вход

Оглавление



16.  Что дальше?

В этом раздел мы очень бегло и схематично очертим перспективы развития идей $ h$ -голоморфной "теории всего" на случай большего числа пространственно-временных измерений. Стартовой точкой является хорошо известный факт принадлежности алгебры двойных чисел к иерархии ассоциативно-коммутативных поличисловых алгебр [39,40,20]:

$\displaystyle H=P_2\subset P_3\subset \dots P_n\subset\dots $

Элементы алгебры $ P_n$ описываются вещественными комбинациями изотропных образующих $ e_j$ :

$\displaystyle A=A_1e_1+\dots A_ne_n,\quad e_ie_j=e_j\delta_{ij}, $

таблица умножения которых является прямым многомерным обобщением таблицы умножения в $ H.$ Каждая из алгебр $ P_n$ индуцирует свою геометрию, с метрикой $ {}^{(n)}\Xi,$ так что имеем иерархию метрик:

$\displaystyle \Xi={}^{(2)}\Xi\leftarrow{}^{(3)}\Xi\leftarrow\dots\leftarrow{}^{(n)}\Xi\leftarrow\dots, $

Метрика $ {}^{(n)}\Xi$ имеет в изотропных координатах следующий вид:

$\displaystyle {}^{(n)}\Xi=\hat{S}(dx^1\otimes\dots\otimes dx^n), $

где $ \hat{S}$ -- оператор симметризации (без числового множителя), и относится к классу метрик Бервальда-Моора (псевдо)финслерова типа [41,42,43,44,45]. Роль скалярного "волнового оператора" играет основной оператор поличисловой теории поля (оператор Гарасько):

$\displaystyle \bigcirc_n\equiv\frac{\partial^n}{\partial \stackrel{1}{x}\dots\partial\stackrel{n}{x}}, \vrule depth15pt width0pt $

представляющий собой многомерный симбиоз волнового оператора и оператора Лапласа. Здесь $ \stackrel{i}x\equiv C^ix$ -- результат действия $ i$ -ого комплексного сопряжения (в алгебре $ P_n$ их $ n-1$ ) на голоморфную поличисловую координату (см. [20]). Фундаментальное сферически-симметричное решение уравнения $ \bigcirc_n R_n=0$ $ (r=\Vert x\Vert^{1/n})$ : имеет вид:

$\displaystyle R_n(r)=C_0+C_1\ln r+\dots +C_{n-1}\ln^{n-1} r, $

где $ C_i$ -- вещественные константы интегрирования [46]. Главным вопросом к физическим моделям, опирающимся на геометрию пространства Бервальда-Моора, является их соотнесение с традиционными теоретико-полевыми моделями, которые строятся на основе метрики Минковского (глобально или локально). Ключевой конструкцией в ответе на этот вопрос является так называемая конструкция соприкосновения [47]. Рассмотрим ее на примере метрики Бервальда-Моора 4-ого порядка, которая индуцируется алгеброй квадрачисел $ P_4.$ Метрику $ {}^{(4)}\Xi$ можно рассматривать как отображение вида:

$\displaystyle V(H_4)\times V(H_4)\to S(T^0_2(H_4) $

(паре векторных полей ставится в соответствие симметричное ковариантное тензорное поле второго ранга), которое в индексных обозначениях действует по правилу: $ g_{\alpha\beta}={}^{(4)}\Xi_{\alpha\beta\gamma\delta}U^\gamma V^\delta.$ Говорят, что (псевдо)риманова метрика $ g$ соприкасается с финслеровой метрикой $ {}^{(4)}\Xi$ вдоль векторных полей $ U$ и $ V.$ Оказывается, что локально (в фиксированной точке $ H_4$ ) возможны только два невырожденных типа метрики $ g$ : с сигнатурой $ (+,-,-,-)$ и $ (+, +, - , -)$ (последний случай соответствует пространству-времени гиперболических спиноров, уже рассматривавшемуся в разделе 8). Сигнатура соприкасающейся метрики зависит от взаимной относительной ориентации пары векторов $ U$ и $ V$ в фиксированной точке. Если зафиксировать направление одного из векторов и менять второй, то в некоторых направлениях метрика будет вырождаться. Такие направления вырождения образуют коническую многосвязную 3-мерную поверхность в 4-мерном пространстве $ H_4.$ Ее пересечение с 3-мерной гиперболической сферой будет представлять уже 2-мерную поверхность, проекция которой на одну из координатных гиперплоскостей в $ H_4$ показана на рис. 41 (слева).
\includegraphics[height=.2\textheight,clip]{co1.eps} \includegraphics[height=.2\textheight,clip]{co2.eps}
Рис. 41. Проекция поверхности вырождения соприкасающейся метрики и поведение ее сигнатуры вдоль прямой $ (1-t,1-2t,1-3t,1-0.5t)$

Мы видим, что пространство $ H_4$ расслаивается на домены с фиксированным причинным типом соприкасающейся римановой метрики, причем на перегородках метрика вырождается (одно из собственных значений соприкасающейся метрики относительно 4-мерной евклидовой метрики обращается в нуль). Более наглядно эту ситуацию иллюстрирует рис. 41 (справа). На нем показаны графики зависимости корней секулярного уравнения для метрики $ g$ при движении конца второго вектора вдоль некоторой прямой в зависимости от параметра $ t$ на прямой. То же представлено на рисунках 42 для других направлений.

\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{co3.eps}
 
\includegraphics[height=.3\textwidth,clip]{co4.eps}
Рис. 42. Поведение сигнатуры вдоль линий $ (1-t,1+2t,1-t,1+0.5t)$ и $ (1-t,1,1,1)$


Можно сказать, что метрика Бервальда-Моора нетривиальным образом содержит внутри себя 4-мерную метрику Минковского и метрику с сигнатурой $ (+,+,-,-).$ При этом причинный тип метрики определяется характеристиками самого объекта, помещенного в $ H_4$ (например, относительной ориентацией векторов скорости и спина частицы). Мы исследуем эти интересные возможности в следующих публикациях. Отметим здесь лишь замечательный факт: соприкасающаяся метрика $ g$ не может быть евклидова типа! Это следует из общего вида секулярного уравнения: коэффициент при кубе собственного значения в нем равен нулю. В силу обобщенной теоремы Виета должна быть равна нулю и сумма собственных значений $ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0,$ следовательно эти значения не могут иметь одинаковый знак (евклидов случай)! Обзор различных подходов к приложениям финслеровой геометрии в физике можно найти в [48].
След.: 17.  Заключение Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 15.  Алгебраическая теория пространства-времени-материи