вход

Оглавление


1.  Введение

Принцип алгебраизации является ключевым инструментом для унифицированного описания пространственно-временных отношений, материи и физических взаимодействий. Он вошел физику в первой половине XX века в период разработки основ и приложений квантовой теории, несколько уступая во времени принципу геометризации, лежащему в основе ОТО. Оба принципа сегодня тесно переплетаются и взаимно дополняют друг друга и, в действительности, (например, в теории суперструн) они работают совместно. Это плодотворное единство алгебры и геометрии наводит на мысль о существовании единой алгебро-геометрической основы физической реальности, которая раскрывается с различных сторон в зависимости от выбора точки зрения на реальность и средства ее описания ([1]-[7]). Как принцип геометризации, так и принцип алгебраизации возвращают нас к идеям древних греков о первичности простых математических конструкций: в первом случае речь идет о теории платоновых атомов -- правильных геометрических фигур, во втором -- об пифагоровом учении о числах, как основе природы [8]. Алгебра, по сути, и представляет собой глубокое обобщение числовых отношений и операций над числами. На сегодняшний день нам известны все числовые системы, допускающие стандартные арифметические операции: сумму, разность, умножение и деление с привычными свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Эти системы получили название числовых полей. Все числовые поля изоморфны одному из следующих полей: полю рациональных чисел $ \mathbb{Q}$ , полю вещественных чисел $ \mathbb{R}$ или полю комплексных чисел $ \mathbb{C}$ [9]. Классический анализ, лежащий в основе гладких структур, на которых в основном и строится современная фундаментальная физика, опирается на свойства поля вещественных чисел или его многомерного расширения $ \mathbb{R}^n.$ Интересные попытки аксиоматизации квантовой теории опираются на т.н. $ p$ -адический анализ, который строится на $ p$ -адическом расширении поля рациональных чисел [10]. Поле комплексных чисел лежит в основе общепринятой аксиоматики квантовой теории и ее многочисленных приложений [5]. Кроме того, множество задач классической физики (электро- и магнитостатики, гидродинамики и теории упругости) эффективно решается с помощью методов комплексного анализа [11]. Последнее обстоятельство обусловлено наличием замечательных дифференциально-аналитических свойств комплексно-дифференцируемых функций, выражающихся т. н. условиями Коши-Римана. Эти последние принимают вид физических уравнений (условий потенциальности и соленоидальности соответствующих физических полей) и обеспечивают эффективный алгоритм отыскания решений задач двумерной математической физики. Общая теорема алгебры, перечисляющая все числовые поля, закрывает вопрос о коммутативно-ассоциативных числовых полях размерности выше двух. Но так ли существенны все свойства числовых полей для физических приложений? И не могут ли некоторые свойства более общих алгебр отражать важные физические характеристики пространства, времени и физических систем, наблюдаемых в реальности? Пусть $ \mathbb{A}_2$ -- произвольная 2-мерная коммутативно-ассоциативная алгебра с единицей над $ \mathbb{R}$ :

$\displaystyle \mathbb{A}_2\ni A=a+Ib, \quad a,b \in \mathbb{R}, $

с образующими $ \{1,I\}$ ($ I$ -- мнимая единица). Алгебра $ \mathbb{A}_2$ однозначно определяется парой вещественных чисел $ p$ и $ q,$ задающих разложение $ I^2$ :

$\displaystyle I^2=p+Iq \Rightarrow (I-q/2)^2=p+q^2/4.$ (1)
На самом деле ([12]), с точностью до изоморфизма тип $ \mathbb{A}_2$ определяется знаком выражения $ p+q^2/4$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr} \text{sign}(p+q^2/4)=-1,& \rightarrow &... ...xt{sign}(p+q^2/4)=0,& \rightarrow & \mathbb{A}_2\sim \Omega. \end{array}\right.$ (2)
Первая строчка в (2) соответствует хорошо известной алгебре (числовом поле) комплексных чисел $ \mathbb{C},$ о которой шла речь выше. С помощью вещественного линейного преобразования базиса $ \mathbb{A}_2$ в этом случае можно преобразовать $ I\to i$ с $ i^2=-1.$ Вторая строчка в (2) соответствует алгебре двойных чисел $ H,$ которые будут составлять основной предмет исследования настоящей статьи. В этой алгебре заменой базиса можно преобразовать $ I\to j,$ где $ j$ -- гиперболическая мнимая единица, удовлетворяющая условию $ j^2=1.$ Наконец, третья строчка в (2) соответствует так называемой алгебре дуальных чисел, в которой вещественной заменой базиса можно преобразовать $ I\to\omega,$ где $ \omega^2=0.$ В целом ситуация с 2-мерными ассоциативно-коммутативными алгебрами иллюстрируется на рис. 1

\begin{picture}(35.33,33.00) \unitlength=2mm \emline{1.00}{15.00}{1}{35.00}{15.0... ...)(19.56,21.22) \bezier{200}(19.56,21.22)(21.67,21.33)(21.89,23.33) \end{picture}
Рис. 1. Параметризация 2-мерных ассоциативно-коммутативных алгебр.

Двойные и дуальные числа известны математикам давно1[12,13,14,15,16] (и литература в последней ссылке). Среди геометрических приложений алгебры двойных чисел отметим наиболее важную и очевидную для физики связь алгебры двойных чисел с геометрией 2-мерного пространства-времени Минковского (раздел 13). Цель настоящей статьи -- развить эту связь до физических теорий более общего типа, в которых нетривиальные свойства пространства-времени и материи описываются с единых алгебро-аналитических позиций. Изложение материала статьи подчинено следующему плану. В разделе 2 приводятся краткая сводка сведений и фактов из алгебры и анализа комплексных чисел, аналоги которых мы будем исследовать в алгебре $ H$ и использовать далее в ее приложениях. Основные определения и свойства алгебры двойных чисел приводятся в разделе 3. Раздел 4 посвящен определениям и свойствам элементарных функций двойной переменной. Алгебра двойных чисел в изотропном базисе и вопросы аналитического продолжения излагаются в разделе 5. Важный для приложений вопрос о компактификации плоскости двойной переменной рассмотрен в разделе 6. Раздел 7 посвящен свойствам дробно-линейных преобразований над алгеброй двойных чисел, модели геометрии Лобачевского на двойных числах и свойствам гиперболической функции Жуковского. В разделе 8 развивается гиперболическая версия спиноров и обсуждается их генетическая связь с пространством $ \mathcal{M}_{2,2}.$ Класс голоморфных функций двойной переменной вводится в разделе 9. В нем же обсуждаются их характерные свойства. Раздел 10 посвящен различным формулировкам гиперболических версий интегральных теоремы и формулы Коши. Свойства итерационных последовательностей двойных чисел, приводящих к гиперболическим аналогам фрактальных множеств, обсуждаются в разделе 11. В разделе 12 рассматриваются гиперболические аналоги полей элементарных источников. Изложение 2-мерной СТО на языке алгебры двойных чисел представлено в разделе 13. $ h$ -голоморфное обобщение СТО (Конформная Теория Относительности) излагается в разделе 14. Раздел 15 посвящен формулировке единой $ h$ -голоморфной теории пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперланде). Комплекс идей, связанный с возможностью теоретического вычисления фундаментальных констант и лагранжианов (экстравариационный принцип), изложен в разделе 15.5. На основе этих идей в разделе 15.7 приведен полный расчет свойств статической двумерной вселенной Гиперлэнда. Раздел 16 посвящен краткому освещению перспективы обобщений излагаемого подхода на многомерные алгебры поличисел $ P_n,$ непосредственно обобщающие алгебру $ H$ на высшие измерения. В Заключение собраны некоторые общие замечания и комментарии. Статья представляет собой расширенную версию доклада, представленного на семинаре, проходившем 04.04.2013 в РУДН (Москва) с участием Р.Пенроуза2. Существенную часть доклада и статьи представляют результаты опубликованных статей [17]-[20].
След.: 2.  Алгебра и некоторые Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: Алгебра, геометрия и физика