• Региональный научно-образовательный центр
• ЛОГОС
• некоммерческое партнерство

вход

• Миссия
• История
• Учебные программы
• Результаты
• Расписание
• Партнеры
• Сотрудники
• Контакты

Оглавление

• 1. Введение


• 2. Алгебра $\mathbb{C}$ и некоторые ее приложения
• 2.1. Алгебра $\mathbb{C}$
• 2.2. Геометрия $\mathbb{C}$
• 2.3. Дробно-линейные преобразования
• 2.4. Стереографическая проекция
• 2.5. Спиноры над $\mathbb{C}$
• 2.6. Голоморфные отображения $\mathbb{C}\to \mathbb{C}.$
• 2.7. Аналитический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций
• 2.8. Топологический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных функций.
• 2.9. Геометрический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.10. Физический аспект $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений.
• 2.11. Фрактальный аспект отображений $\mathbb{C}$ -голоморфных отображений


• 3. Алгебра и геометрия двойных чисел $H$


• 4. Элементарные функции на $H$
• 4.1. Степенные функции $F(h)=h^n,\n\in \mathbb{Z}.$
• 4.2. Экспонента двойной переменной $w=e^h$
• 4.3. Тригонометрические функции $\sin h,$ $\cos h$ и обратные к ним
• 4.4. Тригонометрические функции $\tan h$ , $\cot h$ и обратные к ним
• 4.5. Гиперболические функции $\sinh h$ , $\cosh h$ , $\tanh h$ , $\coth h$ и обратные к ним


• 5. Изотропный базис и аналитическое продолжение


• 6. Компактификация $H$


• 7. Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на $H$


• 8. Гиперболические спиноры $\mathfrak{S}(H)$


• 9. $h$ - голоморфные функции двойной переменной
• 9.1. Гиперболические условия Коши-Римана
• 9.2. $h$ -гармонические функции
• 9.3. Конформное свойство


• 10. Теорема и формула Коши


• 11. "Фракталы" на двойных числах


• 12. Теория гиперболического потенциала на $H$
• 12.1. Поле гиперболического точечного источника
• 12.2. $h$ -дуальная интерпретация
• 12.3. $h$ -вихреисточник
• 12.4. Гиперболический цилиндр в постоянном поле
• 12.5. $h$ -мультиполя


• 13. 2-мерная СТО
• 13.1. 2-мерное пространство-время и векторные операции в нем
• 13.2. Алгебра изометрий
• 13.3. Коалгебра $H^\ast$
• 13.4. Системы отсчета на $\mathcal {M}_2$


• 14. Конформная теория относительности
• 14.1. Конформный сдвиг частоты


• 15. Алгебраическая теория пространства-времени-материи ("Теория Всего" в Гиперлэнде)
• 15.1. Общая идея
• 15.2. Вариационный принцип и уравнения поля
• 15.3. Первый интеграл и его следствия
• 15.4. Тензор энергии-импульса и характеристики источников
• 15.5. Супервариационный принцип для фундаментальных теорий
• 15.6. Пример 2: суперэкстремум в теории $h$ -поля
• 15.7. Статический Гиперлэнд


• 16. Что дальше?


• 17. Заключение
• 17.1. Комплексные или двойные числа?
• 17.2. КТО и физика Гиперлэнда


• Литература

9.  $h$ - голоморфные функции двойной переменной

Перейдем к определению класса голоморфных функций Hol$(H).$ Свойство обычной дифференцируемости функции двух переменных в некоторой точке, записанное в терминах пары независимых двойных переменных $h$ и $\bar h$ , имеет вид:

$$\Delta F=A\Delta h+B\Delta\bar h+o(\Delta h)+o(\Delta\bar h)$$ (93)

или в изотропном базисе:

$$\Delta F =(A_1\Delta h_1+B_1\Delta h_2+o(\Delta h_1)+o(\Delta h_2))e_1+$$

$$+(A_2\Delta h_2+B_2\Delta h_1+o(\Delta h_1)+o(\Delta h_2))e_2.$$

Здесь мы определяем $o(h)\equiv o(h_1)e_1+o(h_2)e_2,$ где символ $o$ -малое в последнем выражении справа имеет смысл, общепринятый в вещественном анализе. Определим класс Hol$(H)$ $h$ -голоморфных (в точке) функций условием $B=0$ в (93). При этом мы приходим к следующему выражению для приращения функции голоморфной функции:

$$\Delta F=A\Delta h+o(\Delta h)+o(\Delta \bar h)=(A_1\Delta h_1+o(\Delta h_1)+o(\Delta h_2))e_1+$$

$$+(A_2\Delta h_2+o(\Delta h_2)+o(\Delta h_1))e_2.$$ (94)

С учетом доопределения операции деления с помощью (81), мы можем записать условие $h$ -голоморфности в точке $h_0$ с помощью формальной частной производной:

$$\frac{\partial F}{\partial \bar h}(h_0)=0, \vrule depth20pt width0pt$$ (95)

где

$$\frac{\partial}{\partial h}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\par... ...artial x}\right)=\frac{\partial}{\partial h_1}+\frac{\partial}{\partial h_2};$$

$$\frac{\partial}{\partial \bar h} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial... ...\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial h_2}+\frac{\partial}{\partial h_1}.$$ (96)

При этом частная производная в (95) понимается как предел:

$$\lim\limits_{\vert\Delta \bar h\vert _2\to0}\frac{\Delta F}{\Delta \bar h},$$ (97)

где $\vert h\vert _2\equiv\vert h_1\vert+\vert h_2\vert$ -- норма прямой суммы 1-мерных вещественных евклидовых норм. Функцию $F$ , голоморфную в каждой точке некоторой открытой области $D\subseteq H,$ будем называть голоморфной в области $D$ и отмечать этот факт так: $F\in$   Hol$(D).$ С учетом (96) производную (95) можно расписать в компонентах следующим образом:

$$0=\frac{\partial F}{\partial \bar h}=\frac{\partial F_1}{\partial h_2}e_1+\frac{\partial F_2}{\partial h_1}e_2, \vrule depth15pt width0pt$$ (98)

откуда приходим к следующему общему виду $h$ -голоморфной функции двойной переменной в изотропном базисе:

$$F=F_1(h_1)e_1+F_2(h_2)e_2,$$ (99)

где $F_i$ -- дифференцируемые функции вещественной переменной. Таким образом, мы приходим к заключению, что класс $h$ -голоморфных функций устроен как декартов квадрат вещественно-дифференцируемых функций одной переменной:

   Hol$$(H)\sim C^1(\mathbb{R})\times C^1(\mathbb{R}).$$

Это обстоятельство означает, что голоморфные функции двойной переменной устроены проще, чем голоморфные функции комплексной переменной. В частности, на двойной плоскости нет тождества голоморфности и аналитичности¹³. Тем не менее, далее мы увидим, что значительная часть свойств комплексных голоморфных функций формально воспроизводится и их $h$ -голоморфными аналогами. Перейдем к установлению этих свойств.

9.1.  Гиперболические условия Коши-Римана

Уравнение (98) по существу представляет гиперболические условия Коши-Римана в изотропном базисе. Переходя к стандартному базису $\{1,j\},$ с учетом (96) получаем для функции $F=U+jV$ :

$$F_{,\bar h}=0\Rightarrow U_{,t}-V_{,x}+j(V_{,t}-U_{,x})=0 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow U_{,t}=V_{,x};\quad U_{,x}=V_{,t}.$$ (100)

-- гиперболические условия Коши-Римана, выражающие свойство $h$ -дифференцируемости в базисе $\{1,j\}.$ Они отличаются знаком от стандартных условий Коши-Римана на $\mathbb{C}.$

9.2.  $h$ -гармонические функции

Применяя оператор $\partial_{h}$ к уравнению $\partial_{\bar h}F=0$ комплексной дифференцируемости, получаем дифференциальное следствие

$$\frac{\partial^2}{\partial h\partial \bar h}F=0,$$ (101)

которому удовлетворяет всякая $h$ -голоморфная функция. Из (96) следует, что оператор $\partial_h\partial_{\bar h}$ вещественный, и что он с точностью до числового множителя совпадает с 2-мерным волновым оператором (который можно было бы назвать "гиперболическим лапласианом"):

$$4\frac{\partial^2}{\partial h\partial \bar h}\equiv\square_2.$$ (102)

Отсюда, в свою очередь, следует, что компоненты $h$ -голоморфной функции в любом базисе удовлетворяют волновому уравнению:

$$\frac{\partial F}{\partial \bar h}=0\Rightarrow \Box_2 F_1=\Box_2 F_2=0. \vrule depth15pt width0pt$$ (103)

Множество $\ker\square_2$ мы будем называть $h$ -гармоническими функциями, а $h$ -гармонические функции $F_1$ и $F_2,$ являющиеся компонентами некоторой $h$ -голоморфной функции естественно называть сопряженными $h$ -гармоническими функциями. Рассмотрим произвольную $h$ -гармоническую функцию $U(t,x)$ в переменных $t,x,$ в которых $\square_2\equiv\partial_t^2-\partial_x^2.$ По известной теореме математической физики ее всегда можно представить как сумму произвольных дважды дифференцируемых функций опережающего и запаздывающего аргументов:

$$U=\Phi_+(t+x)+\Phi_-(t-x).$$

Условия (100) приводят к системе дифференциальных уравнений на $h$ -гармонически сопряженную функцию $V$ в базисе $\{1,j\}$ :

$$V_{,t}=U_{,x}=\Phi_+'-\Phi_-';\quad V_{,x}=U_{,t}=\Phi_+'+\Phi_-'.$$ (104)

Условия интегрируемости этой системы уравнений: $\square_2U=0$ выполняются тождественно, а сама система интегрируется непосредственно. Результат -- функция $V,$ $h$ -гармонически сопряженная к $U,$ -- имеет вид:

$$V=\Phi_+-\Phi_-+ ,$$ (105)

откуда приходим к заключению, что в базисе¹⁴ $\{1,j\}$ всякая $h$ -гармоническая функция определяет свою $h$ -гармонически сопряженную с точностью до константы.

9.3.  Конформное свойство

Всякую $h$ -голоморфную функцию можно рассматривать как отображение (деформацию) $H\to H.$ Ввиду соотношений: $dF=F' dh,$ $d\bar F=\bar F' d\bar h,$ в изотропном базисе мы имеем:

$$\Xi=dh\otimes d\bar h \stackrel{F}{\rightarrow} \tilde \Xi=\Vert F'\Vert^2\Xi.$$ (106)

-- конформный закон преобразования метрики. Из него непосредственно следует сохранение гиперболических углов между любой парой направлений в точке $h,$ в которой $\Vert F'\Vert^2\neq0,$ а также сохранение изотропных направлений, вдоль которых $\Vert dh\Vert^2=0.$ Следствием последнего обстоятельства является сохранение конформной структуры $H$ :

$$F( )= (F(h))$$ (107)

для всех $h\in H$ и $F\in$Hol$(H).$ Свойство (107) мы уже неоднократно наблюдали на рассмотренных ранее конкретных примерах. След.: 10.  Теорема и формула Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 8.  Гиперболические спиноры