- Региональный научно-образовательный центр
- ЛОГОС
- некоммерческое партнерство
14. Конформная теория относительности
Расширим теперь группу Пуанкаре P(1,1), действующую на двумерном
пространстве-времени
до группы произвольных
-голоморфных преобразований, которые действуют на точки-события
пространства-времени как на элементы алгебры
Ввиду нелинейности таких преобразований, глобальная аффинная
структура
в общем случае не сохраняется и
необходимо переходить к локальной версии отображения
-- его дифференциалу. На алгебраическом языке дифференциал
отображения
осуществляет отображение касательных пространств
по формуле:
где
Используя экспоненциальное
представление для производной
:
приходим к заключению о том, что локально
-голоморфные
преобразования осуществляют:
- преобразования Лоренца, зависящие от точки (поворот на гиперболический угол );
- отражения осей времени и пространственной координаты (параметр );
- растяжение длин векторов (скалярный множитель ).
Таким образом, можно сказать что время и длина в рассматриваемой нами конформной теории относительности (КТО) "потенциальны": промежутки времени и длины между парой событий не зависят от выбора пути, который их соединяет (но, конечно, зависят от выбора обобщенной системы отсчета). Линии const естественно считать множествами одновременных событий, а линии const -- множествами одноместных событий в системе отсчета, ассоциированной с При этом с первым семейством линий можно связать семейство криволинейных пространственных осей обобщенной системы отсчета, а со вторым -- семейство ее линий времени. Сравнивая формулы (171) с (130) из раздела 12.1, приходим к еще одной интерпретации промежутков времени и длины: промежуток времени между парой событий и представляет собой циркуляцию поля вдоль любой кривой, соединяющей и а пространственная длина -- его поток (для поля все наоборот). Физико-геометрический смысл величины можно прояснить, если в качестве кривой в (169) рассмотреть интегральную кривую одного из полей или Прежде всего докажем одно любопытное свойство таких кривых, вытекающее из потенциальности пространственно-временных промежутков. Составим уравнения интегральных кривых, к примеру, поля : где -- параметр на искомой кривой. Вычислим смешанные производные из первого и второго уравнения в (172) независимо. Имеем для первого уравнения
Аналогично для второго уравнения
Приравнивая полученные выражения получаем после простых преобразований откуда следует -- натуральность параметра (с точностью до константы -- в дальнейшем мы везде полагаем ). Аналогичный результат получается и для интегральных кривых градиента Пусть теперь -- отрезок интегральной кривой поля а -- отрезок интегральной кривой поля С учетом доказанного свойства имеем Подставляя это в (169), получаем: Таким образом величина выступает как множитель, связывающий в каждой точке геометрическую длину элемента соответствующей линии системы отсчета с отнесенными к нему промежутку времени и пространственной длине. В СТО для преобразований Лоренца имеем
14.1. Конформный сдвиг частоты
Проанализируем с позиций излагаемой конформной теории относительности процедуру сравнения хода пространственно разделенных часов. Пусть и -- мировые линии двух часов, которые рассматриваются в 2-мерном пространстве времени в некоторой конформной калибровке, задаваемой -голоморфным потенциалом (рис. 32).
|
Рис. 32. К процедуре сравнения хода часов в -голоморфной теории относительности. |
Рассмотрим пару близких точек на интегральной кривой : точку и точку где -- натуральный параметр на кривой Переходя к линеаризованным выражениям, получаем: где точка означает дифферецирование по параметру С учетом правил (169), хроноинтервал, приходящийся на рассматриваемый отрезок мировой линии можно вычислить по формуле: Линии конусов прошлого Con и Con высекают на мировой линии пару точек и соответственно. Условие принадлежности пары точек одной компоненте конуса приводит к соотношению определяющему связь параметров (натуральный параметр на мировой линии ) и при которых часы оказываются связаны световым сигналом. Для часов имеем аналогично формуле (178): Дифференцируя соотношение (179), приходим к связи длин отрезков мировых линий часов: Теперь из (178) и (180) с учетом (181) получаем: где Формулы (182)-(183) описывают принципиально наблюдаемый эффект конформной деформации собственного времени, измеряемый путем обмена световыми сигналами между двумя пространственно разделенными часами. Величина показывает скорость хода часов в точке в единицах собственного времени часов в точке расположенной на конусе будущего точки в конформной калибровке В качестве примера рассмотрим эффект конформной деформации времени, индуцированной слабой конформной волной вида: Полагая получаем для в компонентах: где Рассмотрим пару покоящихся на расстоянии друг от друга часов26. Такие часы описываются компонентами 2-скорости: Формулы (182)-(183) приводят к простому выражению эффекта конформной деформации времени (координаты -- произвольные текущие координаты опорных часов): Элементарные вычисления приводят к выражению: где Подставляя (188)-(189) в формулу (187) и используя условие малости конформной деформации, после элементарных тригонометрических преобразований получаем следующее выражение для относительного хода часов: Формула (190) показывает, что в конформной теории относительности относительная скорость хода часов испытывает пространственно-временную модуляцию, которая в принципиальном отношении доступна измерению посредством эксперимента. В реальном эксперименте удобнее измерять не скорость хода часов, а сдвиг частоты двух идентичных точечных электромагнитных излучателей. Формула для относительного сдвига частоты в этом случае: получается очевидным образом из формулы (190). Идея обсуждаемого здесь эксперимента, связанного с эффектом конформной деформации темпа хода часов, легла в основу реальных экспериментов с кварцевыми генераторами, организованных и проведенных сотрудниками НИИ ГСГФ [33]. Анализ усредненных разностных спектров, приводит к обнадеживающему предварительному выводу о том, что сильно нестационарный локализованный в пространстве и времени процесс (в реальных экспериментах исследовался удар тяжелой стальной болванки о стальное основание) может приводить к эффекту конформной деформациии пространства времени в пространственно-временной окрестности этого процесса.
След.: 15. Алгебраическая теория пространства-времени-материи Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 13. 2-мерная СТО