вход

Оглавление



10.  Теорема и формула Коши

Остановимся на гиперболической версии интегральных теоремы и формулы Коши. Прежде всего, определим интеграл от непрерывной функции двойной переменной по кусочно-гладкой регулярной кривой $ \Gamma\subset H.$ Очевидно, что значение этого интеграла (двойное число!) не зависит от выбора алгебраического базиса, поэтому дадим определение интеграла в изотропном базисе, в котором оно будет математически наиболее простым:

$\displaystyle \int\limits_\Gamma F dh\equiv \left(\int\limits_{\pi_1(\Gamma)}F_1 d\xi_1\right)e_1+\left(\int\limits_{\pi_2(\Gamma)}F_2 d\xi_1\right)e_2,$ (108)
где $ \pi_i$ $ (i=1,2)$ -- проекции на оси изотропной системы координат. Предположим теперь, что функция $ F$ $ h$ -голоморфна и интегрирование в (108) производится по замкнутому контуру. В этом случае проекции $ \pi_i(\Gamma)$ также будут замкнутыми контурами на $ \mathbb{R}$ и в силу известных свойств аддитивности и антисимметричности обычного вещественного интеграла, мы будем иметь:

$\displaystyle \oint\limits_{\pi_1(\Gamma)}F_1(\xi_1) d\xi_1=0;\quad \int\limits_{\pi_2(\Gamma)}F_2(\xi_2) d\xi_1=0$ (109)
для дифференцируемых (и даже просто непрерывных) функций $ F_1(\xi_1)$ и $ F_2(\xi_2).$ Таким образом, из (108)-(109) для $ h$ -голоморфных функций имеет место гиперболическая интегральная теорема Коши:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}F dh=0$   для всякой$\displaystyle \quad F\in$Hol$\displaystyle (H).$ (110)
С помощью языка комплексных дифференциальных форм формула (110) доказывается еще быстрее:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}F(h) dh=\int\limits_{\text{Int}(\partial^{-1}\Gamma)}F_{\bar h} d\bar h\wedge dh=0 $

с учетом (95). На самом деле, область применимости формулы (110) существенно выходит за рамки $ h$ -дифференцируемых функций. Пусть у функции $ F$ есть особая точка $ (a_1,a_2)$ , характеризующаяся пересечением пары особых линий15. Перейдем от исходного интеграла (который теперь в обычном смысле может не существовать) к регуляризованному:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma} F dh\to \oint\limits_{\Gamma_\varepsilon} F dh = $

$\displaystyle =\left(\int\limits_{\pi_1(\Gamma)\setminus a_{1\varepsilon}}F_1 ... ...ft(\int\limits_{\pi_2(\Gamma)\setminus a_{2\varepsilon}}F_2 d\xi_1\right)e_2,$ (111)
где $ a_{i\varepsilon}$ -- стандартная $ \varepsilon$ -окрестность $ a_i.$ Интеграл (111) хорошо определен и равен нулю, независимо от $ \varepsilon,$ поскольку любой участок вещественной оси проходится проекцией замкнутого контура равное число раз в прямом и обратном направлении. Отсюда следует, что

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma} F dh=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\oint\limits_{\Gamma_\varepsilon} F dh=0$ (112)
и при наличии особых точек у функции $ F.$ Из (112), в частности, следует, что

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}(h-h_0)^{2n+1} dh=0,\quad n\in \mathbb{Z}; $

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma} ($abs$\displaystyle (h-h_0))^\alpha dh=0,\quad \alpha\in\mathbb{R},$ (113)
где abs$ (h)\equiv\vert h_1\vert e_1+\vert h_2\vert e_2.$ Также для $ h$ -голоморфной функции $ F$ без особых точек имеем тождество:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}\frac{F(h)}{h-h_0} dh=0,$ (114)
выражающее гиперболическую версию интегральной теоремы Коши. Следует отметить, что формулы (112)-(114) получены с помощью определенной (возможно, в каком-то смысле наиболее естественной) процедуры регуляризации, которую далее мы будем называть изотропной регуляризацией. Рассмотрим другую процедуру регуляризации, связанную с вычислениями интегралов в гиперболической полярной системе координат (полярная регуляризация). Предположим, что точка $ h_0$ лежит внутри контура $ \Gamma$ в (114). В силу интегральной теоремы Коши (110) интеграл слева в (114) не зависит от выбора контура интегрирования в классе гомотопных контуров. Деформируем $ \Gamma\to S_r,$ где $ S_r(h_0)$ -- (евклидова) окружность радиуса $ r$ с центром в точке $ h_0,$ при этом интеграл (114) не зависит от радиуса этой окружности (см. рис. 23).

\begin{picture}(32.00,30.17) \unitlength=1.70mm \emline{1.17}{15.00}{1}{30.00}{1... ...{45}{13.17}{12.50}{46} \emline{14.25}{11.75}{47}{12.92}{12.08}{48} \end{picture}
Рис. 23. К выводу интегральной теоремы Коши на плоскости двойной переменной.

В результате будем иметь:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}\frac{F(h)}{h-h_0} dh=\oint\limits_{S_r(h_0)}\frac{F(h)}{h-h_0} dh.$ (115)
Сделаем теперь замену переменной: $ h= h_0+J\varrho(r,\psi)e^{j\psi},$ где функция $ \varrho(r,\psi)e^{j\psi}=rf(\psi)e^{j\psi}$ является полярно-параметрическим заданием евклидовой окружности $ S_r(0)$ в терминах гиперболической полярной системы координат16. При этом нам потребуется лишь только однозначность функции $ f.$ Переходя к интегрированию по $ \psi,$ получаем: $ h-h_0=Jrf(\psi)e^{j\psi},$ $ dh=Jr(df+jf d\psi)e^{j\psi},$ а сам интеграл Коши принимает вид:

$\displaystyle \oint\limits_{S_r(h_0)}F(h)(d\ln f+j d\psi). $

Используя независимость интеграла от $ r$ и переходя в нем к пределу при $ r\to 0,$ получаем:

$\displaystyle \oint\limits_{S_r(h_0)}F(h)(d\ln f+j d\psi)=\lim\limits_{r\to0} ... ...its_{S_r(h_0)}F(h)(d\ln f+j d\psi)=F(h_0)\int\limits_{\Psi}(d\ln f+j d\psi). $

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу однозначности функции $ \ln f.$ Таким образом, приходим к следующей формуле гиперболической версии интегральной формулы Коши:

$\displaystyle \oint\limits_{\Gamma}\frac{F(h)}{h-h_0} dh=jF(h_0)\int\limits_{\Psi}d\psi. $

В обычном смысле интеграл, полученный справа, расходится. Однако ему можно придать смысл, вводя формальную величину $ \pi_H$ размера гиперболического пространства направлений по формуле:

$\displaystyle \pi_H\equiv\int\limits_{\mathbb{R}}d\psi.$ (116)
С учетом ориентации кусков $ R$ в $ \Psi$ (см. рис. 6), получаем:

$\displaystyle \int\limits_{\Psi}d\psi=\pi_H-\pi_H+\pi_H-\pi_H=0,$ (117)
что вопроизводит результат (интегральную теорему Коши), полученный выше в изотропной регуляризации. Формула (117) теперь однако подсказывает, как нужно модифицировать контур, чтобы получить более содержательный аналог стандартной формулы Коши. Рассмотрим замкнутый контур $ \Gamma_r$ вида, представленного на рисунке 24.

\begin{picture}(31.17,31.67) \unitlength=1.70mm \emline{1.17}{15.00}{1}{30.00}{1... ...{49}{18.83}{11.08}{50} \emline{18.83}{11.08}{51}{17.58}{11.92}{52} \end{picture}
Рис. 24. К выводу интегральной теоремы Коши на плоскости двойной переменной: контур $ \Gamma_r.$

Этот контур состоит из двух дуг произвольных кусочно-гладких простых кривых, лежащих в областях $ \vert t-t_0\vert\ge\vert x-x_0\vert$ и опирающихся своими концами на компоненты конуса Con$ (h_0),$ отрезков этого конуса, и пары двух дуг евклидовой окружности радиуса $ r$ с центром в $ h_0,$ опирающихся на компоненты конуса Con$ (h_0).$ Интеграл типа Коши по контуру $ \Gamma_r$ равен нулю в том же обобщенном смысле, что и (117), ввиду того, что контур $ \Gamma_r$ является гомотопией исходного контура $ \Gamma$ в области голоморфности функции $ F(h)/(h-h_0).$ Теперь имеем

$\displaystyle 0=\oint\limits_{\Gamma_r}\frac{F(h)}{h-h_0} dh=\oint\limits_{S_r(h_0)}\frac{F(h)}{h-h_0} dh+\oint\limits_{\Gamma'_r}\frac{F(h)}{h-h_0} dh,$ (118)
где $ \Gamma'_r\equiv\Gamma_r\setminus S_r(h_0).$ Вводя на $ S_r(h_0)$ гиперболическую полярную систему координат, повторяя предыдущие рассуждения и используя свойства функции $ f(\psi)$ (ее четность по $ \psi$ ), задающей полярное уравнение евклидовой окружности, получаем

$\displaystyle \lim\limits_{r\to0}\oint\limits_{S_r(h_0)}\frac{F(h)}{h-h_0} dh=-2j\pi_HF(h_0),$ (119)
откуда из (118) получаем более прямой гиперболический аналог формулы Коши:

$\displaystyle F(h_0)=\frac{1}{2\pi_Hj}\oint\limits_{\Gamma_0}\frac{F(h)}{h-h_0} dh,$ (120)
где контур $ \Gamma_0=\lim\limits_{r\to0}\Gamma'_r.$ По своему виду полученная формула формально вполне эквивалентна стандартной формуле (41) с заменой размера пространства евклидовых направлений $ 2\pi$ на размер пространства гиперболических направлений $ 2\pi_H$ в паре клиньев с одинаковым знаком $ h\bar h.$ Величину $ \pi_H$ можно считать "фундаментальной константой" геометрии двойных чисел. При вычислениях с этой константой надо аккуратно учитывать ее свойства и использовать надлежащую процедуру регуляризации выражений.


Пример. В качестве примера проиллюстрируем работу формулы Коши путем явного вычисления интеграла по контуру $ \Gamma_1.$


\begin{picture}(50.56,50.00) \unitlength=1.50mm \emline{0.89}{25.00}{1}{50.33}{2... ...}{8.00}{8.00}{32} \put(46.11,44.11){\makebox(0,0)[lc]{$\Gamma_1$}} \end{picture}
Рис. 25. К выводу интегральной теоремы Коши на плоскости двойной переменной: контур $ \Gamma_1.$

Имеем

$\displaystyle \frac{1}{\pi_Hj}\oint\limits_{\Gamma_1}\frac{F(h)}{h-h_0} dh=\f... ...h_0)}{h-h_0} dh+\frac{F(h_0)}{\pi_Hj}\oint\limits_{\Gamma_1}\frac{dh}{h-h_0}.$ (121)
Подынтегральное выражение в первом интеграле -- голоморфная функция в области, ограниченной контуром $ \Gamma_1$ и на нем самом, поэтому этот интеграл обращается в нуль. На верхней компоненте конуса Con$ (р_0)$ выберем в качестве переменной интегрирования переменную $ t\in[t_0+\tau_1,t_0],$ а на нижней -- переменную $ t\in[t_0,t_0+\tau_2],$ где $ \tau_1,\tau_2$ -- абсциссы концевых точек криволинейной части контура $ \Gamma_1$ (соответственно верхнего и нижнего концов) в системе координат с началом в точке $ h_0.$ Таким образом, интегралы по компонентам конуса дают следующий вклад:

$\displaystyle \frac{F(h_0)}{\pi_Hj}\left[\int\limits_{t_0+\tau_1}^{t_0}\frac{(1... ...)(t-t_0)}+\int\limits_{t_0}^{t_0+\tau_2}\frac{(1-j) dt}{(1-j)(t-t_0)}\right]= $

$\displaystyle \frac{F(h_0)}{\pi_Hj}(\ln 0-\ln\tau_1+\ln\tau_2-\ln 0)=\frac{F(h_0)}{\pi_Hj}\ln(\tau_2/\tau_1)=0. $

В предпоследнем равенстве было учтено сокращение двух одинаковы логарифмически сингулярных членов, а в последнем учтено "свойство бесконечности" фундаментальной константы $ \pi_H.$ Таким образом, вклад в интеграл Коши дает только участок $ \Gamma'$ контура между компонентами конуса Con$ (h_0)$ . Переходя к полярной системе координат с центром в точке $ h_0$ получаем:

$\displaystyle \frac{F(h_0)}{\pi_Hj}\int\limits_{\Gamma'}\frac{dh}{h-h_0}=\frac{F(h_0)}{\pi_Hj}\int\limits_{R}(d\ln\varrho+d\psi). $

Интеграл от первого слагаемого дает нуль в силу того, что на концах контура $ \Gamma'$ $ \varrho=0.$ Интегрируя второе слагаемое с учетом (116), приходим к результату $ F(h_0),$ что и утверждает гиперболическая формула Коши.
След.: 11.  "Фракталы" на двойных Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 9.  - голоморфные функции