вход

Оглавление



7.  Дробно-линейные преобразования и функция Жуковского на $ H$

Теперь мы можем определить семейство дробно-линейных преобразований $ {\rm PL}(2,H)$ плоскости двойной переменной как голоморфный дробно-линейный автоморфизм: $ H^\circledcirc\to H^\circledcirc$ вида:

$\displaystyle {\rm PL}(2,H)\ni D^H_M: h\mapsto D^H_M(h)=\frac{ah+b}{ch+d} = \vrule depth15pt width0pt $

$\displaystyle =\frac{a_1h_1+b_1}{c_1h_1+d_1}e_1+\frac{a_2h_2+b_2}{c_2h_2+d_2}e_2, \vrule depth15pt width0pt$ (82)
где

$\displaystyle M= \left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right). $

-- матрица, элементами которой являются двойные числа из $ H^\circledcirc.$ Как это видно из представления элемента $ D_M^H$ в изотропном базисе в (82), семейство $ {\rm PL}(2,H)$ изоморфно $ {\rm PL}(1,\mathbb{R}^\circ)\times{\rm PL}(1,\mathbb{R}^\circ),$ где $ \mathbb{R}^\circ$ -- вещественная прямая, компактифицированная на окружность. Из определения (82) легко устанавливаются следующие важные свойства семейства $ {\rm PL}(2,H).$
  1. $ {\rm PL}(2,H)\sim{\rm SL}(2,H),$ откуда следует также и еще один изоморфизм: $ {\rm SL}(2,H)\sim{\rm PL}(1,\mathbb{R}^\circ)\times{\rm PL}(1,\mathbb{R}^\circ)\sim {\rm SL}(2,\mathbb{R}^\circ)\times{\rm SL}(2,\mathbb{R}^\circ).$
  2. $ D^H_M\in C^\omega(H^\circledcirc\setminus$Con$ (-d/c)).$
  3. $ D^H_M(-d/c)=O_\infty,$ $ D^H_M($Con$ (-d/c))=$Con$ (O_\infty)=S_{1\infty}\cup S_{2\infty}.$
  4. $ D^H_M(O_\infty)={a}/{c},$ $ D^H_M($Con$ (O_\infty))=$Con$ (a/c).$
  5. $ D^H_M$ сохраняет сопряженные точки10:

    $\displaystyle h\stackrel{S_H}{\sim} h'\Leftrightarrow D^H_M(h)\stackrel{D_M^H(S_H)}{\sim}D_M^H(h')$ (83)
    Частным случаем сохранения сопряженности является круговое свойство: гиперболические дробно-линейные преобразования переводят гиперболические окружности в гиперболические окружности (точки на окружностях самосопряжены).
  6. Сохранение двойного отношения:

    $\displaystyle \{g,h;w,u\}=\frac{g-w}{g-w}\cdot\frac{h-u}{h-w}=$inv$\displaystyle .$ (84)
    На связных компонентах окружности двойное отношение 4-х точек как и в евклидовом случае оказывается вещественным!
По аналогии с комплексной плоскостью, можно определить подгруппу дробно-линейных гиперболических автоморфизмов области $ D$ :

$\displaystyle D_M(D)=D.$ (85)
К примеру, автоморфизмы единичного круга имеют вид:

$\displaystyle h'=\pm e^{j\psi}\frac{h-a}{1-\bar a h},$ (86)
а автоморфизмы полуплоскости Im$ h\gtreqless 0$ :

$\displaystyle M\in{\rm SL}(2,R).$ (87)
На рис. 19 наглядно представлено действие дробно-линейного преобразования $ h\mapsto (h-a)/(h-\bar a),$ $ a=e_1+2e_2$ (оно относится как раз к числу автоморфизмов гиперболического единичного круга). Криволинейная фигура на рисунке справа -- это образ параллелограмма слева, который состоит из кусков гипербол. Конус особой точки пересекает исходный параллелограмм в двух точках: этим точкам пересечения соответствуют вертикальные разрывы на рисунке справа. Однако, на компактифицированной плоскости $ H^\circledcirc$ образ параллелограмма замкнут.
\includegraphics[width=.35\textwidth]{ex1a.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{ex1b.eps}
Рис. 19. $ h\mapsto (h-a)/(h-\bar a),$ $ a=e_1+2e_2.$

С помощью двойных чисел можно определить еще одну модель геометрии Лобачевского. В качестве прямых этой геометрии можно рассматривать куски гиперболических окружностей в верхней полуплоскости11 в верхней полуплоскости (рис. 20 слева). Нетрудно убедиться, что любая пара точек в верхней полуплоскости определяет единственную прямую, а вещественная ось играет роль абсолюта.

\includegraphics[width=.35\textwidth]{lob1.eps}   \includegraphics[width=.35\textwidth]{lob2.eps}
Рис. 20. Реализация геометрии Лобачевского на двойных числах.


Также нетрудно убедиться, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество параллельных ей прямых (рис. 20 справа). В качестве расстояния между парой точек $ h$ и $ g$ можно взять модуль логарифма двойного отношения:

$\displaystyle \rho(h,g)\equiv\vert\ln\{h,g,O_\infty,a_{(h,g)}\}\vert= \left\vert\ln\frac{1-\sinh\psi_h-\cosh\psi_h}{1-\sinh\psi_g-\cosh\psi_g}\right\vert.$ (88)
где $ a_{h,g}$ -- точка пересечения прямой, содержащей $ h$ и $ g$ и абсолюта, $ \psi_{h,g}$ -- гиперболические углы точек $ h$ и $ g.$ Имеют место соотношения:

$\displaystyle \rho(h,O_{\infty})=\rho(h,A)=\infty,\quad A\in$   Re$\displaystyle h. $

В заключение этого параграфа рассмотрим свойства гиперболической версии функции Жуковского:

$\displaystyle Z(h)\equiv\frac{1}{2}\left(h+\frac{1}{h}\right), $

которую следует отнести к классу дробно-рациональных преобразований $ PR(2,H).$ Эта функция, как и функция Жуковского на $ \mathbb{C},$ двукратно накрывает плоскость двойной переменной, однако она имеет 4 точки ветвления $ \{\pm1,\pm j\},$ а не две, как в комплексном случае.

\begin{picture}(51.11,51.78) \unitlength=1mm \emline{25.00}{51.56}{1}{25.00}{0.3... ...{\makebox(0,0)[cb]{$t$}} \put(24.00,49.78){\makebox(0,0)[rc]{$x$}} \end{picture}
Рис. 21. Функция $ Z(h).$

В каждом клине внешность и внутренность единичной гиперболической окружности отображается на весь клин. При этом обратная функция будет двузначной, ее риманова поверхность получится склеиванием двух копий двойной плоскости с разрезами вдоль лучей $ [\pm1;\pm\infty)$ и $ [\pm j;\pm j\infty)$ (рис. 22).

\begin{picture}(79.67,25.67) \unitlength=1mm \emline{1.00}{13.50}{1}{12.83}{1.67... ... \put(12.83,7.83){\circle*{1.33}} \put(39.50,7.83){\circle*{1.33}} \end{picture}
Рис. 22. Риманова поверхность $ Z^{-1}(h).$

След.: 8.  Гиперболические спиноры Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 6.  Компактификация