совмещен профиль цилиндрического заряженного проводника и (или) цилиндрического проводника с током, или семейство нормальных линий к плоскопараллельному потоку в гидродинамике. Уравнения $ \chi=$const определяют линии напряженности или линии тока в соответствующих задачах. Линии $ \varphi=$const и линии $ \chi=$const образуют криволинейную ортогональную сетку на комплексной плоскости. В совокупности аналитическая функция $ \Phi(z)=\varphi+i\chi$ определяет комплексный потенциал, дающий решение некоторой задачи магнито-электростатики, гидродинамики и т. д. Ортогональность криволинейной сетки линий уровня и линий напряженности следует непосредственно из условий Коши-Римана, т. е. из аналитичности $ \Phi(z).$ На практике для решения краевых эллиптических задач в пространстве свободном от источников требуется подобрать такую аналитическую функцию $ \Phi(z),$ вещественная или мнимая часть которой отображает границу области в прямую линию или в ее кусок.


3.2.  Двойные числа

3.2.1.  Алгебра и обозначения

По аналогии с алгеброй комплексных чисел $ \mathcal{C}$ определим алгебру двойных чисел $ \mathcal{H}$ парой образующих $ \{1,j\}$ 2-мерного $ R$ -модуля с таблицей умножения:

\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c} & 1& j \hline 1& 1 & j \hline j& j& 1 \end{array}.\end{displaymath} (95)
Элементы $ \mathcal{H}$ будем записывать в виде: $ \mathcal{H}\ni h=1\cdot t+jx,$ где $ t,x\in R,$ имея ввиду дальнейшие приложения этой алгебры для описания 2-мерного пространства-времени. По аналогии с комплексными числами, вещественное число Re$  h\equiv t$ называется вещественной частью двойного числа $ h,$ а вещественное число Im$  h\equiv x$ называется мнимой частью двойного числа $ h.$ Алгебра двойных чисел с таблицей умножения (95) не образует числового поля, поскольку содержит делители нуля, т. е. уравнение $ h_1h_2=0$ может выполняться при отличных от нуля элементах $ h_1$ и $ h_2.$ Это обстоятельство послужило одной из причин, по которой двойные числа не получили столь широкого распространения в приложениях, как комплексные. Однако, именно это обстоятельство отражает на алгебраическом языке важнейший факт геометрии 2-мерного пространства-времени -- наличие световых конусов. Геометрическая интерпретация двойных чисел аналогична интерпретации комплексных чисел: на плоскости двойной переменной (коротко -- гиперболической плоскости) каждому двойному числу соответствует радиус-вектор, координаты которого суть вещественная и мнимая часть этого числа При этом сумма и разность двойных чисел изображается стандартным правилом параллелограмма для соответствующих радиус-векторов на гиперболической плоскости.

3.2.2.  Комплексное сопряжение и метрика

Инволютивную операцию комплексного сопряжения для двойных чисел определим следующим образом: $ h=t+jx\mapsto \bar h=t-jx.$ Геометрически эта операция описывает отражение гиперболической плоскости относительно оси Im$   h=0.$ Аналогично комплексному случаю, пару $ \{h,\bar h\}$ можно рассматривать как независимые двойные координаты на гиперболической плоскости, которые связаны с декартовыми координатами посредством формул (75) с заменой $ z,\bar z\to h,\bar h, i\to j.$ Комплексная координатная билинейная форма $ \mathcal{G}\equiv
dh\otimes d\bar h$ снова раскладывается на симметричную $ \Xi$ и кососимметричную $ \Omega$ неприводимые компоненты следующим образом:

$\displaystyle \mathcal{B}\equiv dh\otimes d\bar h=\Xi-j\Omega,$ (96)
где $ \Xi=dt\otimes dt-dx\otimes dx$ -- псевдоевклидова метрическая форма, $ \Omega\equiv dt\wedge dx=-j dh\wedge d\bar h/2$ -- 2-мерная форма объема. Мы видим, что алгебра двойных чисел индуцирует на плоскости двойной переменной 2-мерную пседоевклидову (гиперболическую) геометрию с метрической формой $ \Xi$ , что объясняет принятый нами термин "гиперболическая плоскость".

3.2.3.  Полярные координаты, тригонометрическое
и экспоненциальное представление

Переход к гиперболическим полярным координатам и экспоненциальной форме представления двойного числа имеет ряд особенностей, которых нет в случае комплексных чисел. Пара прямых $ t\pm x=0,$ содержащих множество двойных чисел11 с нулевым квадратом нормы, разбивает всю гиперболическую плоскость на четыре клиновидные области, обозначенные на рисунке цифрами I, II, III и IV (рис. 14).



\begin{picture}(33.00,30.83)
\unitlength=1.50mm
\emline{1.33}{15.00}{1}{32.67}{1...
...89){\makebox(0,0)[cc]{IV}}
\put(22.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{IV}}
\end{picture}

Рис. 14 Область $ R\sqcup -R\sqcup R\sqcup -R$ изменения угла $ \psi$ на плоскости $ \mathcal{H}$ . Ориентация согласована в противоположных клиньях и противоположна в соседних. Для различения углов в различных клиньях можно нумеровать угол $ \psi$ индексом $ k$ : $ \psi_k,$ $ (k=1,2,3,4).$


Непосредственной проверкой можно убедиться, что в каждой из отмеченных областей двойные числа допускают гиперболическое тригонометрическое представление вида:

$\displaystyle h=t+jx=\epsilon\varrho(\cosh\psi+j\sinh\psi),$ (97)
где для каждого из клиньев имеют место следующие определения величин:

\begin{displaymath}\begin{array}{rlcc} \text{I}:&\epsilon=1,& \varrho=\sqrt{t^2-...
...varrho=\sqrt{x^2-t^2},\quad \psi=\text{Arcth}(t/x). \end{array}\end{displaymath} (98)
Величины $ \varrho$ и $ \psi,$ определенные в каждом из клиньев формулами (97), будем называть модулем и аргументом двойного числа $ h$ . Таким образом, в каждом из клиньев $ 0\le\varrho<\infty,$ а сами клинья параметризуются отдельными экземплярами вещественных прямых, которые в совокупности образуют многообразие $ \Psi$ угловых переменных в виде ориентированной дизъюнктной суммы12 $ R\sqcup -R\sqcup R\sqcup -R.$ Более наглядно многообразие $ \Psi$ можно представить себе, компактифицируя каждое из $ R$ в открытый интервал и склеивая интервалы в их концах в окружность с четырьмя выколотыми точками. Отметим, что множество двойных чисел с нулевой нормой не описывается ни одной из координатных карт введенной выше гиперболической полярной системы координат. В дальнейшем множество двойных чисел вида

$\displaystyle h_0+h_1(1\pm j),$ (99)
($ h_0,h_1$ -- произвольные двойные числа) будем называть конусом числа $ h_0$ и обозначать Con$ (h_0).$ Все точки, лежащие в Con$ (h_0),$ имеют равное нулю гиперболическое расстояние до точки $ h_0.$ Иногда мы будем различать Con$ _+(h_0)$ и Con$ _-(h_0)$ в соответствии со знаками в (99). Также можно различать подконусы Con$ _+^\uparrow(h_0)$ и Con$ _+^\downarrow(h_0),$ для случаев Re$ h_1+$Im$ h_1>0$ и Re$ h_1+$Im$ h_1<0$ соответственно и подконусы Con$ _-^\uparrow(h_0)$ и Con$ _-^\downarrow(h_0)$ для случаев Re$ h_1-$Im$ h_1>0$ и Re$ h_1-$Im$ h_1<0$ соответственно. Все конусы и подконусы показаны на рис. 15.

\begin{picture}(43.67,50.33)
\unitlength=1mm
\emline{0.67}{25.00}{1}{43.50}{25.0...
...23.00){\makebox(0,0)[lc]{$h_0$}}
\put(21.17,25.00){\circle*{1.00}}
\end{picture}
Рис. 15 К определению конусов и подконусов точки $ h_0.$ Con$ (h_0)=$Con$ _+(h_0)\cup$Con$ _-(h_0)=($Con$ _+^\uparrow(h_0)\cup$Con$ _+^\downarrow(h_0))\cup($Con$ _-^\uparrow(h_0)\cup$Con$ _-^\downarrow(h_0)).$
Справедливость гиперболической формулы Эйлера:

$\displaystyle \cosh\psi+j\sinh\psi=e^{j\psi}
$

проверяется разложением левых и правых частей в формальные ряды Маклорена и сравнением их вещественных и мнимых частей. Гиперболическая формула Эйлера приводит к экспоненциальной форме представления двойных чисел:

$\displaystyle h=t+jx=\epsilon\varrho e^{j\psi}=\epsilon e^{\Theta},$ (100)
где в последнем равенстве мы перешли к "комплексному гиперболическому углу"

$\displaystyle \Theta=\ln\varrho+j\psi\equiv\ln h.$ (101)
При этом произведение пары двойных чисел сводится к сложению их комплексных углов и перемножению знаковых множителей $ \epsilon$ . Формулы для вычисления длин кривых и площадей областей на $ \mathcal{H}$ повторяют формулы (77) с заменой $ z\to h,$ $ \eta\to\Xi, i\to j.$


Пример. Вычислим длину дуги евклидовой окружности евклидова радиуса $ r$ с центром в нуле, заключенную между точками $ 1$ и $ j$ на плоскости двойной переменной. Подставляя в евклидово уравнение окружности $ t^2+x^2=r^2$ полярные гиперболические координаты: $ t=\varrho\cosh\psi,$ $ x=\varrho\sinh\psi,$ получаем гиперболическое полярное уравнение евклидовой окружности:

$\displaystyle \varrho(\psi)=\frac{r}{(\cosh^2\psi+\sinh^2\psi)^{1/2}}.$ (102)
Составляя псевдоевклидов элемент длины: $ dl^2=\vert d\rho^2-\rho^2 d\psi^2\vert$ вдоль окружности с учетом (102), получаем после некоторых элементарных преобразований и дифференцирований:

$\displaystyle dl=\frac{r d\psi}{(\cosh^2\psi+\sinh^2\psi)^{3/2}} \vrule depth15pt width0pt$ (103)
В силу симметрии дуги относительно биссектриссы $ t=x$ достаточно вычислить длину половинки, на которой $ \psi$ меняется от 0 до $ \infty,$ а затем результат удвоить. Составляя интеграл, получаем:

$\displaystyle L=2\int\limits_0^{\infty}\frac{r
d\psi}{(\cosh^2\psi+\sinh^2\psi)^{3/2}}.
$

С помощью подстановки: $ \tanh\psi=\xi,$ интеграл сводится к более простому виду и выражается через полные эллиптические интегралы 1-ого и 2-ого родов:

$\displaystyle L=2r\int\limits_0^1\sqrt{\frac{1-\xi^2}{1+\xi^2}}\frac{d\xi}{1+\xi^2}=2\sqrt{2}r[E(1/\sqrt2)-K(1/\sqrt2)/2]\approx1.2r.
$


3.3.  $ h$ -голоморфные функции двойной переменной

Функция $ \ln h,$ определенная по формуле (101), является простым и важным представителем класса т. н. $ h$ -голоморфных функций двойной переменной, к определению которых можно прийти из соображений, аналогичных определению аналитической функции комплексной переменной. Произвольное гладкое отображение $ f$ : $ R^2\to R^2$ можно представлять парой вещественных компонент (78), а можно перейти к его представлению через пару двойных переменных $ \{h,\bar h\}$ :

$\displaystyle (h,\bar h)\mapsto(h',\bar h'):  h'=F_1(h,\bar h);\quad \bar h'=F_2(h,\bar h).$ (104)
Теперь для интерпретации $ R^2$ как плоскости двойной переменной $ \mathcal{H}$ естественно ограничиться отображениями, сохраняющими гиперболическую комплексную структуру плоскости, т. е. отображениями $ \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ вида: $ h\mapsto
s=F(h).$ Дифференцируемые13 функции $ R^2\to R^2,$ удолетворяющие условию:

$\displaystyle F_{,\bar h}=0$ (105)
будем называть $ h$ -голоморфными функциями двойной переменной $ h.$ Функции, удовлетворяющие условию:

$\displaystyle F_{,h}=0$ (106)
будем называть $ h$ -антиголоморфными функциями двойной переменной. По аналогии с голоморфными функциями комплексной переменной голоморфные функции двойной переменной можно определять формальными степенными рядами, сходимость которых часто вытекает из сходимости соответствующих вещественных рядов.


Пример. Элементарная проверка путем разложения в формальный ряд обнаруживает справедливость следующих тождеств:

$\displaystyle S(jx)=jS(x);\quad C(jx)=C(x);\quad
$

$\displaystyle S(h)=S(t+jx)=S(t)C(x)+jC(t)S(x);$ (107)

$\displaystyle C(h)=C(t+jx)=C(t)C(x)-jS(t)S(x),
$

где $ x\in R,$ $ S$ -- синус (эллиптический или гиперболический), $ C$ -- косинус (эллиптический или гиперболический) в левых и правых частях равенств соответственно, которые мы определяем их стандартными рядами. На самом деле, приведенные выше равенства являются частными случаями более общего тождества:

$\displaystyle f(jx)=S_f(x)+jA_f(x),
$

где $ S_f\equiv [f(x)+f(-x)]/2,$ $ A_f\equiv [f(x)-f(-x)]/2$ -- симметричная и антисимметричная части произвольной аналитической функции $ f.$ Докажем, что голоморфная функция всегда отображает делители нуля в делители нуля. Доказательство опирается на следующее формальное тождество:

$\displaystyle (1\pm j)^{\alpha}\equiv 2^{\alpha-1}(1\pm j), \alpha\in R.$ (108)
Для натуральных $ \alpha$ тождество непосредственно вытекает из более простого: $ (1\pm j)^2=2(1\pm j).$ Для произвольных $ \alpha$ воспользуемся формальными разложениями в ряды Маклорена. С одной стороны

$\displaystyle (1\pm j)^\alpha=1\pm\alpha j+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}\pm\frac{...
...(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{4!}+\dots$ (109)
С другой

$\displaystyle 2^{\alpha-1}=(1+1)^{\alpha-1}=1+\alpha-1 +$ (110)

$\displaystyle \frac{(\alpha-1)(\alpha-2)}{2!}+\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{3!}+\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(\alpha-4)}{4!}+\dots
$

Умножая этот ряд почленно на $ (1\pm j)$ получаем:

$\displaystyle 2^{\alpha-1}(1\pm j)=1\pm j+(\alpha-1)\pm(\alpha-1)j+\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)}{2!}\pm \frac{(\alpha-1)(\alpha-2)}{2!}j+$ (111)

$\displaystyle \frac{(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{3!}\pm\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{3!}j+\dots
$

Комбинируя в разложении (111) все последовательные пары четных слагаемых (содержащих $ j$ ), получаем все последовательные четные слагаемые ряда (109), а комбинируя в (111) все последовательные пары нечетных слагаемых (начиная с пары "третье-пятое"), получаем все последовательные нечетные слагаемые ряда (109) (начиная с третьего). Таким образом, формальные ряды левой и правой части (108) совпадают, что и требовалось доказать. Задавая теперь голоморфную функцию $ F(h)$ в виде степенного ряда:

$\displaystyle F(h)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(h-h_0)^k,$ (112)
в силу тождества (108) будем иметь на конусе Con$ (h_0)$ произвольной точки $ h_0$ :

$\displaystyle F(h)\vert _{h\in\text{Con}(h_0)}=F(h_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty c_k((t-t_0)\pm
j(t-t_0))^k=
$

$\displaystyle F(h_0)+(1\pm j)\sum\limits_{k=0}^\infty
c_k2^{k-1}(t-t_0)^k\subset$Con$\displaystyle (F(h_0)),
$

что и требовалось доказать. При этом, как это видно из полученного выражения, голоморфная функция может осуществлять инверсию конуса (т.е. переводить компоненты Con$ _{\pm}^\uparrow$ в соответствующую компоненты Con$ _{\pm}^\downarrow$ и наоборот), но не может переводить его ветви Con$ _+$ и Con$ _-$ друг в друга.

3.4.  Гиперболические условия Коши-Римана

Распишем условие (105) в декартовых координатах:

$\displaystyle F_{,\bar h}=(U+jV)_{,\bar h}=\frac{(U+jV)_{,t}}{\bar
h_{,t}}+\frac{(U+jV)_{,x}}{\bar
h_{,x}}=U_{,t}-V_{,x}+j(V_{,t}-U_{,x})=0,
$

откуда следуют условия гиперболической аналитичности Коши-Римана:

$\displaystyle U_{,t}=V_{,x};\quad U_{,x}=V_{,t}.$ (113)
Если функция $ F$ $ h$ -голоморфна в смысле данного выше определения, то $ h$ -голоморфна и функция $ \ln
F=\ln\varrho_F+j\psi_F+\ln\epsilon_F.$ Отсюда следуют14 условия Коши-Римана в терминах модуля и аргумента функции двойной переменной:

$\displaystyle (\ln\varrho_F)_{,t}=(\psi_F)_{,x};\quad (\ln\varrho_F)_{,x}=(\psi_F)_{,t}.$ (114)
Легко проверить, что из условий (113) следует гиперболическая гармоничность вещественной и мнимой частей аналитической функции $ F,$ которая выражается уравнениями:

$\displaystyle \Box U=\Box V=0,$ (115)
где $ \Box\equiv \partial^2_{t}-\partial^2_x$ -- 2-мерный волновой оператор -- даламбертиан ("гиперболический лапласиан").

3.5.  Гиперболические аналоги теоремы Коши

3.5.1.  Теорема Коши

Доказательство гиперболической теоремы Коши является почти дословным повторением соответствующего доказательства формулы (84). Чтобы подчеркнуть независимость этого доказательства от метрических свойств двойной (или комплексной) плоскости, проведем его на языке дифференциальных форм15. Для всякого простого замкнутого контура $ \Gamma,$ ограничивающего область $ \Sigma\subset\mathcal{H}$ и аналитической функции двойной переменной $ F=U+jV$ имеем следующую цепочку равенств:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}F(h)  dh=\oint\limits_{\Gamma}U  dt+V 
dx+j\oint\limits_{\Gamma}U  dx+V 
dt=
$

$\displaystyle \int\limits_{\Sigma}[(V_{,t}-U_{,x})+j(U_{,t}-V_{,x}) 
dt\wedge dx=0
$

в силу условий (113). Второй знак равенства выражает теорему Пуанкаре-Дарбу об интегрировании 1-форм по замкнутым путям. С использованием комплексного языка доказательство выглядит еще короче:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}F(h)  dh=\int\limits_{\Sigma}F_{\bar h} 
d\bar h\wedge dh=0
$

ввиду (105). В силу чисто топологических соображений, аналогичных соображениям на комплексной плоскости, интеграл от голоморфной функции будет обращаться в нуль и по границе многосвязной области.

\begin{picture}(32.00,30.17)
\unitlength=1.00mm
\emline{1.17}{15.00}{1}{30.00}{1...
...{45}{13.17}{12.50}{46}
\emline{14.25}{11.75}{47}{12.92}{12.08}{48}
\end{picture}
Рис. 16 К выводу интегральной теоремы Коши на двойной плоскости

3.5.2.  Интегральная формула Коши

Для интеграла Коши в его гиперболической версии теперь имеем равенство16:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh=\oint\limits_{S_r(h_0)}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh,$ (116)
вытекающее из гиперболической теоремы Коши. Здесь $ S_r(h_0)$ -- (евклидова) окружность радиуса $ r$ с центром в точке $ h_0,$ причем интеграл не зависит от радиуса этой окружности (см. рис. 16). Сделаем замену переменной: $ h=
h_0+\epsilon\varrho(r,\psi)e^{j\psi},$ где функция $ \varrho(r,\psi)e^{j\psi}=rf(\psi)e^{j\psi}$ является полярно-параметрическим заданием евклидовой окружности $ S_r(0)$ в терминах гиперболической полярной системы координат. Как это следует из разобранного в разделе 3 примера, $ f=1/\sqrt{\cosh^2\psi+\sinh^2\psi}.$ При этом нам потребуется лишь только однозначность функции $ f.$ Переходя к интегрированию по $ \psi,$ получаем: $ h-h_0=\epsilon rf(\psi)e^{j\psi},$ $ dh=\epsilon r(df+jf  d\psi)e^{j\psi},$ а сам интеграл Коши принимает вид:

$\displaystyle \oint\limits_{S_r(h_0)}F(h)(d\ln f+j d\psi).
$

Используя независимость интеграла от $ r$ и переходя в нем к пределу при $ r\to 0,$ получаем:

$\displaystyle \oint\limits_{S_r(h_0)}F(h)(d\ln f+j d\psi)=\lim\limits_{r\to0}
\oint\limits_{S_r(h_0)}F(h)(d\ln
f+j d\psi)=
$

$\displaystyle F(h_0)\int\limits_{\Psi}(d\ln f+j d\psi).
$

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу однозначности функции $ \ln f.$ Таким образом, приходим к следующей формуле гиперболической версии интегральной формулы Коши:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}\frac{F(h)}{h-h_0} 
dh=jF(h_0)\int\limits_{\Psi}d\psi.
$

В обычном смысле интеграл, полученный справа, расходится. Однако ему можно придать смысл, вводя формальную величину $ \ell_H$ размера гиперболического пространства направлений по формуле:

$\displaystyle \frac{\ell_H}{2}\equiv\int\limits_{R}d\psi.$ (117)
С учетом ориентации кусков $ R$ в $ \Psi$ (см. рис. 14), получаем:

$\displaystyle \int\limits_{\Psi}d\psi=\ell_H/2-\ell_H/2+\ell_H/2-\ell_H/2=0.
$

Таким образом, гиперболическая формула Коши в некотором (несобственном) смысле имеет вид более простой, чем в комплексном случае:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh=0.$ (118)



\begin{picture}(31.17,31.67)
\unitlength=2.00mm
\emline{1.17}{15.00}{1}{30.00}{1...
...{49}{18.83}{11.08}{50}
\emline{18.83}{11.08}{51}{17.58}{11.92}{52}
\end{picture}
Рис. 17. К выводу интегральной теоремы Коши на плоскости двойной переменной: контур $ \Gamma_r.$


Более содержательный аналог стандартной формулы Коши получится, если рассматривать замкнутый контур $ \Gamma_r$ вида, представленного на рисунке 17. Этот контур состоит из двух дуг произвольных кусочно-гладких простых кривых, лежащих в областях $ \vert t-t_0\vert\ge\vert x-x_0\vert$ и опирающихся своими концами на компоненты конуса Con$ (h_0),$ отрезков этого конуса, и пары двух дуг евклидовой окружности радиуса $ r$ с центром в $ h_0,$ опирающихся на компоненты конуса Con$ (h_0).$ Интеграл типа Коши по контуру $ \Gamma_r$ равен нулю в том же обобщенном смысле, что и (118), ввиду того, что контур $ \Gamma_r$ является гомотопией исходного контура $ \Gamma$ в области голоморфности функции $ F(h)/(h-h_0).$ Теперь имеем

$\displaystyle 0=\oint\limits_{\Gamma_r}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh=\oint\limits_{S_r(h_0)}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh+\oint\limits_{\Gamma'_r}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh,$ (119)
где $ \Gamma'_r\equiv\Gamma_r\setminus S_r(h_0).$ Вводя на $ S_r(h_0)$ гиперболическую полярную систему координат, повторяя предыдущие рассуждения и используя свойства функции $ f(\psi)$ (ее четность по $ \psi$ ), задающей полярное уравнение евклидовой окружности, получаем

$\displaystyle \lim\limits_{r\to0}\oint\limits_{S_r(h_0)}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh=-j\ell_HF(h_0),$ (120)
откуда из (119) получаем более прямой гиперболический аналог формулы Коши:

$\displaystyle F(h_0)=\frac{1}{\ell_Hj}\oint\limits_{\Gamma_0}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh,$ (121)
где контур $ \Gamma_0=\lim\limits_{r\to0}\Gamma_r.$ По своему виду полученная формула формально вполне эквивалентна стандартной формуле (85) с заменой размера пространства евклидовых направлений $ \ell_E$ на размер пространства гиперболических направлений $ \ell_H$ в паре клиньев с одинаковым знаком $ h\bar h.$ Величину $ \ell_H$ можно считать "фундаментальной константой" геометрии двойных чисел. При вычислениях с этой константой надо аккуратно учитывать ее свойства и использовать процедуру регуляризации выражений. Гиперболическую формулу Коши (121) можно записать в более общем виде:

$\displaystyle F(h_0)=\pm\frac{1}{\ell_Hj}\oint\limits_{\Gamma_\pm}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh,$ (122)
учитывающий возможность выбора контура $ \Gamma_-$ вместо $ \Gamma_+=\Gamma_0,$ получающегося поворотом последнего на евклидов угол $ +\pi/2,$ и противоположность ориентации параметра $ \psi$ в области $ \vert t-t_0\vert\le \vert x-x_0\vert$ общему направлению положительного обхода контуров на $ \mathcal{H}$ (против часовой стрелки).

\begin{picture}(50.56,50.00)
\unitlength=1.00mm
\emline{0.89}{25.00}{1}{50.33}{2...
...}{8.00}{8.00}{32}
\put(46.11,44.11){\makebox(0,0)[lc]{$\Gamma_1$}}
\end{picture}
Рис. 18. К выводу интегральной теоремы Коши на плоскости двойной переменной: контуры $ \Gamma_n.$
Аналогично получаются и следующие варианты формулы Коши:

$\displaystyle F(h_0)=(-1)^{n+1}\frac{2}{\ell_Hj}\oint\limits_{\Gamma_n}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh,$ (123)
где $ n=1,2,3,4,$ контур $ \Gamma_1$ представлен на рис. 18, а контуры $ \Gamma_n$ получаются из него поворотами на углы $ \pi(n-1)/2$ вокруг точки $ h_0.$


Пример. В качестве примера проиллюстрируем работу формулы Коши в виде (123) при $ n=1$ путем явного вычисления интеграла по контуру $ \Gamma_1.$ Имеем

$\displaystyle \frac{2}{\ell_Hj}\oint\limits_{\Gamma_1}\frac{F(h)}{h-h_0}  dh=\...
...0)}{h-h_0}  dh+\frac{2F(h_0)}{\ell_Hj}\oint\limits_{\Gamma_1}\frac{dh}{h-h_0}.$ (124)
Подынтегральное выражение в первом интеграле -- голоморфная функция в области, ограниченной контуром $ \Gamma_1$ и на нем самом, поэтому этот интеграл обращается в нуль. На конусе Con$ _+^\uparrow$ выберем в качестве переменной интегрирования переменную $ t\in[t_0+\tau_1,t_0],$ а на конусе Con$ _-^\uparrow$ $ t\in[t_0,t_0+\tau_2],$ где $ \tau_1,\tau_2$ -- абсциссы концевых точек криволинейной части контура $ \Gamma_1$ (соответственно верхнего и нижнего концов) в системе координат с началом в точке $ h_0.$ Таким образом, интегралы дают следующий вклад:

$\displaystyle \frac{2F(h_0)}{\ell_Hj}\left[\int\limits_{t_0+\tau_1}^{t_0}\frac{...
...)(t-t_0)}+\int\limits_{t_0}^{t_0+\tau_2}\frac{(1-j) dt}{(1-j)(t-t_0)}\right]=
$

$\displaystyle \frac{2F(h_0)}{\ell_Hj}(\ln 0-\ln\tau_1+\ln\tau_2-\ln
0)=\frac{2F(h_0)}{\ell_Hj}\ln(\tau_2/\tau_1)=0.
$

В предпоследнем равенстве было учтено сокращение двух одинаковы логарифмически сингулярных членов, а в последнем учтено "свойство бесконечности" фундаментальной константы $ \ell_H.$ Таким образом, вклад в интеграл Коши дает только участок $ \Gamma'$ контура между компонентами конуса Con$ (h_0)$ . Переходя к полярной системе координат с центром в точке $ h_0$ получаем:

$\displaystyle \frac{2F(h_0)}{\ell_Hj}\int\limits_{\Gamma'}\frac{dh}{h-h_0}=\frac{2F(h_0)}{\ell_Hj}\int\limits_{R}(d\ln\varrho+d\psi).
$

Интеграл от первого слагаемого дает нуль в силу того, что на концах контура $ \Gamma'$ $ \varrho=0.$ Интегрируя второе слагаемое с учетом (117), приходим к результату $ F(h_0),$ что и утверждает гиперболическая формула Коши.

3.5.3.  Интегралы от степени

Рассмотрим теперь вопрос о возможности вычисления коэффициентов ряда Тейлора $ h$ -голоморфной функции с помощью формулы, аналогичной (87). По существу, этот вопрос сводится к выяснению возможности обобщения тождества (88) на гиперболический случай. Рассмотрим интеграл вида:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}(h-h_0)^\alpha  dh.$ (125)
Продеформируем контур $ \Gamma$ таким образом, чтобы он принял вид $ \Gamma'$ , показанный на рисунке 19 (значение интеграла при этом, очевидно, не изменится).

\begin{picture}(45.67,47.83)
\unitlength=1.00mm
\emline{2.00}{25.00}{1}{45.33}{2...
....78)(24.56,23.22)
\put(10.22,22.11){\makebox(0,0)[lt]{$S_r(h_0)$}}
\end{picture}
Рис. 19. К вопросу о коэффициентах ряда Тейлора для $ h$ -голоморфных функций.
Раскладывая интеграл на слагаемые, соответствующие различным участкам контура $ \Gamma'=-$Con$ _+^\uparrow(h_0)\cup
S_r(h_0)\cup$Con$ _-^\uparrow(h_0)\cup\mathcal{I},$ получим для вкладов по конусам (обозначения аналогичны использованным в предыдущем примере, причем $ \tau_1=\tau_2$ ):

$\displaystyle \int\limits_{-\text{Con}_+^\uparrow(h_0)}\hspace{-1em}(h-h_0)^\al...
...,
dh+\int\limits_{\text{Con}_-^\uparrow(h_0)}\hspace{-1em}(h-h_0)^\alpha 
dh=
$

$\displaystyle \int\limits_{t_0+\tau}^{t_0+r}(t-t_0)^\alpha(1+j)^{\alpha+1} dt+\int\limits_{t_0+r}^{t_0+\tau}(t-t_0)^\alpha(1-j)^{\alpha+1} dt.
$

Используя тождество (108) и приводя подобные слагаемые, получаем следующий результат:

$\displaystyle \int\limits_{\text{Con}_-^\uparrow(h_0)-\text{Con}_+^\uparrow(h_0...
...-h_0)^\alpha  dh=j\frac{2^{\alpha+1}}{\alpha+1}[r^{\alpha+1}-\tau^{\alpha+1}].$ (126)
Интеграл по прямолинейному отрезку вычисляется также легко:

$\displaystyle \int\limits_{\mathcal{I}}(h-h_0)^\alpha  dh\vert _{h=h_0+\tau+js...
..., d\xi=j\frac{2^{\alpha+1}\tau^{\alpha+1}}{\alpha+1}. \vrule depth25pt width0pt$ (127)
Сравнивая (126) и (127), приходим к выводу, что

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma'}(h-h_0)^\alpha 
dh=\int\limits_{S_r(h_0)}\h...
...-h_0)^\alpha 
dh+j\frac{2^{\alpha+1}}{\alpha+1}r^{\alpha+1}, (\alpha\neq-1).
$

Для интеграла по дуге окружности $ S_r(h_0)$ имеем с учетом параметризации (98) представление:

$\displaystyle \int\limits_{S_r(h_0)}\hspace{-1em}(h-h_0)^\alpha 
dh=[(-1)^{\al...
...fty}^{+\infty}\varrho^{\alpha+1}
e^{j(\alpha+1)\psi}(d \ln\varrho+j  d\psi).
$

Полагая $ \varrho=\varrho(\psi)=rf(\psi)$ (для нас не важен конкретный вид $ f,$ важно лишь, что эта функция зависит только от $ \psi,$ но не зависит от $ r$ ), приходим к выражению:

$\displaystyle \int\limits_{S_r(h_0)}\hspace{-1em}(h-h_0)^\alpha 
dh=r^{\alpha+1}K_1(\alpha)
$

и в целом:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma_1}(h-h_0)^\alpha  dh=r^{\alpha+1}K_2(\alpha), (\alpha\neq-1).$ (128)
где $ K_1(\alpha),K_2(\alpha)$ -- некоторые функции, зависящие только от $ \alpha.$ В силу гомотопности контуров с различными $ r$ выражение (128) не должно зависеть от $ r.$ Это возможно только при условии $ K_2(\alpha)=0$ при $ \alpha\neq-1.$ Учитывая предыдущий результат при $ \alpha=-1,$ можно написать следующую окончательную формулу:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}(h-h_0)^\alpha  dh= \left\{ \begin{array}{lr} 0,&\alpha\neq-1; j\ell_H,&\alpha=-1. \end{array} \right.$ (129)
Полученный результат обобщает формулы (88) и (87), поскольку интеграл от степени в гиперболическом случае обращается в нуль для всех вещественных $ \alpha,$ а не только для целых. Это обстоятельство может послужить мотивом для поиска фундаментальных континуальных разложений $ h$ -голоморфных функций, отличных от разложения в классические ряды Тейлора (или Лорана).

3.6.  Гиперболические конформно-аналитические отображения

Введенная выше билинейная форма $ \mathcal{G}$ ведет себя относительно $ h$ -голоморфного преобразования $ F(h)$ как относительный скаляр:

$\displaystyle \mathcal{G}\mapsto \mathcal{G}'=\vert F'(h)\vert^2\mathcal{G},$ (130)
где $ F'(h)=dF/dh,$ откуда следуют законы преобразования элементов гиперболической длины и площади:

$\displaystyle dl'=\vert F'\vert  dl;\quad (dh\wedge d\bar h)'=\vert F'\vert^2(dh\wedge d\bar h).$ (131)
Аналогично комплексному случаю, относительная скалярность формы площади имеет место при всяких диффеоморфизмах, а первое равенство в (131) означает, что $ h$ -голоморфные функции осуществляют конформные преобразования гиперболической плоскости, т. е. сохраняют гиперболические углы между кривыми в каждой точке. Это обстоятельство тесно связано с установленным выше фактом об инвариантности конусов Con относительно $ h$ -голоморфных отображений. Отметим, что $ \vert F'\vert=2\vert\bigtriangledown u\vert^2=2\vert\bigtriangledown v\vert^2=2\sqrt{\Delta_F},$ где $ \bigtriangledown$ -- оператор градиента в псевдоевклидовой метрике, а $ \Delta_F$ -- якобиан отображения $ F,$ рассматриваемого как отображение $ R^2\to R^2.$ Аналогично комплексному случаю, каждый диффеоморфизм $ f$ : $ R^2\to R^2$ можно интерпретировать как гладкое векторное поле. Векторные поля, соответствующие $ h$ -голоморфным функциям двойной переменной, обладают рядом интересных и важных для приложений свойств. Из условий (113) следует, что каждая из компонент векторного поля $ F(h)=U+iV$ является гиперболической $ h$ -гармонической функцией, т. е. удовлетворяет 2-мерному волновому уравнению (115). $ h$ -гармонические функции, связанные друг с другом условиями Коши-Римана (113), будем называть $ h$ -сопряженными. Любая $ h$ -гармоническая на декартовой плоскости функция определяет (с точностью до постоянной) свою гиперболически сопряженную. Гиперболическим условиям Коши-Римана (113) на языке векторного анализа на псевдоевклидовой плоскости можно придать следующий геометрический смысл: векторное поле $ j\bar F=U-jV$ h-потенциально и h-соленоидально, т.е. компоненты $ \{-V,U\}$ векторного поля $ j\bar F$ удовлетворяют соотношениям:

$\displaystyle j\bar F_{,h}=0\Leftrightarrow$roth$\displaystyle   F\equiv U_{,x}-V_{,t}=0;$   divh$\displaystyle  F\equiv U_{,t}-V_{,x}=0.$ (132)
Физический смысл этих условий и соответствующие начально-краевые задачи, которые естественно решать с помощью гиперболических конформных преобразований, мы обсудим далее в отдельном разделе. Отметим здесь, что семейство поверхностей $ U=$const и $ V=$const определяет на декартовой плоскости $ R^2$ псевдоортогональные семейства линий, для которых $ \bigtriangledown U\cdot\bigtriangledown V\equiv U_{,t}V_{,t}-U_{,x}V_{,x}=0$ всюду в силу условий (113).


3.7.  Свойства некоторых элементарных функций двойной переменной

Рассмотрим подробнее свойства основных элементарных функций двойной переменной.

3.7.1.  Степенные функции $ F(h)=h^n$

В отличие от степенной функции комплексной переменной случаи четных $ n$ и нечетных $ n$ кардинально отличаются. Действительно, переходя к экспоненциальному представлению (100), получаем:

$\displaystyle h=\epsilon\varrho e^{j\psi}\mapsto \epsilon^n\varrho e^{jn\psi}$ (133)
Поскольку для любого четного $ n$ $ \epsilon^n=1,$ можно заключить, что степенная функция $ h\mapsto h^n$ при $ n=2k,$ $ k\in\mathbb{Z}$ биективно отображает каждый из клиньев II, III, IV на клин I с отображением конусов Con$ _\pm\to$Con$ _{\pm}.$ Напротив, при нечетном $ n$ каждый из координатных клиньев при отображении $ h\mapsto h^n$ $ n=2k+1,$ $ k\in\mathbb{Z}$ биективно отображается в себя. При этом, как нетрудно видеть из (133) координатная сетка линий $ \varrho=$const$ ,$ $ \psi=$const переходит в координатную сетку линий $ \varrho'=\varrho^n=$const$ ,$ $ \psi'=n\psi=$const для всяких целых $ n.$ В случае положительных целых $ n$ радиальные линии растягиваются при $ \varrho>1$ и сжимаются при $ \varrho<1,$ кроме того, они поворачиваются от значения $ \psi=0$ в сторону соответствующих им по знаку компонент конусов. Для целых отрицательных $ n$ дополнительно происходит еще инверсия относительно единичных сфер $ \varrho=1$ и инверсия пространства углов $ \Psi\to
-\Psi.$ В качестве примера функции с четным $ n$ рассмотрим функцию $ w=h^2=x^2+y^2+2jxy=\varrho^2e^{2\psi}.$



\begin{picture}(52.11,52.00)
\unitlength=1mm
\emline{1.00}{25.00}{1}{52.00}{25.0...
...makebox(0,0)[cc]{$1'$}}
\put(30.56,13.22){\makebox(0,0)[cc]{$2'$}}
\end{picture}
Рис. 20. Глобальная структура отображения $ h\mapsto h^2.$


На рис. 20 представлена глобальная структура отображения $ h\mapsto
h^2$ : клин 1-2 переходит сам в себя (его границы -- в соответствующие границы), а отображения остальных клиньев в клин 1-2 показано соответствующими цифрами (цифры со штрихами, помечающими клин, показывают как именно соответствующий клин отображается в клин 1-2). Таким образом, отображение $ h\mapsto
h^2$ является 4-листным. Аналогичным образом устроено отображение: $ h\to h^{2k}$ $ k\in\mathbb{Z}.$ Наглядное представление некоторых простых степенных отображений представлено на рис. 21-22.

\includegraphics[width=.3\textwidth]{plane.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{h2.eps}

Рис. 21. Гиперболическая полярная система координат (слева) и ее образ при отображении $ h\mapsto h^2.$
\includegraphics[width=.3\textwidth]{h3.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{hm1.eps}

Рис. 22. Образ гиперболической полярной системы координат (рис. 21 слева) при отображении $ h\mapsto h^3$ (слева) и образ первого клина при отображении $ h\mapsto h^{-1}$ (справа).

Из свойств степенных функций легко вывести свойства корней различных порядков и рациональных степеней: $ h\mapsto h^{1/n},$ $ h\mapsto h^{m/n}.$ Любой корень $ \sqrt[n]{h}$ четного порядка определен в квадранте I. Такой корень будет 4-значной функцией. Каждый лист гиперболической римановой поверхности этой функции представляет собой идентичную копию клина I, показанного на рис. 20. На каждом из листов функция однозначна. Все листы склеиваются в риманову поверхность, представляющую собой $ R^2,$ при этом точка $ (0;0)$ принадлежит всем листам и является гиперболическим аналогом точки ветвления. Наглядно риманову поверхность корня четного порядка можно реализовать листом бумаги, сложенным вчетверо так, как показано на рис. 23.

\begin{picture}(43.00,43.33)
\unitlength=1mm
\emline{18.33}{3.00}{1}{2.67}{27.17...
...){\makebox(0,0)[cc]{III}}
\put(11.17,25.67){\makebox(0,0)[cc]{IV}}
\end{picture}
Рис. 23. Гиперболическая риманова поверхность 4-значного отображения $ h\mapsto h^{1/2k},$ $ k\in\mathbb{Z}.$
Корни нечетной степени -- однозначны в каждом из 4 клиньев.


3.7.2.  Экспонента двойной переменной $ w=e^h$

Записывая $ e^h=e^{t+jx}=e^te^{jx}$ приходим к глобальной структуре экспоненциального отображения, представленной на рис. 24.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{exp1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{exp2.eps}

Рис. 24. Глобальная структура отображения $ h\mapsto e^h.$

Прямоугольная псевдоортогональная сетка на плоскости переменной $ h$ отображается экспонентой в псевдоортогональную сетку, состоящую из лучей и гипербол в первом клине с вершиной в точке $ h=0$ . Отображение $ h\mapsto e^h$ -- биективно. Очевидно, что обратная функция $ \ln h=\ln\varrho+j\psi$ определена во внутренности первого клина. На границах (т. е. на конусе Con$ ^{\uparrow}(0)$ ) полярная система координат не работает и требуется дополнительное исследование поведения отображения $ h\mapsto e^h,$ на котором мы здесь не останавливаемся.

3.7.3.  Тригонометрические функции $ \sin h,$ $ \cos h$ и обратные

Расписывая синус двойной переменной:

$\displaystyle \sin h=\sin(t+jx)=\sin t\cos x+j\sin x\cos t,$ (134)
замечаем, что линии $ x=$const и $ t=$const отображаются в семейства эллипсов с центром в точке $ (0;0).$ Эти линии наматываются на соответствующие эллипсы бесконечное число раз. На рис. 25 (справа) показаны образы квадратов с различными сторонами с центром в точке $ (0;0)$ (слева).
\includegraphics[width=.2\textwidth]{sin1.eps} \includegraphics[width=.2\textwidth]{sin2.eps}

Рис. 25. Структура отображения $ h\mapsto
\sin h.$

Каждый квадрат переходит в четырех-лучевую звездообразную фигуру, причем квадрат со стороной $ \pi/2$ отображается в окружность, а квадрат со стороной $ \pi$ отображается в координатный крест с вершинами с точках $ (1;0),$ $ (0;1),$ $ (-1;0),$ $ (0;-1).$ Из рисунка видно, что функция $ h\mapsto \sin h$ отображает внутренность квадратов со стороной, не превышающей $ \pi/2$ во внутренность звезд. Начиная с квадратов со стороной большей $ \pi/2$ однолистность функции $ \sin
h$ нарушается.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{sin3.eps}

Рис. 26. Вещественная часть отображения $ h\mapsto
\sin h.$
Вся плоскость переменной $ h$ покрывается квадратами со стороной $ \pi,$ которые получаются из наибольшего квадрата на рис. 25 слева трансляциями на векторы $ \pi(m+nj),$ где $ m,n\in\mathbb{Z}.$ При этом отображение $ h\mapsto \sin h$ в двух соседних квадратах отличается знаком (инверсией правой картинки на рис. 25). На рис. 26 представлена вещественная часть выражения (134). Нетрудно убедиться, что отображение $ h\mapsto\cos h$ устроено аналогично, только все семейство "фундаментальных квадратов" сдвинуто на плоскости переменной $ h$ влево на $ \pi/2$ (поскольку $ \cos h=\sin(h+\pi/2).$ ) Соответственно функцию $ \arcsin$$ \arccos$ ) можно определить на квадрате с вершинами в точках $ (1;0),(0;1), (-1;0),(0;-1)$ (на таком квадрате, сдвинутом на $ \pi/2$ влево). Явные формулы для арксинуса и арккосинуса имеют вид:

$\displaystyle \arcsin 
h=\frac{1}{2}[\arcsin((t+x)\sqrt{1-(t-x)^2}+(t-x)\sqrt{1-(t+x)^2})+
$

$\displaystyle j\arcsin((t+x)\sqrt{1-(t-x)^2}-(t-x)\sqrt{1-(t+x)^2})]
$

$\displaystyle \arccos 
h=\frac{1}{2}[\arccos(t^2-x^2-\sqrt{1-(t-x)^2}\sqrt{1-(t+x)^2})+
$

$\displaystyle j\arccos(t^2-x^2+\sqrt{1-(t-x)^2}\sqrt{1-(t+x)^2})].
$

Вещественная и мнимая часть первого выражения представлена на рис. 27.
\includegraphics[width=.2\textwidth]{asin1.eps} \includegraphics[width=.2\textwidth]{asin2.eps}

Рис. 27. Отображение $ h\mapsto \arcsin
h$ (вещественная и мнимая части).

3.7.4.  Тригонометрические функции $ \tan h,$ $ \cot h$ и обратные

Выделяя в функции $ w=\tan h$ вещественную и мнимую часть после элементарных преобразований получаем:

$\displaystyle \tan h=\frac{\sin 2t+ j\sin 2x}{\cos 2t+\cos 2x}.
$

Эта функция отображает квадрат с центром в точке $ (0;0)$ и стороной $ \pi/2$ в область, ограниченную гиперболами, а прямоугольную сетку в исходном квадрате -- в симметричную гиперболическую сетку внутри области (рис. 28).
\includegraphics[width=.2\textwidth]{tan1.eps} \includegraphics[width=.2\textwidth]{tan2.eps}
Рис. 28. Структура отображения $ h\mapsto \tan h.$
\includegraphics[width=.3\textwidth]{tan3.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{tan4.eps}
Рис. 29. 3-мерная структура отображения $ h\mapsto \tan h$ (вещественная и мнимая части).
В целом функция $ h\to \tan h$ бесконечнолистна. Ее листы представляют собой квадраты, получаемые из фундаментального квадрата $ (\pi/2;0),(0;\pi/2),(-\pi/2;0),(0;-\pi/2)$ трансляциями на векторы кратные $ \pi$ по $ t$ и $ x.$ Графики вещественной и мнимой части тангенса двойной переменной в фундаментальном квадрате представлены на рис. 29. Ввиду тождества $ \cot h=-\tan(h-\pi/2),$ аналогично устроена функция $ w=\cot h.$ Функции $ \arctan$ и arccot -- многозначны, их однозначные ветви можно выделить на любом из фундаментальных квадратов. К примеру, функция $ \arctan  h$ имеет следующий явный вид в координатах:

$\displaystyle \arctan 
h=\frac{1}{2}\left\{\arctan\left[\frac{2t}{1-t^2+x^2}\right]+j\arctan\left[\frac{2x}{1+t^2-x^2}\right]\right\}.
$

Графики вещественной и мнимой части этого отображения представлены на рис. 30.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{atan1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{atan2.eps}

Рис. 30. Структура отображения $ h\mapsto \arctan h$ (вещественная и мнимая части).

3.7.5.  Гиперболические функции $ \sinh h,$ $ \cosh h,$ $ \tanh h,$ $ \coth h$ и обратные к ним

Выделяя по аналогии с эллиптическим синусом в функции $ w=\sinh h$ вещественную и мнимую часть, приходим к выражению:

$\displaystyle \sinh h=\sinh t\cosh x+j\sinh x\cosh t.
$

Наглядный 3-мерный вид этого отображения представлен на рис. 31.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{sh1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{sh2.eps}

Рис. 31. 3-мерная структура отображения $ h\mapsto \sinh h$ (вещественная и мнимая части).

Нетрудно видеть, что прямоугольная координатная сетка $ (t,x)$ отображается в гиперболическую сетку на плоскости образов $ w$ (рис. 32).
\includegraphics[width=.3\textwidth]{sinh1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{sinh2.eps}

Рис. 32. Структура отображения $ h\mapsto
\sinh h.$

Отображение $ h\mapsto \sinh h$ -- взаимно-однозначно, поэтому обратное отображение Arsinh определено на всей двойной плоскости. Его явный координатный вид дается формулой:

   Arsinh$\displaystyle  
h=\frac{1}{2}\left(\text{Arsh}[(t+x)\sqrt{1+(t-x)^2}+(t-x)\sqrt{1+(t+x)^2}]+\right.
$

$\displaystyle \left. j\text{Arsinh}[(t+x)\sqrt{1+(t-x)^2}-(t-x)\sqrt{1+(t+x)^2}]\right),
$

а вид вещественной и мнимой части этого отображения представлен на рис. 33.
\includegraphics[width=.3\textwidth]{ash1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{ash2.eps}

Рис. 33. Структура отображения $ h\mapsto$   Arsinh$   h$ (вещественная и мнимая части).

Ввиду двулистности гиперболического косинуса отображение

$\displaystyle \cosh h=\cosh t\cosh x-j\sinh t\sinh x
$

устроено иначе. Его наглядный 3-мерный вид представлен на рис. 34
\includegraphics[width=.3\textwidth]{ch1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{ch2.eps}

Рис. 34. 3-мерная структура отображения $ h\mapsto \cosh h$ (вещественная и мнимая части).

Первый клин с вершиной в нуле отображение $ \cos h$ биективно отображает в первый клин с вершиной в точке $ 1.$ При этом декартова сетка переходит в сетку ортогональных гипербол. В этот же клин переходят и остальные клинья с вершиной в точке 0 (рис. 35).
\includegraphics[width=.3\textwidth]{cosh1.eps} \includegraphics[width=.3\textwidth]{cosh2.eps}

Рис. 35. Структура отображения $ h\mapsto
\cosh h.$

В целом глобальная структура отображения $ \cosh h$ иллюстрируется рисунком 20, в котором заштрихованный клин сдвинут на единицу вправо. Таким образом, гиперболический косинус -- 4-листная функция, а гиперболический арккосинус -- 4-значная с римановой поверхностью, представленной на рис. 23. его явное координатное представление дается формулой:

   Arcosh$\displaystyle  
h=\frac{1}{2}($Arcosh$\displaystyle [t^2-x^2-\sqrt{(t+x)^2-1}\sqrt{(t-x)^2-1}]+
$

$\displaystyle j$Arcosh$\displaystyle [t^2-x^2+\sqrt{(t+x)^2-1}\sqrt{(t-x)^2-1}]),
$

а наглядный вид представлен на рис. 36.