вход

Оглавление



8.  Гиперболические спиноры $ \mathfrak{S}(H)$

Определим гиперболические спиноры как 2-мерное линейное векторное пространство над алгеброй $ H,$ оснащенное антисимметричной метрикой:

$\displaystyle \langle\xi,\zeta\rangle\equiv\ast(\xi\wedge\zeta),\quad \xi,\zeta\in \mathfrak{S}(H). $

Рассматривая эту конструкцию в изотропном базисе, имеем очевидный изоморфизм:

$\displaystyle \mathfrak{S}(H)\sim \mathfrak{S}(\mathbb{R})\times \mathfrak{S}(\mathbb{R}),$ (89)
где $ \mathfrak{S}(\mathbb{R})$ -- 2-мерное линейное пространство вещественных спиноров. Группой изометрии метрики $ \langle , \rangle$ является группа $ {\rm SL}(2,H)$ матриц над $ H$ с единичным определителем. Имеет место очевидная цепочка включений:

$\displaystyle {\rm SL}(2,H)\supset$SU$\displaystyle (2,H)\supset$SO$\displaystyle _2(\mathbb{R}),$ (90)
где $ {\rm SL}(2,H)\sim{\rm SL}(2,\mathbb{R})\times{\rm SL}(2,\mathbb{R}))$ - 6-параметрическая группа $ h$ -унимодулярных преобразований:

$\displaystyle M=A_1e_1+A_2e_2,\quad \det A_1=\det A_2=1; $

SU$ (2,H)$ -- 3-параметрическая группа $ H$ -унитарных преобразований12, изоморфная $ {\rm SL}(2,\mathbb{R})$ :

$\displaystyle M=Ae_1+(A^$T$\displaystyle )^{-1}e_2,\quad \det A=1; $

SO$ _2(\mathbb{R})$ -- 1-параметрическая группа евклидовых вращений:

$\displaystyle M=R(e_1+e_2),\quad RR^{\text{T}}=1. $

Рассмотрим теперь векторное пространство эрмитовых спиноров валентности $ (1,1)$ :

$\displaystyle \mathfrak{E}(H)\equiv S(\mathfrak{S}(H)\otimes\bar{\mathfrak{S}}(H)).$

Его произвольный элемент $ K\in\mathfrak{E}(H)$ можно записать в следующем виде:

$\displaystyle K= \left(\begin{array}{cc} T+X& Y+jU\\ Y-jU & T-X \end{array}\right), \quad T,X,Y,Z\in\mathbb{R}. $

Пространство $ \mathfrak{E}(H)$ можно рассматривать как линейное 4-мерное представление группы изометрии $ {\rm SL}(2,H)$ :

$\displaystyle K\mapsto K'=M\cdot K\cdot M^\dag .$ (91)
Выпишем систему инвариантов пространства $ \mathfrak{E}(H),$ вид которых легко устанавливается из закона (91) и известных свойств матриц:

$\displaystyle \det K=T^2+U^2-X^2-Y^2, M\in{\rm SL}(2,H), $

   Trace$\displaystyle K=2T,\quad M\in$SU$\displaystyle (2,H), $

   Im$\displaystyle K=U\langle , \rangle,\quad M\in$SO$\displaystyle _2(\mathbb{R}). $

Таким образом, мы имеем следующую диаграмму гомоморфизмов гиперболических спинорных групп:

$\displaystyle \begin{CD}{\rm SL}(2,H)@»> {\rm SU}(2,H)@»>{\rm SO}_2(\mathbb{R... ...VV{4:1}V {\rm SO}(2,2) @»> {\rm SO}(1,2) @»>{\rm SO}_2(\mathbb{R}) \end{CD}$ (92)
Здесь горизонтальные стрелки обозначают редукцию на подгруппу, а вертикальные -- гомоморфизмы спинорных групп на пространственно-временные. Мы видим, что гиперболические спиноры являются эффективным языком описания геометрии симметричного пространства-времени с сигнатурой $ (+, +, - , -)$ . Это пространство возникает в некоторых аналитических решениях ОТО, а группа $ {\rm SO}(2,2)$ исследуется в ряде моделей деформационного квантования. Хорошо известно, что эта группа является конформной группой 2-мерного пространства-времени Минковского [28]. Отметим здесь, что 4-кратное накрытие пространственно-временных групп спинорными группами непосредственным образом связано со свойствами алгебры двойных чисел: в отличие от комплексного случая уравнение $ x^2 = 1 $ имеет не два корня $ \pm 1_{}$ , а четыре: $ \pm 1,\pm j.$ Существует и чисто топологическое объяснение 4-кратности накрытия. Группа $ {\rm SO}(2,2)$ содержит внутри себя два независимых евклидовых вращения и четыре независимых лоренцевых буста. Поскольку пространство бустов топологически тривиально, все нетривиальные топологические свойства обусловлены евклидовыми вращениями. Другими словами, $ {\rm SO}(2,2)\approx \mathbb{R}^4\times S^1\times S^1,$ поэтому, в частности, $ \pi_1({\rm SO}(2,2))\sim\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}.$ Факторизуя $ \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ по четности, приходим к фактор-группе $ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2,$ содержащей четыре элемента, каждый из которых отвечает за свою компоненту гомоморфизма в (92). Можно сказать, что гиперболическая спинорная структура "чувствует" четность элементов фундаментальной группы. Отметим, что гомоморфизмы (92) хорошо известны и были получены различными способами, однако, по всей видимости, спинорный подход позволяет выявить их факт наиболее прямым и простым способом.
След.: 9.  - голоморфные функции Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 7.  Дробно-линейные преобразования и