• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение


• 2. Алгебра $\mathbb{C}$ и некоторые ее приложения
• 2.1. Алгебра $\mathbb{C}$
• 2.2. Геометрия $\mathbb{C}$
• 2.3. Дробно-линейные преобразования
• 2.4. Стереографическая проекция
• 2.5. Спиноры над $\mathbb{C}$
• 2.6. Голоморфные отображения $\mathbb{C}\to \mathbb{C}.$
• 2.7. Аналитический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций
• 2.8. Топологический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций.
• 2.9. Геометрический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.10. Физический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.11. Фрактальный аспект отображений $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений


• 3. Алгебра и геометрия двойных чисел $H$


• 4. Элементарные функции на $H$
• 4.1. Степенные функции $F(h)=h^n,\n\in \mathbb{Z}.$
• 4.2. Экспонента двойной переменной $w=e^h$
• 4.3. Тригонометрические функции $\sin h,$ $\cos h$ и обратные к ним
• 4.4. Тригонометрические функции $\tan h$ , $\cot h$ и обратные к ним
• 4.5. Гиперболические функции $\sinh h$ , $\cosh h$ , $\tanh h$ , $\coth h$ и обратные к ним


• 5. Изотропный базис и аналитическое продолжение


• 6. Компактификация $H$


• 7. Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на $H$


• 8. Гиперболические спиноры $\mathfrak{S}(H)$


• 9. $h$ - голоморфные функции двойной переменной
• 9.1. Гиперболические условия Коши-Римана
• 9.2. $h$ -гармонические функции
• 9.3. Конформное свойство


• 10. Теорема и формула Коши


• 11. "Фракталы" на двойных числах


• 12. Теория гиперболического потенциала на $H$
• 12.1. Поле гиперболического точечного источника
• 12.2. $h$ -дуальная интерпретация
• 12.3. $h$ -вихреисточник
• 12.4. Гиперболический цилиндр в постоянном поле
• 12.5. $h$ -мультиполя


• 13. 2-мерная СТО
• 13.1. 2-мерное пространство-время и векторные операции в нем
• 13.2. Алгебра изометрий
• 13.3. Коалгебра $H^\ast$
• 13.4. Системы отсчета на $\mathcal {M}_2$


• 14. Конформная теория относительности
• 14.1. Конформный сдвиг частоты


• 15. Алгебраическая теория пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперлэнде)
• 15.1. Общая идея
• 15.2. Вариационный принцип и уравнения поля
• 15.3. Первый интеграл и его следствия
• 15.4. Тензор энергии-импульса и характеристики источников
• 15.5. Супервариационный принцип для фундаментальных теорий
• 15.6. Пример 2: суперэкстремум в теории $h$ -поля
• 15.7. Статический Гиперлэнд


• 16. Что дальше?


• 17. Заключение
• 17.1. Комплексные или двойные числа?
• 17.2. КТО и физика Гиперлэнда


• Литература

12.  Теория гиперболического потенциала на $H$

В этом разделе мы опишем теорию гиперболического потенциала ($h$ -поля), которая строится аналогично теории комплексного потенциала и опирается на перечисленные выше аналитические и геометрические свойства $h$ -голоморфных функций. Картины полей, которые получаются в этом случае, имеют пространственно-временную природу. Надлежащая физическая интерпретация этой картины приводит к необходимости расширения специальной теории относительности: в разделе 14 мы опишем его подробно (мы будем называть его конформной теорией относительности). А пока займемся изучением формальных свойств гиперболических полей простых источников. Как и в комплексном случае будем ассоциировать вещественную часть $U$ этой функции c потенциалом поля ($h$ -потенциальная функция), а мнимую часть $V$ c функцией тока этого поля¹⁷. Другими словами, как и в комплексном случае, линии $U=$const являются эквипотенциальными линиями $h$ -поля, а линии $V=$const совпадают с линиями тока этого поля. Эти семейства линий взаимно-ортогональны¹⁸:

$$\triangledown U\star\triangledown V=U_{,t}V_{,t}-U_{,x}V_{,x}=U_{,t}U_{,x}-U_{,x}U_{,t}=0$$ (125)

(здесь $\star$ -- скалярное произведение в 2-мерной метрике Минковского $\Xi$ ) и каждая из функций $U$ и $V$ удовлетворяет волновому уравнению (103) в силу гиперболических условий Коши-Римана. Определим напряженность $\mathfrak{u}$ $h$ -поля по формуле:

$$\mathfrak{u}=\mathfrak{u}_t+j\mathfrak{u}_x=-\overline{\frac{dF}{dh}}=-\frac{d\bar F}{d\bar h}=-U_{,t}+jU_{,x},$$ (126)

которую можно рассматривать как гиперболическую форму представления для векторного поля градиента функции $U$ относительно псевдоевклидовой метрики. Формула (126) получается с учетом соотношений (96) и условий Коши-Римана (100). В силу соотношения $\mathfrak{u}=\mathfrak{u}(\bar h)$ (антиголоморфность напряженности), вытекающего из определения (126), с учетом (96) приходим к следующему тождеству:

$$\frac{\partial \mathfrak{u}}{\partial h}=\frac{1}{2}[\mathfrak{u}... ...}_{x,x}+j(\mathfrak{u}_{t,x}+\mathfrak{u}_{x,t})]=0, \vrule depth 15pt width0pt$$ (127)

которое эквивалентно двум тождествам:

$$\mathfrak{u}\equiv \mathfrak{u}_{t,t}+\mathfrak{u}_{x,x}=0; \mathfrak{u}\equiv \mathfrak{u}_{t,x}+\mathfrak{u}_{x,t}=0,$$ (128)

выражающим соответственно $h$ -соленоидальность и $h$ -потенциальность гиперболического поля¹⁹. Отметим, что условие $h$ -потенциальности вытекает из коммутативности вторых частных производных гладкой скалярной функции, а условие соленоидальности эквивалентно волновому уравнению $\Box U=0,$ которое выполняется автоматически, если потенциал $U$ является вещественной частью некоторой $h$ -голоморфной функции. Рассмотрим теперь интеграл

$$\Omega[\mathfrak{u},\gamma]=\int\limits_{\gamma}\mathfrak{u} d\bar h=\int\limits_{\gamma}\mathfrak{u}_{t} dt-\mathfrak{u}_{x} dx+$$

$$+j\int\limits_{\gamma}\mathfrak{u}_{x} dt-\mathfrak{u}_{t} dx=\Upsilon[\mathfrak{u},\gamma]-j\Phi[\mathfrak{u},\gamma]$$ (129)

по некоторому пути $\gamma.$ Его вещественную часть $\Upsilon[\mathfrak{u},\gamma]$ назовем циркуляцией поля $\mathfrak{u}$ вдоль пути $\gamma$ , а величину $\Phi[\mathfrak{u},\gamma],$ противоположную мнимой части, назовем потоком поля $\mathfrak{u}$ через кривую $\gamma$ . С учетом определения (126) и гиперболических условий Коши-Римана для этих величин получаются следующие выражения через приращения компонент комплексного потенциала:

$$\Upsilon[\mathfrak{u},\gamma]=-\delta_\gamma U;\quad \Xi[\mathfrak{u},\gamma]=-\delta_\gamma V,$$ (130)

которые можно рассматривать как иллюстрирующие физический смысл компонент комплексного $h$ -потенциала $F(h).$

12.1.  Поле гиперболического точечного источника

Рассмотрим $h$ -потенциал вида

$$F(h)=-q\ln h,$$ (131)

который является очевидным гиперболическим вариантом кулоновского потенциала (49). Напряженность поля, которая ему соответствует, вычисляется по формуле (126) и имеет вид:

$$\mathfrak{u}=\frac{q}{\bar h}=\frac{qh}{\vert h\vert^2}=q\left(\frac{t}{t^2-x^2}+j\frac{x}{t^2-x^2}\right).$$ (132)

Любопытным новым обстоятельством является разница в областях определения формулы (131) и (132): первая задает $h$ -потенциал лишь в первом клине, в то время как вторая корректно определена во всех 4-х клиньях двойной плоскости. Алгебраическое объяснение этого обстоятельства заключается в том, что логарифм от двойного числа, взятого из 2,3 или 4 клиньев можно формально представить в виде $\ln h+\ln J,$ где $h$ -- некоторое двойное число из первого клина, $J$ -- один из знаковых множителей, определенных в (64). При этом $\ln J$ -- это некоторая алгебраическая константа²⁰, которая при дифференцировании "стирается" из конечного выражения (132). Силовые линии гиперболического точечного источника -- это радиальные прямые с $\psi=$const$,$ а эквипотенциальные линии -- гиперболы $\varrho=$const$.$ Картина силовых линий во всех 4-х клиньях представлена на рисунке 27.

Рис. 27. Схематическая картина силовых линий гиперболического точечного источника. Поле постоянно по абсолютной величине на гиперболических окружностях (евклидовых гиперболах). На конусе Con$(0)$ поле имеет особоенность, а в соседних клиньях меняет свой характер (источник или сток).

По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока выражения:

$$\Upsilon[\mathfrak{u},\mathcal{C}]=0;\quad \Phi[\mathfrak{u},\mathcal{C}]=\pi_Hq$$ (133)

для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (133) выражают гиперболическую потенциальность и гиперболическую теорему Гаусса для поля $\mathfrak{u}.$

12.2.  $h$ -дуальная интерпретация

Дуальная интерпретация точечного гиперболического источника получается переходом от потенциала $F(h)$ в (131) к потенциалу $jF(h).$ При этом для нового дуального поля $\mathfrak{b}$ получается выражение:

$$\mathfrak{b}=j\frac{d\bar F}{d\bar h}=-\frac{qj}{\bar h}=-q\frac{x+jt}{t^2-x^2}.$$ (134)

Поле $\mathfrak{b}$ является гиперболическим аналогом точечного вихря. Его силовые линии -- гиперболы -- показаны на рисунке 28.

Рис. 28. Силовые линии точечного вихря. Ориентация линий -- общая для всех 4-х клиньев (против часовой стрелки).

Как и в комплексном случае векторное поле $\mathfrak{b}$ оказывается ортогональным полю $\mathfrak{u}$ по отношению к псевдоевклидовой метрики. По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока поля $\mathcal{B}$ выражения:

$$\Phi[\mathcal{B},\mathcal{C}]=0;\quad \Upsilon[\mathcal{B},\mathcal{C}]=\pi_Hq.$$ (135)

для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (135) выражают гиперболическую соленоидальность и гиперболический аналог закона полного тока для поля $\mathfrak{u}.$

12.3.  $h$ -вихреисточник

По аналогии с комплексным случаем можно объединить две предыдущие ситуации в одну, вводя в рассмотрение концепцию гиперболического вихреисточника с комплексным зарядом $\mathcal{Q}=q-jm.$ Потенциал принимает вид:

$$F(z)=-\mathcal{Q}\ln h=-q\ln\varrho+m\psi-j(-m\ln\varrho+q\psi).$$ (136)

Такой потенциал наиболее естественно интерпретировать в рамках дуально-симметричной гиперболической теории поля, в которой гиперболические электрические и магнитные заряды и токи присутствуют на "равных правах". Уравнение для силовых линий такого поля получается из (136) приравниванием мнимой части константе:

$$m\ln\varrho+q\psi=C \Leftrightarrow (t^2-x^2)e^{-(2q/m)\text{Arcth}(x/t)}=C,$$ (137)

или после некоторых простых преобразований:

$$(t+x)^{1-\alpha}(t-x)^{1+\alpha}= ,$$ (138)

где $\alpha=q/m.$ Картина силовых линий для $\alpha=-2$ показана на рис. 29

Рис. 29. Силовые линии точечного вихреисточника (семейство спиралей Архимеда) для $q/m=-2.$ Линии исходят из центра во втором и четвертом координатных клиньях, и сходятся к центру в первом и третьем клиньях.

По формулам (130) получаем для гиперболических циркуляции и потока дуально-симметричного поля $\mathfrak{u}$ выражения:

$$\Upsilon[\mathcal{B},\mathcal{C}]=-\pi_Hm;\quad \Phi[\mathcal{B},\mathcal{C}]=\pi_Hq$$ (139)

для контура, представленного на рис. 25 или гомотопных ему. Формулы (139) выражают гиперболическую теорему Гаусса и гиперболический аналог закона полного тока для дуально-симметричного поля $\mathfrak{u}.$

12.4.  Гиперболический цилиндр в постоянном поле

Рассмотрим гиперболический аналог проводящего цилиндра в постоянном поле $\mathfrak{u}_0.$ Эта задача описывается потенциалом

$$F(h)=-2\mathfrak{u}_0RZ(h/R)=-\mathfrak{u}_0(h+R^2/h),$$ (140)

где $R$ -- постоянный гиперболический радиус цилиндра. Напряженность поля в окрестности такого цилиндра будет даваться формулой:

$$\mathfrak{u}=\mathfrak{u}_0-\frac{\mathfrak{u}_0R^2}{\bar h^2}=\m... ...hfrak{u}_0R^2\left(\frac{t^2+x^2}{(t^2-x^2)^2}-j\frac{2tx}{(t^2-x^2)^2}\right).$$ (141)

Линии напряженности поля $\mathfrak{u},$ которые можно получить из силовой функции в (140), представлены на рисунке 30.

Рис. 30. Силовые линии в окрестности гиперболического цилиндра (две крайних гиперболы слева и справа) радиуса $R=1$ , помещенного в однородное силовое поле $\mathfrak{u}_0=1$ .

12.5.  $h$ -мультиполя

По аналогии с комплексным случаем определим с помощью индуктивной формулы

$$F_n(h)=\frac{\mathcal{Q}^{(n)}}{\mathcal{Q}^{(n-1)}}\frac{dF_{n-1... ...\epsilon_Q\frac{\vert\mathcal{Q}^{(n)}\vert e^{-j(n\psi-\delta_n)}}{\varrho^n},$$ (142)

потенциал точечного гиперболического $2(n-1)$ -мультиполя с мощностью $\mathcal{Q}^{(n)}.$ Здесь $\vert\mathcal{Q}^{(n)}\vert=\sqrt{\vert(\mathcal{Q}^{(n)}_e)^2-(\mathcal{Q}^{(n)}_m)^2\vert},$ $\delta_n=$Arth${\mathcal{Q}^{(n)}_m/\mathcal{Q}^{(n)}_e},$ $\epsilon$ и $\epsilon_Q$ -- знаковые множители для $h$ и комплексного заряда $\mathcal{Q}$ соответственно. Уравнение для силовых линий имеет в полярных координатах вид.

$$\varrho=C\sqrt[n]{\sinh(n\psi-\delta_n)}$$ (143)

Вид силовых линий для $n=2,3$ показан на рисунке 31.

Рис. 31. Силовые линии гиперболического $h$ -поля в окрестности точечного гиперболического диполя и квадруполя с единичной мощностью, ориентированного вдоль вещественной оси.

След.: 13.  2-мерная СТО Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 11.  "Фракталы" на двойных