вход

Оглавление



2.  Алгебра $ \mathbb{C}$ и некоторые ее приложения

В этом разделе мы сделаем краткий обзор (весьма фрагментарный) понятий и методов, связанных с алгеброй комплексных чисел. В дальнейшем, при обсуждении свойств алгебры двойных чисел, мы будем обращать внимание на аналогичные понятия и методы, связанные с этой алгеброй.

2.1.  Алгебра $ \mathbb{C}$

Алгебру комплексных чисел можно рассматривать как 2-мерную ассоциативно-коммутативную алгебру над $ R$ :

$\displaystyle \mathbb{C}=\{z=x+iy \vert i^2=-1, x,y\in \mathbb{R}\}.$ (3)
Фундаментальное свойство алгебры $ \mathbb{C}$ выражается следующим утверждением: $ \mathbb{C}$ является алгебраически-замкнутым числовым полем. Другими словами в алгебре $ \mathbb{C}$ определено деление на ненулевые элементы и любое алгебраическое уравнение вида $ P_n(z)=0$ ($ P_n$ -- полином $ n$ -ого порядка с комплексными коэффициентами) всегда имеет корни (точнее, ровно $ n$ корней, если учитывать их кратность (основная теорема алгебры)).

2.2.  Геометрия $ \mathbb{C}$

Комплексное число $ z=x+iy$ можно интерпретировать как точку или радиус-вектор на $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x=$Re$ z$ и $ y=$Im$ z.$ При этом сумма и разность комплексных чисел на $ \mathbb{R}^2$ геометрически изображается известным правилом параллелограмма для векторов. Для геометрической интерпретации произведения комплексных чисел удобно ввести полярную (или тригонометрическую) форму представления комплексного числа:

$\displaystyle z=x+iy=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi),$ (4)
где $ \rho\equiv\sqrt{x^2+y^2}\equiv\vert z\vert$ -- модуль комплексного числа $ z,$ $ \varphi=\arg z$ -- его аргумент, определенный с точностью до $ 2\pi k,$ $ k\in\mathbb{Z}.$ Нетрудно проверить, что $ \vert z_1z_2\vert=\vert z_1\vert\vert z_2\vert,$ $ \arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2 $   mod$ 2\pi.$ Комплексной версией отражений относительно прямой является инволютивная операция комплексного сопряжения: $ z=x+iy\mapsto \bar z=x-iy.$ Геометрически эта операция описывает отражение комплексной плоскости относительно оси Im$ z=0.$ Пару $ \{z,\bar z\}$ можно рассматривать как независимые комплексные координаты на плоскости, которые связаны с декартовыми координатами посредством очевидных формул

$\displaystyle x=\frac{z+\bar z}{2};\quad y=\frac{z-\bar z}{2i}.$ (5)
Геометрические свойства комплексной плоскости можно вывести из рассмотрения следующей эрмитовой формы:

$\displaystyle \beta=dz_1\otimes d\bar z_2=\eta-i\omega.$ (6)
Ее вещественная часть

$\displaystyle \eta\equiv$   Re$\displaystyle \beta=dx_1\otimes dx_2+dy_1\otimes dy_2$ (7)
определяет евклидову метрику, а мнимая часть

$\displaystyle \omega=-$Im$\displaystyle \beta=dx_1\otimes dy_2-dy_1\otimes dx_2$ (8)
-- 2-мерную симплектическую метрику. Комплексные числа представляют собой удивительно простой, компактный и содержательный язык для исследования различных геометрических фактов, связанных с этими метриками [13].

2.3.  Дробно-линейные преобразования

Одним из эффективных инструментов для решения задач евклидовой геометрии и для построения моделей неевклидовых геометрий является семейство дробно-линейных преобразований PL$ (2,\mathbb{C})$ :

$\displaystyle z\mapsto z'=D(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad D\in$   PL$\displaystyle (2,\mathbb{C}),\quad a,b,c,d\in\mathbb{C}.$ (9)
Если исключить вырожденные (постоянные) дробно-линейные преобразования, то семейство $ PL(2,\mathbb{C})$ становится группой по композиции, изоморфной группе матриц SL$ (2,\mathbb{C})$ :

$\displaystyle M(D)=\left( \begin{array}{cc} a&b c&d \end{array} \right),\quad M(D_1)\cdot M(D_2^{-1})=M(D_1\circ D_2^{-1}).$ (10)
Фундаментальным инвариантом группы PL$ (2,\mathbb{C})$ является двойное отношение 4-х точек:

$\displaystyle \{z_1,z_2;z_3,z_4\}\equiv\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\cdot \frac{z_2-z_4}{z_2-z_3}.$ (11)
Следующие утверждения образуют основу для приложений группы PL$ (2,\mathbb{C})$ к задачам евклидовой геометрии плоскости:
  1. Двойное отношение вещественно тогда и только тогда, когда четыре точки $ z_1,z_2,z_3,z_4$ лежат на одной окружности3.
  2. Группа PL$ (2,\mathbb{C})$ действует транзитивно на семействе окружностей.
  3. Для всякой окружности $ C\in \mathbb{R}^2$ группа PL$ (2,\mathbb{C})$ сохраняет отношение сопряженности точек относительно $ C$ :

    $\displaystyle z_1\stackrel{C}{\sim}z_2\Leftrightarrow D(z_1)\stackrel{D(C)}{\sim}D(z_2).$ (12)
Напомним, что пара точек $ A,B$ на плоскости называется сопряженной, относительно некоторой окружности, если эти точки лежат на одном луче, проведенном из центра $ O$ этой окружности, и расстояния $ OA$ и $ OB$ удовлетворяют равенству $ OA\cdot OB=R^2,$ где $ R$ -- радиус окружности.

2.4.  Стереографическая проекция

Своеобразным "мостиком", между $ \mathbb{R}^2$ и $ \mathbb{R}^3$ является взаимно-однозначное соответствие между точками сферы и точками расширенной комплексной плоскости $ \bar{\mathbb{C}}=\mathbb{C}+\{\infty\}.$ Такое соответствие проще всего устанавливается с помощью хорошо известной стереографической проекции [21] стандартной единичной сферы (сфера Римана) $ S^2$ : $ x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ на $ \mathbb{C}$ :

$\displaystyle \Pi_+:\quad x_1=\frac{2x}{1+\vert z\vert^2};\quad x_2=\frac{2y}{1+\vert z\vert^2};\quad x_3=\frac{\vert z\vert^2-1}{1+\vert z\vert^2}.$ (13)
Это отображение конформно:

$\displaystyle \Pi_+^\ast({}^{3}\eta)=\frac{4}{1+\vert z\vert^2}\eta,$ (14)
( $ {}^{3}\eta$ -- евклидова метрика объемлющего $ \mathbb{R}^3,$ $ \Pi_+^\ast$ -- кодифференциал отображения $ \Pi_+$ ), сохраняет окружности и дает возможность компактной интерпретации многих геометрических и топологических фактов на $ \mathbb{C}$ (например, некоторые расходящиеся последовательности точек на $ \mathbb{C}$ становятся сходящимися на сфере Римана $ S^2\simeq \bar{\mathbb{C}}$ ).

2.5.  Спиноры над $ \mathbb{C}$

Сферу Римана можно интерпретировать как пространство направлений изотропных прямых в 4-мерном пространстве-времени Минковского $ \mathcal{M}_{1,3}.$ Эта интерпретация в совокупности с отображением $ \Pi_+$ приводит конструкции спинорных объектов и спинорному описанию геометрии $ \mathcal{M}_{1,3}$ [22]. Пространством спиноров называется линейное 2-мерное комплексное пространство $ \mathfrak{S}(\mathbb{C}),$ оснащенное антисимметричной метрикой:

$\displaystyle \xi,\zeta\in \mathfrak{S}: \langle\xi,\zeta\rangle\equiv\ast(\xi\wedge\zeta).$ (15)
Группой изометрии метрики $ \langle , \rangle$ является 6-параметрическая группа SL$ (2,\mathbb{C}).$ Представление этой группы в пространстве эрмитовых смешанных спиноров $ S(\mathfrak{S}\otimes\bar{\mathfrak{S}})$ действует по правилу:

$\displaystyle S(\mathfrak{S}\otimes\bar{\mathfrak{S}})\ni K\mapsto K'=M\cdot K\cdot M^{\dag },\quad M\in$   SL$\displaystyle (2,\mathbb{C}).$ (16)
Используя представление

\begin{displaymath} K=V^\mu\sigma_\mu=\left( \begin{array}{cc} V^0+V^3& V^1+iV^2... ...\quad \{\sigma_\mu\}=\{1_{2\times2},\overrightarrow{\sigma}\}, \end{displaymath}

где $ \overrightarrow{\sigma}$ -- набор стандартных матриц Паули, мы приходим к двум ключевым инвариантам:

$\displaystyle \det K=(V,V)_{\mathcal{M}_{1,3}}=$inv$\displaystyle \mod$   SL$\displaystyle (2,\mathbb{C});$   Tr$\displaystyle K=2V_0=$inv$\displaystyle \mod$   SU$\displaystyle (2,\mathbb{C}).$ (17)
Диаграмма (18) иллюстрирует отношение спинорных и пространственно-временных групп, лежащее в основе математических и физических приложений спиноров к геометрии пространства-времени Минковского.

$\displaystyle \begin{CD}{SL}(2,\mathbb{C})@»> {SU}(2) @V{2:1}VV @VV{2:1}V {SO}(1,3) @»> {SO}(3) \end{CD}$ (18)
Горизонтальные стрелки на диаграмме обозначают редукцию к подгруппе, а вертикальные -- накрывающие гомоморфизмы. Их двухзначность можно объяснить с различных (и внутренне глубоко связанных) точек зрения. С алгебраической точки зрения эта двузначность является следствием основной теоремы алгебры: в $ \mathbb{C}$ существует ровно два значения $ \sqrt{1}=\pm1.$ Геометрически (или, точнее говоря, топологически) двузначность спинорного представления связана со структурой фундаментальной группы $ \pi_1(SO(3))=\mathbb{Z}_2,$ имеющей два элемента4.

2.6.  Голоморфные отображения $ \mathbb{C}\to \mathbb{C}.$

Напомним, что произвольное гладкое отображение $ f: R^2\to R^2$ плоскости в себя можно представить парой компонент

$\displaystyle (x,y)\mapsto(x',y'):\quad x'=f_1(x,y);\quad y'=f_2(x,y),$ (19)
где $ f_1, f_2$ -- гладкие функции $ R^2 \to R$ . С помощью формул:

$\displaystyle x=\frac{z+\bar z}{2};\quad y=\frac{z-\bar z}{2i},$ (20)
где $ z=x+iy,$ а черта обозначает операцию комплексного сопряжения, эти отображения можно всегда записать в виде

$\displaystyle (z,\bar z)\mapsto(z',\bar z'): z'=F_1(z,\bar z);\quad \bar z'=F_2(z,\bar z).$ (21)
Среди всех гладких отображений рассматриваемого вида, целым рядом замечательных свойств выделяются отображения, называемые голоморфными, которые удовлетворяют условиям:

$\displaystyle F_{,\bar z}=0,$   и$\displaystyle \quad \exists F_{, z},$ (22)
и отображения, называемые антиголоморфными, удовлетворяющие условию:

$\displaystyle F_{,z}=0$   и$\displaystyle \quad \exists F_{, \bar z}.$ (23)
Условия голоморфности или антиголоморфности могут выполняться в точке или в некоторой области на комплексной плоскости5.

2.7.  Аналитический аспект $ \mathbb{C}$ -голоморфных функций

Напомним некоторые основные свойства голоморфных функций. Разделяя в функции $ F$ вещественную и мнимую часть: $ F(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ используя связь операторов дифференцирования по комплексным и вещественным переменным:

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\par... ...rac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right),$ (24)
формально вытекающие из (20) и расписывая условие (22) в декартовых координатах, приходим к соотношению

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}[u_{,x}+iv_{,x}+i(u_{,y}+iv_{,y})]=0,$ (25)
вещественная и мнимая часть которого дает известные условия голоморфности (комплексной аналитичности) Коши-Римана:

$\displaystyle u_{,x}=v_{,y};\quad u_{,y}=-v_{,x}.$ (26)
Аналогично для антиголоморфных функций получаем6 условия антиголоморфности:

$\displaystyle u_{,x}=-v_{,y};\quad u_{,y}=v_{,x}.$ (27)
Действуя на голоморфную или антиголоморфную функцию $ F$ 2-мерным вещественным оператором Лапласа

$\displaystyle \Delta\equiv 4\partial_z\partial_{\bar z}=\partial^2_x+\partial^2_y,$ (28)
приходим к тождествам:

$\displaystyle \Delta u=0;\quad \Delta v=0,$ (29)
выражающим факт гармоничности вещественной и мнимой частей голоморфных или антиголоморфных функций. Отметим, что в силу нашего определения производная от голоморфной функции (факт существования производных любого порядка доказывается в стандартном курсе ТФКП, см. напр. [21]) снова является голоморфной функцией:

$\displaystyle F_{,\bar z}=0\Rightarrow (F_{,z})_{,\bar z}=0\Rightarrow\dots\Rightarrow (F^{(n)}_{,z})_{,\bar z}=0$ (30)
(аналогично и для антиголоморфной с заменой $ z\leftrightarrow \bar z$ ). С этим обстоятельством связана возможность представления голоморфной в окрестности некоторой точки $ z_0$ функции степенным рядом Тейлора:

$\displaystyle F(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k,$ (31)
где комплексные коэффициенты

$\displaystyle c_k=\frac{1}{k!}\left.\frac{d^kF}{dz^k}\right\vert _{z=z_0}.$ (32)
В окрестности точки $ z_0$ , в которой свойство голоморфности нарушается, функция $ F$ иногда может быть представлена более общим рядом Лорана:

$\displaystyle F(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k(z-z_0)^k.$ (33)
В окрестности точек ветвления ряд Лорана должен быть заменен обобщенным рядом Пюизо, содержащим нецелые степени $ z-z_0$ или $ \ln(z-z_0).$


Пример 1. Функция $ F(z)=\ln z$ голоморфна всюду на комплексной плоскости за исключением точек $ z=0$ и $ z=\infty.$ Ее координатное представление дается выражением:

$\displaystyle \ln z=\ln\rho+2\pi ik\varphi=\ln{\sqrt{x^2+y^2}}+2\pi ik\cdot$arg$\displaystyle z,\quad k\in \mathbb{Z}.$ (34)
Особые точки $ z=0$ и $ z=\infty$ -- точки ветвления логарифма.


Пример 2. Рассмотрим функцию $ Z=\frac{1}{2}\left(z+z^{-1}\right),$ называемую функцией Жуковского. Эта функция голоморфна всюду за исключением точек $ z=0$ и $ z=\infty,$ которые являются полюсами 1-ого порядка. Разложение этой функции на вещественную и мнимую часть имеет вид:

$\displaystyle Z=\frac{x(x^2+y^2+1)}{2(x^2+y^2)}+i\frac{y(x^2+y^2-1)}{2(x^2+y^2)}.$ (35)

2.8.  Топологический аспект $ \mathbb{C}$ -голоморфных функций.

Гармонические функции $ u$ и $ v,$ связанные условиями (26), не являются независимыми и определяют друг друга с точностью до констант. Действительно, приписывая функции $ v$ произвольное значение $ v_0$ в точке $ (x_0,y_0),$ ее значение в произвольной точке $ (x,y)$ в силу условий Коши-Римана можно определить через функцию $ u$ посредством следующего интеграла:

$\displaystyle v(x,y)=v_0+\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}u_{,x} dy-u_{,y} dx,$ (36)
который вычисляется по любому пути, соединяющему точки $ (x_0,y_0)$ и $ (x,y)$ и лежащему в области голоморфности функции $ F=u+iv.$ Функции $ u$ и $ v$ называются сопряженными гармоническими функциями. На самом деле, результат интегрирования в (36) может зависеть от выбора пути, соединяющего начальную и конечную точки. В таком случае мы будем иметь дело с многозначной аналитической функцией, которая может иметь конечное или счетное число ветвей. Более точно, на вопрос об однозначности определения сопряженных функций и вообще об однозначности интегралов от голоморфных функций позволяет ответить фундаментальная теорема Коши, которая для голоморфной в односвязной области $ D$ функции выражается равенством

$\displaystyle \oint\limits_{\gamma\subset D}F(z) dz=0,$ (37)
где $ \Gamma$ -- простой кусочно-гладкий замкнутый контур (для антиголоморфной функции следует заменить в этой формулировке $ z$ на $ \bar z$ ). Эта теорема следует из условия голоморфности (22) и равенства:

$\displaystyle \oint\limits_{\gamma}F(z) dz=\int\limits_{\text{Int}(\partial^{-1}\gamma)}F_{,\bar z} d\bar z\wedge dz,$ (38)
выражающего комплексную форму теоремы Пуанкаре-Дарбу об интегрировании дифференциальных форм. Из теоремы Коши непосредственно вытекает следующее равенство:

$\displaystyle \int\limits_{\gamma} F(z) dz=$const$\displaystyle _{[\gamma]},$ (39)
выражающее факт независимости интеграла от пути в классе $ [\gamma]$ путей, гомотопных $ \gamma.$ Из равенства

$\displaystyle \oint\limits_{\gamma_{z_0}}(z-z_0)^m dz =2\pi i\delta_{m,-1},$ (40)
которое справедливо для любого замкнутого контура $ \gamma_{z_0},$ охватывающего точку $ z_0$ и легко проверяется на контуре в форме окружности с центром в $ z_0,$ и теоремы Коши вытекает интегральная формула Коши:

$\displaystyle F(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma_{z_0}}\frac{F(z)}{z-z_0} dz,$ (41)
где $ \gamma_{z_0}$ -- кусочно-гладкий замкнутый контур, ограничивающий область $ D\subset\mathbb{C},$ $ F(z)$ -- произвольная голоморфная в области $ D$ функция, $ z_0\in D.$ Формула (37) допускает обобщение на многосвязные области, а формула (41) допускает обобщение на контуры, содержащие бесконечно-удаленную точку и контуры, проходящие через точку $ z_0$ и даже имеющие там точку излома. Многозначные аналитические функции удобно описывать с помощью их графиков в 4-мерном пространстве $ \mathbb{C}\times \mathbb{C}.$ Они называются римановыми поверхностями соответствующих функций. На своей римановой поверхности аналитическая функция по определению однозначна.

2.9.  Геометрический аспект $ \mathbb{C}$ -голоморфных отображений.

Относительно преобразований, задаваемых голоморфными функциями $ F(z),$ форма $ \eta$ в (7) ведет себя следующим образом:

$\displaystyle \eta\mapsto \eta'=\vert F'(z)\vert^2\eta,$ (42)
где $ F'(z)=dF/dz.$ Формула (42) означает, что функция $ F(z)$ в области своей голоморфности при условии $ F'(z)\neq0$ осуществляет конформное отображение комплексной плоскости на себя, т. е. сохраняет углы. Отметим, что $ \vert F'\vert^2=\vert\nabla u\vert^2=\vert\nabla v\vert^2=\Delta_F,$ где $ \nabla$ -- оператор градиента в евклидовой метрике, а $ \Delta_F$ -- якобиан отображения $ F.$ Как это следует из условий (26) или соображений конформности, линии $ u=$const и линии $ v=$const для всякой голоморфной функции $ F(z)$ образуют на плоскости $ \mathbb{C}$ ортогональную криволинейную систему координат, поскольку в каждой точке выполняется равенство:

$\displaystyle \nabla u\cdot\nabla v=u_{,x}v_{,x}+u_{,y}v_{,y}=-u_{,x}u_{,y}+u_{,y}u_{,x}=0.$ (43)
Это проясняет геометрический смысл отношения сопряженности функций $ u$ и $ v$ : сопряженные функции имеют взаимно-ортогональные поверхности уровня и равные нормы градиентов в каждой точке.


Пример 3. В силу формулы $ z^n=\rho^ne^{in\varphi}$ и формулы (34) для логарифма очевидно, что степенная функция отображает ортогональную сетку полярных координат в другую ортогональную сетку полярных координат на плоскости образов, а логарифм отображает полярную сетку в декартову сетку на плоскости образов. На рисунке показан образ полярной сетки при отображении, осуществляемым функцией Жуковского.

\includegraphics[width=.4\textwidth]{zhc1.eps}   \includegraphics[width=.4\textwidth]{zhc2.eps}
Рис. 3. На левом рисунке представлены линии полярной системы координат, на правом -- их образы при отображении $ z\mapsto (z+z^{-1})/2.$


Отметим, что конформное преобразование можно понимать как в активном (деформация плоскости), так и в пассивном (смена координат) смыслах. При этом независимо от интерпретации метрика $ \eta$ остается евклидовой, в отличие от конформных преобразований более общего вида: $ \eta\to \eta'=e^{2\phi}\eta,$ где $ \phi$ -- произвольная гладкая функция координат $ x$ и $ y.$ Можно показать, что условие обращения в нуль тензора кривизны для метрики $ e^{2\phi}\eta$ ($ \eta$ -- евклидова метрика) равносильно равенству $ e^{2\phi}=\vert F'\vert^2$ для некоторой голоморфной функции $ F(z).$

2.10.  Физический аспект $ \mathbb{C}$ -голоморфных отображений.

Напомним основные факты приложений голоморфных функций на примере задач электростатики [23, §3]. В области голоморфности с функцией $ F(z)=u+iv$ можно ассоциировать электростатическое поле в пространстве, свободном от зарядов. При этом вещественная часть $ u$ этой функции является потенциалом электростатического поля (потенциальная функция, $ u=$const -- уравнение эквипотенциальных линий) , а мнимая часть $ v$ является силовой функцией этого поля ( $ v=$const -- уравнение для линий напряженности). Основная идея, на которой базируются приложения ТФКП для решения плоских задач электростатики, заключается в отыскании такой голоморфной функции $ F(z),$ которая переводит границы $ \Gamma_i$ всех проводников рассматриваемой задачи в прямые линии Re$ F(z)\vert _{\Gamma_i}=$const$ _i.$ Действительно, при этом границы всех проводников станут эквипотенциалями, а в силу общей теоремы существования и единственности решения уравнения Лапласа с заданными граничными условиями полученное решение будет единственным (с точностью до физически несущественной перенормировки потенциала). Если требуемая голоморфная функция найдена (для ее отыскания не существует универсальных рецептов), то напряженность электростатического поля можно найти посредством формулы:

$\displaystyle E=E_x+iE_y=-\overline{\frac{dF}{dz}}=-\frac{d\bar F}{d\bar z}=-u_{,x}-iu_{,y},$ (44)
которую нужно понимать как комплексную форму для векторного поля градиента функции $ u.$ Отметим, что формула (44) получается с учетом соотношений (24) и условий Коши-Римана (26). В силу соотношения $ E=E(\bar z)$ (антиголоморфность напряженности), вытекающего из (44), с учетом (24) имеем тождество:

$\displaystyle \frac{\partial E}{\partial z}=\frac{1}{2}[E_{x,x}+E_{y,y}-i(E_{x,y}-E_{y,x})]=0,$ (45)
которое эквивалентно двум тождествам:

div$\displaystyle E\equiv E_{x,x}+E_{y,y}=0;$   rot$\displaystyle E\equiv E_{y,x}-E_{x,y}=0,$ (46)
выражающим соответственно соленоидальность и потенциальность электростатического поля. Рассмотрим теперь интеграл

$\displaystyle \Phi[E,\gamma]=\int\limits_{\gamma}E d\bar z=\int\limits_{\gamm... ... dy+i\int\limits_{\gamma}E_{y} dx-E_{x} dy=\Gamma[E,\gamma]-i\Pi[E,\gamma]$ (47)
по некоторому пути $ \gamma.$ Его вещественная часть $ \Gamma[E,\gamma]$ называется циркуляцией поля $ E$ вдоль пути $ \gamma$ , а величина $ \Pi[E,\gamma],$ противоположная мнимой части, называется потоком поля $ E$ через линию $ \gamma$ . С учетом определения (44) и условий Коши-Римана для этих величин получаются следующие выражения через приращения компонент комплексного потенциала:

$\displaystyle \Gamma[E,\gamma]=-\delta_\gamma u\equiv u(z_1)-u(z_2);\quad \Pi[E,\gamma]=-\delta_\gamma v\equiv v(z_1)-v(z_2),$ (48)
где $ \{z_1,z_2\}=\partial\gamma.$ Рассмотрим несколько важных примеров.


Пример 4: поле точечного источника. Комплексный потенциал

$\displaystyle F(z)=-q\ln z$ (49)
описывает поле точечного заряда $ q$ на плоскости (в 3-мерном пространстве ему соответствует бесконечно протяженная заряженная нить с линейной плотностью заряда $ q$ ). Из выражения (34) и формулы (44) следует формула для напряженности, которую можно привести к виду

$\displaystyle E=q\frac{z}{\vert z\vert^2}$ (50)
-- 2-мерного закона Кулона. Из соотношений (48) получаем для любой окружности с центром в начале системы координат, где находится заряд (а значит и любого замкнутого контура, однократно обходящего точку $ z=0$ ):

$\displaystyle \Gamma[E]=0,\quad \Pi[E]=2\pi q.$ (51)


Пример 5: проводящий нейтральный цилиндр в постоянном поле. Комплексный потенциал $ F(z)=2iE_0RZ(z/R)=iE_0(z+R^2z^{-1})$ описывает электростатическое поле вокруг проводящего нейтрального цилиндра радиуса $ R$ , помещенного в однородное электрическое поле $ E_0,$ перпендикулярное его оси. Из выражения (35) и формулы (44) следует выражение для напряженности

$\displaystyle E=iE_0-iE_0R^2\frac{z^2}{\vert z\vert^4}.$ (52)
Силовые линии этого поля проще получить исходя из вида силовой функции в (35) (с учетом множителя $ i$ это будет функция $ u$ ). Они представлены на рисунке 3 слева.
\includegraphics[width=.35\textwidth,clip]{cyl2.eps}
  
\includegraphics[width=.2\textwidth,clip]{cyl1.eps}
Рис. 3. Слева: силовые линии электрического поля в окрестности цилиндра радиуса $ R=1.$ Внешнее электрическое поле ориентировано вдоль мнимой оси. Справа: силовые линии магнитного поля в окрестности диамагнитного цилиндра радиуса $ R=1.$ Внешнее однородное магнитное поле ориентировано вдоль вещественной оси.

Рассмотренные выше примеры и вообще любое решение плоской электростатической задачи, записанное с помощью комплексного потенциала, обладают замечательной дуальной симметрией. Для пояснения идеи дуальной симметрии рассмотрим комплексный потенциал $ F(z)$ некоторой электростатической задачи и далее рассмотрим дуальный ему потенциал $ iF.$ Для напряженности нового поля $ B$ в силу (44) получим выражение

$\displaystyle B=iE,$ (53)
что геометрически означает поворот вектора напряженности $ E$ в каждой точке на угол $ \pi/2.$ Физически такое преобразование можно интерпретировать как переход от электростатической задачи к сопряженной (дуальной) магнитостатической. Применяя такой переход к ситуации с точечным зарядом (заряженной нитью) на плоскости, получаем магнитное поле линейного тока с потенциалом:

$\displaystyle \tilde F=-q\arctan(y/x)+iq\ln\sqrt{x^2+y^2}.$ (54)
При этом силовые линии поля $ B$ -- концентрические окружности, а эквипотенциальные поверхности -- радиальные линии, исходящие из источника (силовая и потенциальная функции поменялись местами). Формулы (48) теперь дают $ \Gamma[B]=2\pi q,$ $ \Pi[B]=0,$ что выражает закон полного тока в магнитостатике и соленоидальность магнитного поля соответственно. Переход к потенциалу $ \tilde F=iF$ в примере с цилиндром приводит к задаче о цилиндрическом диамагнетике, помещенном во внешнее однородное магнитное поле, перпендикулярное его оси. Силовые линии магнитного поля получаются теперь с помощью мнимой части формулы (35) (рис. 3 справа). Имеется интересная возможность объединить две дуально-сопряженные картины, рассмотренные выше, в одну. Обратимся к решению с точечным зарядом и рассмотрим ситуацию, когда этот заряд является комплексным: $ Q=q-im.$ Очевидно, что логарифмический потенциал с таким зарядом:

$\displaystyle F(z)=-Q\ln z=-q\ln\sqrt{x^2+y^2}-m\arctan(y/x)-i(q\arctan(y/x)-m\ln\sqrt{x^2+y^2}))$ (55)
включает в себя как частные случаи как электрическую, так и магнитную картину, рассмотренные выше и описывает их суперпозицию. Для избежания физически некорректного суммирования электрического и магнитного полей, можно рассмотреть, к примеру, гипотетическую дуально-симметричную электродинамику, в которой существуют магнитные заряды (монополи) и магнитные токи. На рисунке 4 показан вид силовых линий электростатического поля в суперпозиции, когда $ q=m.$
\includegraphics[width=.5\textwidth,clip]{vic3.eps}
Рис. 4. Силовые линии электростатического поля в окрестности вихреисточника с равными мощностями вихря и источника.

2.11.  Фрактальный аспект отображений $ \mathbb{C}$ -голоморфных отображений

В заключении этого обзорного раздела отметим роль $ \mathbb{C}$ -голоморфных функций в построении т.н. алгебраических фракталов [24,25]. Эти фракталы связаны со свойствами итерационного процесса вида:

$\displaystyle z_{k+1}=f(z_k),$ (56)
где $ f$ -- $ \mathbb{C}$ -голоморфная функция. Для $ f(z)=z^2+c$ получаем множества Жюлиа (граница регулярного поведения итерационной последовательности) и фрактал Мандельброта (множество значений $ c,$ при которых орбиты процесса компактны).
\includegraphics[width=.35\textwidth,clip]{zhulia3.eps}
  
\includegraphics[width=.35\textwidth]{mandel3.eps}
Рис. 5. Множество Жюлиа и фрактал Мандельброта.

След.: 3.  Алгебра и геометрия Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 1.  Введение