вход

Оглавление



4.  Элементарные функции на $ H$

Для определения и выяснения свойств элементарных функций двойной переменной, т.е. таких отображений $ H\to H,$ которые на вещественной оси сводились бы к одному из представителей стандартных элементарных функций вещественной переменной, достаточно знания двух типов соотношений для вещественных функций:
  1. $ f(x+y)=\Phi(f_1(x),f_2(y))$ $ \{1\}$ -- вещественного закона для "суперпозиции аргументов" (типа правила "суммы синусов");

  2. $\displaystyle f(x)=(Sf)(x)+(Af)(x);\quad (Sf)(jx)=(Sf)(x); $

    $\displaystyle (Af)(jx)=j(Af)(x) \{2\}$ (68)
    -- закона взаимодействия симметричной и антисимметричной компонент вещественной функции с $ j.$
Соотношения первого типа выводятся непосредственно из определений конкретных вещественных функций, соотношения второго типа проверяется разложением в формальные степенные ряды8 левых и правых частей с учетом равенства $ j^2=1.$ В настоящем разделе с помощью этих правил мы построим аналитические продолжения всех элементарных функций с $ \mathbb{R}$ на $ H.$

4.1.  Степенные функции $ F(h)=h^n,\n\in \mathbb{Z}.$

В отличие от степенной функции комплексной переменной случаи четных $ n$ и нечетных $ n$ кардинально отличаются. Действительно, переходя к экспоненциальному представлению9(65), получаем:

$\displaystyle h=J\varrho e^{j\psi}\stackrel{h^n}{\mapsto} J^n\varrho e^{jn\psi}.$ (69)
Поскольку для любого четного $ n,$ $ J^n=1,$ можно заключить, что степенная функция $ h\mapsto h^n$ при $ n=2k,$ $ k\in\mathbb{Z}$ биективно отображает каждый из клиньев I, II, III, IV на клин I с сохранением конусов Con$ (h)\to$Con$ (h^n).$ Напротив, при нечетном $ n$ каждый из координатных клиньев при отображении $ h\mapsto h^n$ $ n=2k+1,$ $ k\in\mathbb{Z}$ биективно отображается в себя (снова с сохранением соответствующих конусов). При этом, как нетрудно видеть из (69) координатная сетка $ \varrho=$const$ ,$ $ \psi=$const переходит в координатную сетку $ \varrho'=\varrho^n=$const$ ,$ $ \psi'=n\psi=$const для всяких целых $ n.$ В случае положительных целых $ n$ радиальные линии растягиваются при $ \varrho>1$ и сжимаются при $ \varrho<1.$ Кроме того, они поворачиваются от значения $ \psi=0$ в сторону соответствующих им по знаку компонент конусов. Для целых отрицательных $ n$ (степенное отображение определено для $ h\not\in H^\circ$ ) дополнительно имеется инверсия относительно единичных гиперболических окружностей $ \varrho=1$ и инверсия пространства углов $ \Psi\to -\Psi.$

\begin{picture}(52.11,52.00) \unitlength=1mm \emline{1.00}{25.00}{1}{52.00}{25.0... ...makebox(0,0)[cc]{$1'$}} \put(30.56,13.22){\makebox(0,0)[cc]{$2'$}} \end{picture}
Рис. 10. Глобальная структура отображения $ h\mapsto h^{2k}.$

На рис. 10 представлена глобальная структура отображения $ h\mapsto h^{2k}$ : клин 1-2 переходит сам в себя (его границы -- в соответствующие границы), а отображения остальных клиньев в клин 1-2 показано соответствующими цифрами (цифры со штрихами, помечающими клин, показывают как именно соответствующий клин отображается в клин 1-2). Таким образом, отображение $ h\mapsto h^{2k}$ является 4-листным. Из свойств степенных функций легко вывести свойства корней различных порядков и рациональных степеней: $ h\mapsto h^{1/n},$ $ h\mapsto h^{m/n}.$ Любой корень $ \sqrt[n]{h}$ четного порядка определен в клине I. Такой корень будет 4-значной функцией. Каждый лист гиперболической римановой поверхности этой функции представляет собой идентичную копию клина 1-2, показанного на рис. 10. На каждом из листов функция однозначна. Все листы склеиваются в риманову поверхность, представляющую собой $ R^2,$ при этом точка $ (0;0)$ принадлежит всем листам и является гиперболическим аналогом точки ветвления. Наглядно риманову поверхность корня четного порядка можно реализовать листом бумаги, сложенным вчетверо так, как показано на рис. 11.

\begin{picture}(43.00,43.33) \unitlength=1mm \emline{18.33}{3.00}{1}{2.67}{27.17... ...){\makebox(0,0)[cc]{III}} \put(11.17,25.67){\makebox(0,0)[cc]{IV}} \end{picture}
Рис. 11. Гиперболическая риманова поверхность 4-значного отображения $ h\mapsto h^{1/2k},$ $ k\in\mathbb{Z}.$

Корни нечетной степени -- однозначны в каждом из 4 клиньев.


4.2.  Экспонента двойной переменной $ w=e^h$

Записывая $ e^h=e^{t+jx}=e^te^{jx}$ и принимая во внимание соотношения:

$\displaystyle S(e^{x})=\cosh x;\quad A(e^x)=\sinh x, $

с учетом правил $ \{1\}$ , $ \{2\},$ приходим к глобальной структуре экспоненциального отображения, представленной на рис.12.
\includegraphics[width=.35\textwidth]{exp1.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{exp2.eps}
Рис. 12. Глобальная структура отображения $ h\mapsto e^h.$


Прямоугольная псевдоортогональная сетка на плоскости переменной $ h$ отображается экспонентой в псевдоортогональную сетку, состоящую из лучей и гипербол в первом клине с вершиной в точке $ h=0$ . Отображение $ h\mapsto e^h$ -- биективно. Очевидно, что обратная функция $ \ln h=\ln\varrho+j\psi$ определена во внутренности первого клина. На границах (т.е. на конусе Con ) полярная система координат не работает и требуется дополнительное исследование поведения отображения $ h\mapsto \ln h,$ на котором мы здесь не останавливаемся.

4.3.  Тригонометрические функции $ \sin h,$ $ \cos h$ и обратные к ним

С учетом правил $ \{1\}$ , $ \{2\}$ получаем:

$\displaystyle \sin h=\sin(t+jx)=\sin t\cos x+j\sin x\cos t.$ (70)
Нетрудно видеть, что линии $ x=$const и $ t=$const отображаются в семейства эллипсов с центром в точке $ (0;0).$ Эти линии наматываются на соответствующие эллипсы бесконечное число раз. Глобальную структуру отображения $ h\mapsto \sin h$ удобнее представить с помощью системы фундаментальных квадратов, один из которых представлен на рис. 13 (слева).
\includegraphics[width=.35\textwidth]{sin1a.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{sin2a.eps}
Рис. 13. Глобальная структура отображения $ h\mapsto \sin h.$ Фундаментальный квадрат (самый большой слева) отображается функцией $ \sin $ в квадрат с вершинами в единичных точках на осях (наибольший квадрат справа).


Вся плоскость переменной $ h$ покрывается такими квадратами, сдвинутыми на векторы $ (k\pm jm)\pi/2,$ $ k\in \mathbb{Z},$ то есть отображение $ h\mapsto \sin h$ бесконечнолистно. При этом отображение $ h\mapsto \sin h$ в двух соседних квадратах имеет противоположные знаки якобиана отображения, то есть, меняет ориентацию базиса на плоскости. Нетрудно убедиться, что отображение $ h\mapsto\cos h$ устроено аналогично, только все семейство "фундаментальных квадратов" сдвинуто на плоскости переменной $ h$ влево на $ \pi/2$ (поскольку $ \cos h=\sin(h+\pi/2).$ ) Соответственно функции $ \arcsin$ и $ \arccos$ можно определить на квадрате с вершинами в точках $ (1;0),(0;1), (-1;0),(0;-1).$ Явные формулы для арксинуса и арккосинуса имеют вид:

$\displaystyle \arcsin h=\frac{1}{2}[\arcsin((t+x)\sqrt{1-(t-x)^2}+(t-x)\sqrt{1-(t+x)^2})+ $

$\displaystyle j\arcsin((t+x)\sqrt{1-(t-x)^2}-(t-x)\sqrt{1-(t+x)^2})]+2\pi(m+jn) $

$\displaystyle \arccos h=\frac{1}{2}[\arccos(t^2-x^2-\sqrt{1-(t-x)^2}\sqrt{1-(t+x)^2})+ $

$\displaystyle j\arccos(t^2-x^2+\sqrt{1-(t-x)^2}\sqrt{1-(t+x)^2})]+2\pi(m+jn), $

где $ m,n\in\mathbb{Z}.$

4.4.  Тригонометрические функции $ \tan h$ , $ \cot h$ и обратные к ним

Выделяя с помощью правил $ \{1\}$ , $ \{2\}$ в функции $ w=\tan h$ вещественную и мнимую часть после элементарных преобразований получаем:

$\displaystyle \tan h=\frac{\sin 2t+ j\sin 2x}{\cos 2t+\cos 2x}. $

Эта функция отображает квадрат с центром в точке $ (0;0)$ и стороной $ \pi/2$ в область, ограниченную гиперболами, а прямоугольную сетку в исходном квадрате -- в симметричную гиперболическую сетку внутри области (рис. 14).
\includegraphics[width=.35\textwidth]{tan1.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{tan2.eps}
Рис. 14. Структура отображения $ h\mapsto \tan h.$


В целом функция $ h\to \tan h$ бесконечнолистна. Ее листы представляют собой квадраты, получаемые из фундаментального квадрата $ (\pi/2;0),(0;\pi/2),$ $ (-\pi/2;0),(0;-\pi/2)$ (см. рис. 13 слева) трансляциями на векторы кратные $ \pi$ по $ t$ и $ x.$ Ввиду тождества $ \cot h=-\tan(h-\pi/2),$ аналогично устроена функция $ w=\cot h.$ Функции $ \arctan$ и arccot многозначны. К примеру, функция $ \arctan h$ имеет следующий явный вид в координатах:

$\displaystyle \arctan h=\frac{1}{2}\left\{\arctan\left[\frac{2t}{1-t^2+x^2}\right]+j\arctan\left[\frac{2x}{1+t^2-x^2}\right]\right\}+\pi(m+nj), $

где $ m,n\in\mathbb{Z}.$

4.5.  Гиперболические функции $ \sinh h$ , $ \cosh h$ , $ \tanh h$ , $ \coth h$ и обратные к ним

Выделяя с помощью правил $ \{1\}$ , $ \{2\}$ в функции $ w=\sinh h$ вещественную и мнимую часть, приходим к выражению:

$\displaystyle \sinh h=\sinh t\cosh x+j\sinh x\cosh t. $

Нетрудно видеть, что прямоугольная координатная сетка $ (t,x)$ отображается в гиперболическую сетку на плоскости образов $ w$ (рис. 15).
\includegraphics[width=.35\textwidth]{sinh1.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{sinh2.eps}
Рис. 15. Структура отображения $ h\mapsto \sinh h.$

Отображение $ h\mapsto\sinh h$ -- взаимно-однозначно, поэтому обратное отображение Arsh определено на всей двойной плоскости. Его явный координатный вид дается формулой:

   Arsh$\displaystyle h=\frac{1}{2}\left(\text{Arsh}[(t+x)\sqrt{1+(t-x)^2}+(t-x)\sqrt{1+(t+x)^2}]+\right. $

$\displaystyle \left. j\text{Arsh}[(t+x)\sqrt{1+(t-x)^2}-(t-x)\sqrt{1+(t+x)^2}]\right). $

Ввиду двулистности гиперболического косинуса отображение

$\displaystyle \cosh h=\cosh t\cosh x-j\sinh t\sinh x $

устроено иначе. Первый клин с вершиной в нуле отображение $ \cos h$ биективно отображает в первый клин с вершиной в точке $ 1.$ При этом декартова сетка переходит в сетку ортогональных гипербол. В этот же клин переходят и остальные клинья с вершиной в точке 0 (рис. 16).
\includegraphics[width=.35\textwidth]{cosh1.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{cosh2.eps}
Рис. 16. Структура отображения $ h\mapsto \cosh h.$

В целом глобальная структура отображения $ \cosh h$ иллюстрируется рисунком 10, в котором вершины клиньев сдвинуты на единицу вправо. Таким образом, гиперболический косинус -- 4-листная функция, а гиперболический арккосинус -- 4-значная с римановой поверхностью, представленной на рис. 11. Его явное координатное представление дается формулой:

   Arch$\displaystyle h=\frac{1}{2}($Arch$\displaystyle [t^2-x^2-\sqrt{(t+x)^2-1}\sqrt{(t-x)^2-1}]+ $

$\displaystyle j$Arch$\displaystyle [t^2-x^2+\sqrt{(t+x)^2-1}\sqrt{(t-x)^2-1}]). $

Функция

$\displaystyle \tanh h\equiv\frac{\sinh h}{\cosh h}=\frac{\tanh t(1-\tanh^2x)}{1-\tanh^2 t\tanh^2 x}+j\frac{\tanh x(1-\tanh^2 t)}{1-\tanh^2 t\tanh^2 x} $

отображает двойную плоскость на внутренность единичного квадрата с вершинами в точках $ (1,0),$ $ (0,1),$ $ (-1,0),$ $ (0,-1),$ а квадрат со стороной два с ортогональной сеткой -- в некоторую внутреннюю часть квадрата-образа двойной плоскости (рис. 17).
\includegraphics[width=.35\textwidth]{tanh1.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{tanh2.eps}
Рис. 17. Структура отображения $ h\mapsto \tanh h.$

Гиперболический тангенс -- функция однолистная, поэтому обратная функция Arctanh однозначна на области определения. Ее выражение в координатах дается формулой:

   Arctanh$\displaystyle h=\frac{1}{2}($Arth$\displaystyle (t+x)+$Arth$\displaystyle (t-x)+j($Arth$\displaystyle (t+x)-$Arth$\displaystyle (t-x))). $

Функция

$\displaystyle \coth h\equiv \frac{\cosh h}{\sinh h}=\frac{\coth t(1-\coth^2x)+j\coth x(1+\coth^2 t)}{\coth^2t-\coth^2 x} $

является в определенном смысле дополнительной к функции $ \tanh h$ : она отображает всю плоскость $ \mathcal{H}$ на внешность квадрата на рис. 17 (справа). При этом прямоугольная координатная сетка переходит в ортогональное семейство гипербол, которые пересекаются в бесконечно-удаленной точке. Функция $ \cot h$ -- однолистная и обратная к ней функция Arccoth -- однозначная в своей области определения (внешности квадрата). Ее выражение в координатах дается формулой:

   Arccoth$\displaystyle h=\frac{1}{2}($Arcth$\displaystyle (t+x)+$Arcth$\displaystyle (t-x)+j($Arcth$\displaystyle (t+x)-$Arcth$\displaystyle (t-x))). $

След.: 5.  Изотропный базис и Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 3.  Алгебра и геометрия