- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
9.
- голоморфные функции двойной переменной
Перейдем к определению класса голоморфных функций
Hol
Свойство обычной дифференцируемости функции двух переменных в некоторой точке,
записанное в терминах пары независимых двойных переменных
и
, имеет вид:
или в изотропном базисе:
Здесь мы определяем где символ -малое в последнем выражении справа имеет смысл, общепринятый в вещественном анализе. Определим класс Hol -голоморфных (в точке) функций условием в (93). При этом мы приходим к следующему выражению для приращения функции голоморфной функции:
С учетом доопределения операции деления с помощью (81), мы можем записать условие -голоморфности в точке с помощью формальной частной производной: где
При этом частная производная в (95) понимается как предел: где -- норма прямой суммы 1-мерных вещественных евклидовых норм. Функцию , голоморфную в каждой точке некоторой открытой области будем называть голоморфной в области и отмечать этот факт так: Hol С учетом (96) производную (95) можно расписать в компонентах следующим образом: откуда приходим к следующему общему виду -голоморфной функции двойной переменной в изотропном базисе: где -- дифференцируемые функции вещественной переменной. Таким образом, мы приходим к заключению, что класс -голоморфных функций устроен как декартов квадрат вещественно-дифференцируемых функций одной переменной:
Hol
Это обстоятельство означает, что голоморфные функции двойной переменной устроены проще, чем голоморфные функции комплексной переменной. В частности, на двойной плоскости нет тождества голоморфности и аналитичности13. Тем не менее, далее мы увидим, что значительная часть свойств комплексных голоморфных функций формально воспроизводится и их -голоморфными аналогами. Перейдем к установлению этих свойств.
9.1. Гиперболические условия Коши-Римана
Уравнение (98) по существу представляет гиперболические условия Коши-Римана в изотропном базисе. Переходя к стандартному базису с учетом (96) получаем для функции :
-- гиперболические условия Коши-Римана, выражающие свойство -дифференцируемости в базисе Они отличаются знаком от стандартных условий Коши-Римана на
9.2. -гармонические функции
Применяя оператор к уравнению комплексной дифференцируемости, получаем дифференциальное следствие которому удовлетворяет всякая -голоморфная функция. Из (96) следует, что оператор вещественный, и что он с точностью до числового множителя совпадает с 2-мерным волновым оператором (который можно было бы назвать "гиперболическим лапласианом"): Отсюда, в свою очередь, следует, что компоненты -голоморфной функции в любом базисе удовлетворяют волновому уравнению: Множество мы будем называть -гармоническими функциями, а -гармонические функции и являющиеся компонентами некоторой -голоморфной функции естественно называть сопряженными -гармоническими функциями. Рассмотрим произвольную -гармоническую функцию в переменных в которых По известной теореме математической физики ее всегда можно представить как сумму произвольных дважды дифференцируемых функций опережающего и запаздывающего аргументов:
Условия (100) приводят к системе дифференциальных уравнений на -гармонически сопряженную функцию в базисе : Условия интегрируемости этой системы уравнений: выполняются тождественно, а сама система интегрируется непосредственно. Результат -- функция -гармонически сопряженная к -- имеет вид: откуда приходим к заключению, что в базисе14 всякая -гармоническая функция определяет свою -гармонически сопряженную с точностью до константы.
9.3. Конформное свойство
Всякую -голоморфную функцию можно рассматривать как отображение (деформацию) Ввиду соотношений: в изотропном базисе мы имеем: -- конформный закон преобразования метрики. Из него непосредственно следует сохранение гиперболических углов между любой парой направлений в точке в которой а также сохранение изотропных направлений, вдоль которых Следствием последнего обстоятельства является сохранение конформной структуры : для всех и Hol Свойство (107) мы уже неоднократно наблюдали на рассмотренных ранее конкретных примерах.След.: 10. Теорема и формула Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 8. Гиперболические спиноры