вход

Оглавление



14.  Конформная теория относительности

Расширим теперь группу Пуанкаре P(1,1), действующую на двумерном пространстве-времени $ \mathcal{M}_{1,1},$ до группы произвольных $ h$ -голоморфных преобразований, которые действуют на точки-события пространства-времени как на элементы алгебры $ H.$ Ввиду нелинейности таких преобразований, глобальная аффинная структура $ \mathcal{M}_{1,1}$ в общем случае не сохраняется и необходимо переходить к локальной версии отображения -- его дифференциалу. На алгебраическом языке дифференциал отображения $ F: h\mapsto F(h)$ осуществляет отображение касательных пространств по формуле:

$\displaystyle \xi_h \mapsto \chi_{F(h)}=F'\xi_h.$ (164)
где $ \xi_h\in T_h Н,$ $ \chi_{F(h)}\in T_{F(h)}H,$ $ h=t+jx.$ Используя экспоненциальное представление для производной $ F'$ :

$\displaystyle F'(h)=J\vert F'\vert(t,x)e^{j\psi(t,x)},$ (165)
приходим к заключению о том, что локально $ h$ -голоморфные преобразования осуществляют:
  1. преобразования Лоренца, зависящие от точки (поворот на гиперболический угол $ \psi(t,x)$ );
  2. отражения осей времени и пространственной координаты (параметр $ I$ );
  3. растяжение длин векторов (скалярный множитель $ \vert F'\vert(t,x)$ ).
Первые два типа преобразований, по существу, рассматриваются и в стандартной версии СТО. Разница преобразований Лоренца в конформной СТО и обычной СТО заключается в том, что первые действуют локально, т.е. параметр $ \psi$ зависит от точки, в то время как в стандартной СТО мы используем глобальные преобразования Лоренца, сохраняющие аффинную структуру пространства-времени25. Таким образом, в локальной версии $ h$ -голоморфных преобразований пространства-времени $ \mathcal{M}_{1,1}$ единственными новыми элементами являются растяжения псевдоевклидовых длин (интервалов), описываемое модулем производной $ \vert F'\vert.$ В случае стандартных преобразований Лоренца $ \vert F'\vert=1$ и конформная степень свободы исчезает. Перейдем к физической интерпретации $ h$ -голоморфных отображений. При этом в качестве эвристического руководящего принципа мы будем придерживаться принципа аналогии с комплексной плоскостью. Голоморфная функция на комплексной плоскости может быть как динамическим (электростатика), так и кинематическим (гидродинамика) потенциалом. Эти две точки зрения могут быть в определенном смысле эквивалентными друг другу, аналогично тому как силовой и геометрический способы описания гравитации в некоторых ситуациях эквивалентны друг другу в рамках ОТО. Будем рассматривать функцию $ F=U+jV$ как комплексный потенциал обобщенной системы отсчета, состоящей из пары полей (пространственно-временной диады) $ \mathfrak{u}$ и $ \mathfrak{s}.$ Времени-подобная монада (поле обобщенной 2-скорости) $ \mathfrak{u}$ будет определяться формулой:

$\displaystyle \mathfrak{u}={\frac{dF}{dh}}=\frac{\partial U}{\partial t}+j\frac{\partial U}{\partial x}, \vrule depth15pt width0pt$ (166)
в которой использованы определение (96) оператора комплексного дифференцирования и гиперболические условия Коши-Римана (100). Аналогично, пространственно-подобная монада

$\displaystyle \mathfrak{s}=j\mathfrak{u}=V_{,t}+jV_{,x}.$ (167)
Монады $ \mathfrak{u}$ и $ \mathfrak{s}$ удовлетворяют соотношениям:

$\displaystyle \mathfrak{u}\star\mathfrak{s}=0;\quad \vert\mathfrak{u}\vert^2=\vert\mathfrak{s}\vert^2=(\triangledown U)^2=(\triangledown V)^2=\vert F'\vert^2.$ (168)
Мы видим, что в отличие от СТО (и ОТО), диада, задающая, систему отсчета, не является нормированной, хотя остается ортогональной. В связи с этим, будем рассматривать голоморфный потенциал $ F=U+jV$ как обобщенную систему отсчета, которая определяет промежутки времени и пространственные длины в пространстве-времени $ \mathcal{M}_{1,1}$ согласно формул:

$\displaystyle \frac{d\tau}{ds}=\mathfrak{u}\star\dot\gamma=\triangledown U\star... ...rak{s}\star\dot\gamma=\triangledown V\star\dot\gamma, \vrule depth15pt width0pt$ (169)
где $ \gamma$ -- кривая в натуральной параметризации ( $ \dot\gamma$ -- поле 2-скорости на $ \gamma,$ точка -- дифференцирование по натуральному параметру $ s$ ). В случае тривиального потенциала $ F(h)=h,$ $ U=t,$ $ V=x,$ мы получаем:

$\displaystyle \Delta\tau=\Delta t;\quad \Delta l=\Delta x$ (170)
-- совпадение промежутков времени и длин с приращениями соответствующих координат. Из формул (169) нетрудно видеть, что в общем случае мы будем иметь формулы, обобщающие (170):

$\displaystyle \Delta\tau_{AB}=\int\limits_{A}^B\triangledown U\star\dot\gamma ds=\int\limits_{A}^B dU=U(B)-U(A); $

$\displaystyle \Delta\ell_{AB}=\int\limits_{A}^B\triangledown V\star\dot\gamma ds=\int\limits_{A}^B dV=V(B)-V(A).$ (171)
Таким образом, можно сказать что время и длина в рассматриваемой нами конформной теории относительности (КТО) "потенциальны": промежутки времени и длины между парой событий не зависят от выбора пути, который их соединяет (но, конечно, зависят от выбора обобщенной системы отсчета). Линии $ U=$const естественно считать множествами одновременных событий, а линии $ V=$const -- множествами одноместных событий в системе отсчета, ассоциированной с $ F=U+jV.$ При этом с первым семейством линий можно связать семейство криволинейных пространственных осей обобщенной системы отсчета, а со вторым -- семейство ее линий времени. Сравнивая формулы (171) с (130) из раздела 12.1, приходим к еще одной интерпретации промежутков времени и длины: промежуток времени между парой событий $ A$ и $ B$ представляет собой циркуляцию поля $ \mathfrak{u}$ вдоль любой кривой, соединяющей $ A$ и $ B,$ а пространственная длина -- его поток (для поля $ \mathfrak{s}$ все наоборот). Физико-геометрический смысл величины $ \vert F'\vert=\vert\triangledown U\vert=\vert\triangledown V\vert$ можно прояснить, если в качестве кривой $ \gamma$ в (169) рассмотреть интегральную кривую одного из полей $ \triangledown U$ или $ \triangledown V.$ Прежде всего докажем одно любопытное свойство таких кривых, вытекающее из потенциальности пространственно-временных промежутков. Составим уравнения интегральных кривых, к примеру, поля $ \triangledown U$ :

$\displaystyle \frac{dt}{d\lambda}=\frac{\partial U}{\partial t};\quad \frac{dx}{d\lambda}=\frac{\partial U}{\partial x}, \vrule depth15pt width0pt$ (172)
где $ \lambda$ -- параметр на искомой кривой. Вычислим смешанные производные $ \partial^2U/\partial t\partial x$ из первого и второго уравнения в (172) независимо. Имеем для первого уравнения

$\displaystyle \frac{\partial^2 U}{\partial x\partial t}=\frac{\partial }{\parti... ...ac{dt}{d\lambda}=\frac{d^2t}{d\lambda^2}\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^{-1}. $

Аналогично для второго уравнения

$\displaystyle \frac{\partial^2 U}{\partial t\partial x}=\frac{\partial }{\parti... ...ac{dx}{d\lambda}=\frac{d^2x}{d\lambda^2}\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^{-1}. $

Приравнивая полученные выражения получаем после простых преобразований

$\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\left(\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2-\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 \right)=0,$ (173)
откуда следует

$\displaystyle \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2-\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 =C=$const$\displaystyle , \vrule depth15pt width0pt$ (174)
-- натуральность параметра $ \lambda$ (с точностью до константы -- в дальнейшем мы везде полагаем $ C=1$ ). Аналогичный результат получается и для интегральных кривых градиента $ V.$ Пусть теперь $ \gamma_1$ -- отрезок интегральной кривой поля $ \triangledown U,$ а $ \gamma_2$ -- отрезок интегральной кривой поля $ V.$ С учетом доказанного свойства имеем $ \dot\gamma_1=\triangledown U/\vert\triangledown U\vert,$ $ \dot\gamma_2=\triangledown V/\vert\triangledown V\vert$ Подставляя это в (169), получаем:

$\displaystyle \frac{d\tau}{ds}=\vert\triangledown U\vert;\quad \frac{d\ell}{ds}=\vert\triangledown V\vert. \vrule depth15pt width0pt$ (175)
Таким образом величина $ \vert\triangledown U\vert=\vert\triangledown V\vert=\vert F'\vert$ выступает как множитель, связывающий в каждой точке геометрическую длину элемента соответствующей линии системы отсчета с отнесенными к нему промежутку времени и пространственной длине. В СТО для преобразований Лоренца имеем $ \vert F'\vert=1.$

14.1.  Конформный сдвиг частоты

Проанализируем с позиций излагаемой конформной теории относительности процедуру сравнения хода пространственно разделенных часов. Пусть $ \Gamma_1$ и $ \Gamma_2$ -- мировые линии двух часов, которые рассматриваются в 2-мерном пространстве времени в некоторой конформной калибровке, задаваемой $ h$ -голоморфным потенциалом $ F=U+jV$ (рис. 32).

\begin{picture}(56.00,43.67) \unitlength=1mm \bezier{180}(26.50,41.67)(10.50,27.... ...Gamma_1$}} \put(31.33,28.33){\makebox(0,0)[cc]{$\triangledown U$}} \end{picture}
Рис. 32. К процедуре сравнения хода часов в $ h$ -голоморфной теории относительности.

Рассмотрим пару близких точек на интегральной кривой $ \Gamma_2$ : точку $ p=(t(s_2),x(s_2))$ и точку $ p'=(t(s_2+\Delta s_2),x(s_2+\Delta s_2)),$ где $ s_2$ -- натуральный параметр на кривой $ \Gamma_2.$ Переходя к линеаризованным выражениям, получаем:

$\displaystyle t'=t(s_2+\Delta s_2)=t(s_2)+\dot t \Delta s_2+o(\Delta s_2);$ (176)

$\displaystyle x'=x(s_2+\Delta s_2)=x+\dot x\Delta s_2+o(\Delta s_2),$ (177)
где точка означает дифферецирование по параметру $ s_2.$ С учетом правил (169), хроноинтервал, приходящийся на рассматриваемый отрезок $ \Delta s_2$ мировой линии $ \Gamma_2,$ можно вычислить по формуле:

$\displaystyle d\tau_2=\triangledown U\star (\dot t \partial_t+\dot x\partial_x)\Delta s_2=\frac{dU}{ds_2}\Delta s_2. \vrule depth15pt width0pt$ (178)
Линии конусов прошлого Con$ (p)$ и Con$ (p')$ высекают на мировой линии $ \Gamma_1$ пару точек $ P=(T,X)$ и $ P'=(T',X')$ соответственно. Условие принадлежности пары точек $ \{p,P\}$ одной компоненте конуса приводит к соотношению

$\displaystyle T(s_1)-X(s_1)=t(s_2)-x(s_2),$ (179)
определяющему связь параметров $ s_1$ (натуральный параметр на мировой линии $ \Gamma_1$ ) и $ s_2,$ при которых часы оказываются связаны световым сигналом. Для часов $ 1$ имеем аналогично формуле (178):

$\displaystyle d\tau_1=\triangledown U\star (\dot T \partial_t+\dot X\partial_x)\Delta s_1=\left.\frac{dU}{ds_1}\right\vert _{\text{Con}(p)}\Delta s_1.$ (180)
Дифференцируя соотношение (179), приходим к связи длин отрезков мировых линий часов:

$\displaystyle d s_1=\frac{\dot t-\dot x}{(\dot T-\dot X)\vert _{\text{Con}(p)}}ds_2.$ (181)
Теперь из (178) и (180) с учетом (181) получаем:

$\displaystyle \delta(P\vert p)\equiv\frac{d\tau_1}{d\tau_2}=\frac{\Delta_{P}}{\Delta_p}, \vrule depth15pt width0pt$ (182)
где

$\displaystyle \Delta_p\equiv\frac{dU/ds_2}{\dot t-\dot x};\quad \Delta_{P}\equiv\left.\frac{dU/ds_1}{\dot T-\dot X}\right\vert _{\text{Con}(p)}.$ (183)
Формулы (182)-(183) описывают принципиально наблюдаемый эффект конформной деформации собственного времени, измеряемый путем обмена световыми сигналами между двумя пространственно разделенными часами. Величина $ \delta(P\vert p)$ показывает скорость хода часов в точке $ P$ в единицах собственного времени часов в точке $ p,$ расположенной на конусе будущего точки $ P,$ в конформной калибровке $ F=U+jV.$ В качестве примера рассмотрим эффект конформной деформации времени, индуцированной слабой конформной волной вида:

$\displaystyle F(h)= h+\varepsilon\sin\omega h,\quad \vert\omega\varepsilon\vert _2\ll1.$ (184)
Полагая $ \varepsilon=\varepsilon_1+j\varepsilon_2,$ $ \omega=\omega_1+j\omega_2,$ получаем для $ F(h)=U(t,x)+jV(t,x)$ в компонентах:

$\displaystyle U(t,x)=t+\varepsilon_1\sin\Phi_1\cos\Phi_2+\varepsilon_2\sin\Phi_2\cos\Phi_1;$ (185)

$\displaystyle V(t,x)=x+\varepsilon_1\sin\Phi_2\cos\Phi_1+\varepsilon_2\sin\Phi_1\cos\Phi_2,$ (186)
где $ \Phi_1=\omega_1t+\omega_2x,$ $ \Phi_2=\omega_2t+\omega_1x.$ Рассмотрим пару покоящихся на расстоянии $ L$ друг от друга часов26. Такие часы описываются компонентами 2-скорости: $ \dot t=\dot T=1,$ $ \dot x=\dot X=0.$ Формулы (182)-(183) приводят к простому выражению эффекта конформной деформации времени (координаты $ (t,x)$ -- произвольные текущие координаты опорных часов):

$\displaystyle \delta((t-L,x-L)\vert(t,x))=\frac{U_{,t}(t-L,x-L)}{U_{,t}(t,x)}.$ (187)
Элементарные вычисления приводят к выражению:

$\displaystyle U_{,t}(t,x)=1+\varepsilon_1(\omega_1\cos\Phi_1\cos\Phi_2-\omega_2... ...hi_2)+\varepsilon_2(\omega_2\cos\Phi_2\cos\Phi_1-\omega_1\sin\Phi_2\sin\Phi_1);$ (188)

$\displaystyle U_{,t}(t-L,x-L)=U_{,t}(t,x)\vert _{\Phi_i\to\Phi_i-\delta},$ (189)
где $ \delta=(\omega_1+\omega_2)L.$ Подставляя (188)-(189) в формулу (187) и используя условие малости конформной деформации, после элементарных тригонометрических преобразований получаем следующее выражение для относительного хода часов:

$\displaystyle \delta((t-L,x-L)\vert(t,x))\approx1+(\varepsilon_1+\varepsilon_2)(\omega_1+\omega_2)\sin[(\omega_1+\omega_2)L]\sin[(\omega_1+\omega_2)(t+x-L)].$ (190)
Формула (190) показывает, что в конформной теории относительности относительная скорость хода часов испытывает пространственно-временную модуляцию, которая в принципиальном отношении доступна измерению посредством эксперимента. В реальном эксперименте удобнее измерять не скорость хода часов, а сдвиг частоты двух идентичных точечных электромагнитных излучателей. Формула для относительного сдвига частоты в этом случае:

$\displaystyle \frac{d\omega_2}{d\omega_1}-1=-(\varepsilon_1+\varepsilon_2)(\ome... ...(\omega_1+\omega_2)L]\sin[(\omega_1+\omega_2)(t+x-L)] \vrule depth15pt width0pt$ (191)
получается очевидным образом из формулы (190). Идея обсуждаемого здесь эксперимента, связанного с эффектом конформной деформации темпа хода часов, легла в основу реальных экспериментов с кварцевыми генераторами, организованных и проведенных сотрудниками НИИ ГСГФ [33]. Анализ усредненных разностных спектров, приводит к обнадеживающему предварительному выводу о том, что сильно нестационарный локализованный в пространстве и времени процесс (в реальных экспериментах исследовался удар тяжелой стальной болванки о стальное основание) может приводить к эффекту конформной деформациии пространства времени в пространственно-временной окрестности этого процесса.
След.: 15.  Алгебраическая теория пространства-времени-материи Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 13.  2-мерная СТО