• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение


• 2. Алгебра $\mathbb{C}$ и некоторые ее приложения
• 2.1. Алгебра $\mathbb{C}$
• 2.2. Геометрия $\mathbb{C}$
• 2.3. Дробно-линейные преобразования
• 2.4. Стереографическая проекция
• 2.5. Спиноры над $\mathbb{C}$
• 2.6. Голоморфные отображения $\mathbb{C}\to \mathbb{C}.$
• 2.7. Аналитический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций
• 2.8. Топологический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций.
• 2.9. Геометрический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.10. Физический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.11. Фрактальный аспект отображений $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений


• 3. Алгебра и геометрия двойных чисел $H$


• 4. Элементарные функции на $H$
• 4.1. Степенные функции $F(h)=h^n,\n\in \mathbb{Z}.$
• 4.2. Экспонента двойной переменной $w=e^h$
• 4.3. Тригонометрические функции $\sin h,$ $\cos h$ и обратные к ним
• 4.4. Тригонометрические функции $\tan h$ , $\cot h$ и обратные к ним
• 4.5. Гиперболические функции $\sinh h$ , $\cosh h$ , $\tanh h$ , $\coth h$ и обратные к ним


• 5. Изотропный базис и аналитическое продолжение


• 6. Компактификация $H$


• 7. Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на $H$


• 8. Гиперболические спиноры $\mathfrak{S}(H)$


• 9. $h$ - голоморфные функции двойной переменной
• 9.1. Гиперболические условия Коши-Римана
• 9.2. $h$ -гармонические функции
• 9.3. Конформное свойство


• 10. Теорема и формула Коши


• 11. "Фракталы" на двойных числах


• 12. Теория гиперболического потенциала на $H$
• 12.1. Поле гиперболического точечного источника
• 12.2. $h$ -дуальная интерпретация
• 12.3. $h$ -вихреисточник
• 12.4. Гиперболический цилиндр в постоянном поле
• 12.5. $h$ -мультиполя


• 13. 2-мерная СТО
• 13.1. 2-мерное пространство-время и векторные операции в нем
• 13.2. Алгебра изометрий
• 13.3. Коалгебра $H^\ast$
• 13.4. Системы отсчета на $\mathcal {M}_2$


• 14. Конформная теория относительности
• 14.1. Конформный сдвиг частоты


• 15. Алгебраическая теория пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперлэнде)
• 15.1. Общая идея
• 15.2. Вариационный принцип и уравнения поля
• 15.3. Первый интеграл и его следствия
• 15.4. Тензор энергии-импульса и характеристики источников
• 15.5. Супервариационный принцип для фундаментальных теорий
• 15.6. Пример 2: суперэкстремум в теории $h$ -поля
• 15.7. Статический Гиперлэнд


• 16. Что дальше?


• 17. Заключение
• 17.1. Комплексные или двойные числа?
• 17.2. КТО и физика Гиперлэнда


• Литература

11.  "Фракталы" на двойных числах

Гиперболическим аналогом итерационного процесса (56) будет соотношение вида:

$$h_{k+1}=F(h_k),$$ (122)

где $F$ -- некоторая $h$ -голоморфная функция. Переходя в изотропный базис, имеем:

$$h_{k+1}=h_{1,k+1}e_1+h_{2,k+1}e_2=F_1(h_{1,k})e_1+F_2(h_{2,k})e_2.$$ (123)

Таким образом, итерационный процесс на двойных числах сводится к паре независимых итерационных процессов на вещественных. Поведение вещественной последовательности $x_{k+1}=f(x_k),$ где $f$ -- дифференцируемая функция вещественной переменной, определяется наличием или отсутствием точек пересечения (и их характером, в случае, когда они есть) графика зависимости $f(x)$ с биссектриссой $y=x$ декартовой системы координат.

Рис. 26. Локальная структура областей притяжения и отталкивания итерационного процесса (122) в проекции на одну из изотропных осей. $x(A_1)$ и $x(A_2)$ -- репалсоры, $x(B_1)$ и $x(B_2)$ -- аттракторы, $x(C_1)$ -- полурепалсор, $x(C_2)$ -- полуаттрактор, $D_1,D_2$ -- неподвижное множество (цикл второго порядка).

Как это видно из рис. 26, в случае, когда точек пересечения нет, последовательность $\{x_k\}$ уходит на бесконечность. Если зависимость $f(x)$ пересекает биссектриссу $y=x$ "сверху-вниз", то точка пересечения является "точкой притяжения" (аттрактор) орбит, если "снизу-вверх" -- то "точкой отталкивания" орбит (репалсор). Если зависимость $f(x)$ касается биссектриссы "снизу", то точка касания является репалсором слева и аттрактором справа (полурепалсор), если касается "сверху", то точка касания является аттрактором слева и репалсором справа (полуаттрактор). Симметричные относительно биссектриссы точки образуют простейший тип периодической последовательности (период составляют два симметричных элемента). Все перечисленные случаи представлены на рис. 26. В силу основной теоремы алгебры зависимость полиномиального типа $f(x)=P_n(x)$ будет иметь от нуля до $n$ точек пересечения с биссектриссой. Глобальная картина "бассейна притяжения" может иметь сложный вид. В качестве очень простого примера рассмотрим итерационную последовательность вида

$$h_{k+1}=ah^2_k=a_1h_{1,k}^2e_1+a_2h_{2,k}^2e_2.$$ (124)

Нетрудно записать общий вид члена этой последовательности: $h_{i,k}=a_i^{2k-1}h_{i,0}^{2k}.$ Очевидно, что при условии $\vert a_ih_{i,0}\vert<1$ итерационный процесс сходится к нулю, при условии $\vert a_ih_{i,0}\vert>1$ он уходит на бесконечность, а при условии $\vert a_ih_{i,0}\vert=1$ он стационарен (начиная, самое большее, со второго шага). Таким образом, Множество Жюлиа, соответствующее рассматриваемому итерационному процессу, представляет собой прямоугольник на плоскости двойной переменной со сторонами, параллельными изотропным осям: $h_1=\pm1/a_1,$ $h_2=\pm/a_2.$ Как показывают результаты компьютерного моделирования с итерационными процессами на двойных числах [29,30,31], эта картина является типичной и для итерационных процессов других типов. След.: 12.  Теория гиперболического потенциала Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 10.  Теорема и формула