- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
5. Изотропный базис и аналитическое продолжение
Замечательной отличительной особенностью алгебры двойных чисел,
которая отстутствует в алгебре комплексных чисел, является наличие в
первой специального алгебраического базиса
(точнее класса базисов), в
котором все алгебраические, геометрические и аналитические аспекты
двойных чисел и связанных с ними конструкций, выявляются в
максимально простом виде. Далее мы будем называть его по некоторой сложившейся исторической традиции изотропным. Этот базис непосредственно связан с
образующими делителей нуля:
где
-- представление двойного числа в изотропном
базисе.
Упомянутая выше выделенная роль изотропного базиса обусловлена очень простой таблицей умножения двойных чисел и правила комплексного сопряжения в
нем:
(72) |
(73) |
(75) |
Утверждение 1 Любая вещественно аналитическая на функция одной переменной допускает аналитическое продолжение на
Доказательство заключается в следующей простой выкладке, приводящей к явному выражению для искомого аналитического продолжения:
(76) |
Отметим, что это утверждение включает в себя все разобранные в разделе 4 аналитические продолжения элементарных функций. Рассмотрим теперь некоторое обобщение этой ситуации.
Утверждение 2 Имеет место биекция между множеством и множеством
Доказательство сводится к простой выкладке:
(77) |
Утверждение 3 Имеет место биекция между множеством и множеством
Доказательство сводится к выкладке с двойными рядами:
(78) |
Другими словами, алгебра двойных чисел позволяет объединить пару независимых вещественно-аналитических функций двух вещественных переменных в одну -аналитическую функцию пары сопряженных переменных и Рассмотрим, наконец, вариант аналитического продолжения с подмножества -- гладкой регулярной кривой
Утверждение 4 Всякая
-аналитическая функция
заданная на кривой
однозначно аналитически продолжается на прямоугольник
где
-- проекции на оси изотропной системы
координат.
Явное выражение для искомого аналитического продолжения
дается
формулой:
где -- параметризация кривой Прямоугольные области, возникающие в во всех сформулированных утверждениях типичны для аналитических функций двойной переменной: они играют роль максимальных областей аналитического продолжения функций двойной переменной (гиперболический аналог областей Рейнхарта в многомерном комплексном анализе [21]).
След.: 6. Компактификация Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 4. Элементарные функции на