вход

Оглавление



3.  Алгебра и геометрия двойных чисел $ H$

В этом и последующих разделах мы постараемся систематизировать и дополнить сведения о двойных числах, рассеянные по различным источникам [13,14,12,15,26,27,17]. Определим алгебру двойных чисел $ H$ как 2-мерный $ R$ -модуль с парой образующих $ \{1,j\},$ и таблицей умножения:

\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c} & 1& j \hline 1& 1 & j \hline j& j& 1 \end{array}.\end{displaymath} (57)
Элементы $ H$ будем записывать в виде: $ H\ni h=1\cdot t+jx,$ где $ t,x\in R,$ имея ввиду дальнейшие приложения этой алгебры для описания 2-мерного пространства-времени. По аналогии с комплексными числами, вещественное число Re$ h\equiv t$ называется вещественной частью двойного числа $ h,$ а вещественное число Im$ h\equiv x$ называется мнимой частью двойного числа $ h.$ Алгебра двойных чисел с таблицей умножения (57) не образует числового поля, поскольку содержит делители нуля, т. е. уравнение $ h_1h_2=0$ может выполняться при отличных от нуля элементах $ h_1$ и $ h_2.$ Геометрическая интерпретация двойных чисел аналогична интерпретации комплексных чисел: на плоскости двойной переменной (коротко -- гиперболической плоскости) каждому двойному числу соответствует радиус-вектор, координаты которого суть вещественная и мнимая часть этого числа При этом сумма и разность двойных чисел изображается стандартным правилом параллелограмма для соответствующих радиус-векторов на гиперболической плоскости. Инволютивную операцию комплексного сопряжения для двойных чисел определим следующим образом: $ h=t+jx\mapsto \bar h=t-jx.$ Геометрически эта операция описывает отражение гиперболической плоскости относительно оси Im$ h=0.$ Аналогично комплексному случаю, пару $ \{h,\bar h\}$ можно рассматривать как независимые двойные координаты на гиперболической плоскости, которые связаны с декартовыми координатами посредством формул (5) с заменой $ z,\bar z\to h,\bar h$ и $ i$ на $ j.$ Комплексная координатная билинейная форма $ \mathcal{G}\equiv dh\otimes d\bar h$ разлагается на симметричную $ \Xi$ и кососимметричную $ \Omega$ неприводимые компоненты следующим образом:

$\displaystyle \mathcal{B}\equiv dh\otimes d\bar h=\Xi-j\Omega,$ (58)
где $ \Xi=dt\otimes dt-dx\otimes dx$ -- псевдоевклидова метрическая форма, $ \Omega\equiv dt\wedge dx=-j dh\wedge d\bar h/2$ -- 2-мерная форма объема. Мы видим, что алгебра двойных чисел индуцирует на плоскости двойной переменной 2-мерную пседоевклидову (гиперболическую) геометрию с метрической формой $ \Xi$ , что объясняет принятый нами термин "гиперболическая плоскость". Определим (псевдо)норму $ \Vert \cdot \Vert$ и модуль $ \Vert \cdot \Vert$ элемента $ h$ согласно следующим формулам:

$\displaystyle \Vert h\Vert^2\equiv h\bar h;\quad \vert h\vert\equiv\sqrt{\vert\Vert h\Vert^2\vert},\quad \Vert hg\Vert^2=\Vert h\Vert^2\Vert g\Vert^2.$ (59)
Отметим, что введенные норма и модуль не удовлетворяют евклидовому свойству нормы: $ \Vert h\Vert^2=0\Rightarrow h=0.$ Это обстоятельство тесно связанно с псевдоевклидовой геометрией двойных чисел, а точнее, с наличием в алгебре $ H$ вырожденных элементов (делителей нуля), которые мы выделяем в отдельное подмножество

$\displaystyle H^\circ\equiv\{h\in H \vert \Vert h\Vert^2=0\};\quad H^\circ\ni h=a(1\pm j), a\in \mathbb{R}.$ (60)
Отметим важное свойство множества $ H^\circ$ : для всякого $ H'\subseteq H,$ $ H'\cdot H^\circ\subset H^\circ$ ($ H^\circ$ является в $ H$ идеалом по умножению). Для невырожденных элементов определена операция их обращения:

$\displaystyle h\mapsto h^{-1}\equiv\frac{\bar h}{\bar h h}.$ (61)
Множество

Con$\displaystyle (h_0)=\{h\in H \vert h-h_0\in H^\circ\}$ (62)
будем называть конусом точки $ h_0.$ Переход к гиперболическим полярным координатам и экспоненциальной форме представления двойного числа имеет ряд особенностей, которых нет в случае комплексных чисел. Con$ (0)$ (пара прямых $ t\pm x=0$ ) разбивает всю гиперболическую плоскость на четыре клиновидные области, обозначенные на рисунке цифрами I, II, III и IV (рис. 6).

\begin{picture}(33.00,30.83) \unitlength=1.7mm \emline{1.33}{15.00}{1}{32.67}{15... ...89){\makebox(0,0)[cc]{IV}} \put(22.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{IV}} \end{picture}
Рис. 6. Область $ R\sqcup -R\sqcup R\sqcup -R$ изменения угла $ \psi$ на плоскости $ \mathcal{H}$ . Ориентация согласована в противоположных клиньях и противоположна в соседних. Для различения углов в различных клиньях можно нумеровать угол $ \psi$ индексом $ k$ : $ \psi_k,$ $ (k=1,2,3,4).$

Непосредственной проверкой можно убедиться, что в каждой из отмеченных областей двойные числа допускают гиперболическое полярное представление вида:

$\displaystyle h=t+jx=J\varrho(\cosh\psi+j\sinh\psi),$ (63)
где для каждого из клиньев имеют место следующие определения величин:

\begin{displaymath}\begin{array}{rlcc} \text{I}:&J=1,& \varrho=\sqrt{t^2-x^2},\q... ...\varrho=\sqrt{x^2-t^2},\quad \psi=\text{Arth}(t/x). \end{array}\end{displaymath} (64)
где $ \varrho\equiv\vert h\vert$ , $ \psi=$Arg$ h$ -- гиперболический аргумент. Таким образом, в каждом из клиньев $ 0\le\varrho<\infty,$ а сами клинья параметризуются отдельными экземплярами вещественных прямых, которые в совокупности образуют многообразие $ \Psi$ угловых переменных в виде ориентированной дизъюнктной суммы $ R\sqcup -R\sqcup R\sqcup -R.$ Более наглядно многообразие $ \Psi$ можно представить себе, компактифицируя каждое из $ R$ в открытый интервал и склеивая интервалы в их концах в окружность с четырьмя выколотыми точками.Отметим, что множество двойных чисел с нулевой нормой не описывается ни одной из координатных карт введенной выше гиперболической полярной системы координат. Справедливость гиперболической формулы Эйлера: $ \cosh\psi+j\sinh\psi=e^{j\psi}$ проверяется разложением левых и правых частей в формальные ряды Маклорена (которые сходятся в $ H$ покомпонентно) и сравнением их вещественных и мнимых частей. Гиперболическая формула Эйлера приводит к экспоненциальной форме представления двойных чисел:

$\displaystyle h=t+jx=J\varrho e^{j\psi}=Je^{\Theta},$ (65)
где в последнем равенстве мы перешли к "комплексному гиперболическому углу"

$\displaystyle \Theta=\ln\varrho+j\psi\equiv\ln h.$ (66)
При этом произведение пары двойных чисел сводится к сложению их комплексных углов и перемножению знаковых множителей $ J.$ В завершение этого параграфа мы приведем для наглядной иллюстрации геометрических свойств плоскости $ H$ несколько гиперболических аналогов евклидовых геометрических объектов и отношений между ними. Поскольку геометрия плоскости $ H$ совпадает с геометрией двумерного пространства-времени Минковского $ \mathcal{M}_{1,1},$ группой непрерывных изометрий $ H$ является 3-мерная группа Пуанкаре:

$\displaystyle h\mapsto h+a; h\to r_\psi\cdot h, r_\psi\equiv e^{j\psi}.$ (67)
Хотя формально гиперболические вращения описываются множителем $ e^{j\psi},$ вполне аналогичным комплексному $ e^{i\varphi},$ некомпактность пространства углов и группы гиперболических вращений приводит к заметным визуальным отличиям в ситуациях, аналогичных простым и привычным ситуациям на евклидовой плоскости. На рисунке 7 показана пара равных друг другу равносторонних треугольников, которые получаются друг из друга гиперболическим вращением вокруг начала системы координат (зеленые линии (гиперболы) -- это компоненты метрической окружности на $ H,$ изображающие орбиты группы гиперболических вращений).
\includegraphics[width=.3\textwidth]{db1.eps}
Рис. 7. Конгруэнтные равносторонние треугольники на $ H$ .


На рисунке 8 представлены семейства гиперболических эллипсов и гипербол7, метрическое определение которых формально совпадает с евклидовым: $ \varrho_1\pm\varrho_2=$const$ ,$ где $ \varrho_{1,2}$ -- гиперболические расстояния от точки кривой до пары фиксированных точек двойной плоскости.

\includegraphics[width=.3\textwidth]{db2.eps}
Рис. 8. Софокусные эллипсы и гиперболы на $ H.$


Наконец, на рисунке 9 представлены семейства гиперболических спиралей: слева -- гиперболические спирали Архимеда с полярным уравнением $ \varrho=C\psi,$ справа -- гиперболические логарифмические спирали с уравнением $ \varrho=Ce^{\psi}.$

\includegraphics[width=.3\textwidth]{db4a.eps}
Рис. 9. Семейство спиралей на $ H$ .

След.: 4.  Элементарные функции на Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 2.  Алгебра и некоторые