вход

Оглавление



5.  Изотропный базис и аналитическое продолжение

Замечательной отличительной особенностью алгебры двойных чисел, которая отстутствует в алгебре комплексных чисел, является наличие в первой специального алгебраического базиса $ \{e_1,e_2\}$ (точнее класса базисов), в котором все алгебраические, геометрические и аналитические аспекты двойных чисел и связанных с ними конструкций, выявляются в максимально простом виде. Далее мы будем называть его по некоторой сложившейся исторической традиции изотропным. Этот базис непосредственно связан с образующими делителей нуля:

$\displaystyle e_1=\frac{1+j}{2};\quad e_2=\frac{1-j}{2}, t=\frac{h_1+h_2}{2}, x=\frac{h_1-h_2}{2},$ (71)
где $ h=h_1e_1+h_2e_2$ -- представление двойного числа в изотропном базисе. Упомянутая выше выделенная роль изотропного базиса обусловлена очень простой таблицей умножения двойных чисел и правила комплексного сопряжения в нем:

$\displaystyle e_1^2=e_1; e_2^2=e_2; e_1e_2=0; \bar e_1=e_2 \bar e_2=e_1.$ (72)
Соответственно, алгебраическая единица закон умножения двойных чисел и выражение псевдонормы принимают следующий вид:

$\displaystyle h\cdot g=h_1g_1e_1+h_2e_2e_2;\quad 1=e_1+e_2\quad \Vert h\Vert^2=h_1h_2.$ (73)
Мы видим, что в изотропном базисе алгебра $ H$ явным образом раскладывается (расщепляется) на пару вещественных алгебр: операции суммы и произведения выполняются в этом базисе покомпонентно. По этой причине двойные числа иногда называют также расщепляемыми числами. По всей видимости, именно факт разложения $ H=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ сыграл роль (во многом психологического!) препятствия к разработке двойных чисел и их физических приложений. Далее мы увидим, что, несмотря на столь простую структуру алгебры $ H,$ она замечательным образом воспроизводит многие свойства объектов на комплексной плоскости, а потенциал физических приложений двойных чисел оказывается неожиданно привлекательным и многообещающим. Начиная с этого момента, мы будем использовать (если не оговорено особо) изотропный базис, поскольку анализ свойств самих двойных чисел и конструкций над ними в этом базисе очень существенно упрощается. Поскольку операция возведения в степень в этом базисе выполняется покомпонентно:

$\displaystyle h^n=h_1^ne_1+h_2^ne_2,$ (74)
мы сразу приходим к очень простой конструкции формальных степенных рядов над $ H$ :

$\displaystyle R(h)\equiv\sum\limits_kc_kh^k=\left(\sum\limits_{k}c^1_kh_1^k\right)e_1 + $

$\displaystyle + \left(\sum\limits_kc^2_kh_2^k\right)e_2,\quad с_k\in H,\quad c_k^{1,2}\in\mathbb{R}.$ (75)
Другими словами, степенные ряды в $ H$ расщепляются на пары степенных рядов в $ \mathbb{R}.$ Сходимость степенных рядов в $ H$ теперь естественно определить как одновременную сходимость их вещественных компонент. Эти простые факты дают возможность различных обобщений аналитических продолжений, которые были предприняты в разделе 4 для элементарных функций. Будем далее обозначать $ C^\omega(H')$ семейство функций двойной переменной $ H$ -аналитических в некоторой области $ H'\subseteq H.$ Сформулируем несколько утверждений, относящихся к различным способам аналитических продолжений функций с одних областей $ H$ (в частности, с вещественной прямой Re$ h=\lambda(e_1+e_2)$ ) на другие. В этих утверждениях $ J$ -- открытое множество $ \mathbb{R},$ $ D$ -- открытое множество $ \mathbb{R}^2.$

Утверждение 1 Любая вещественно аналитическая на $ J$ функция одной переменной допускает аналитическое продолжение на $ J\times J\subseteq H$
Доказательство заключается в следующей простой выкладке, приводящей к явному выражению для искомого аналитического продолжения:

$\displaystyle f: J\to \mathbb{R} \Rightarrow f: J\times J\to H: f(h)\equiv $

$\displaystyle \equiv \sum\limits_k c_kh^k=\sum\limits_k c_k(h_1^ke_1+h_2^ke_2)=$ (76)

$\displaystyle \sum\limits_kc_kh_1^ke_1+\sum\limits_kc_kh_2^ke_2=f(h_1)e_1+f(h_2)e_2. $

Отметим, что это утверждение включает в себя все разобранные в разделе 4 аналитические продолжения элементарных функций. Рассмотрим теперь некоторое обобщение этой ситуации.

Утверждение 2 Имеет место биекция между множеством $ C^\omega(J_1)\times C^\omega(J_2)$ и множеством $ C^\omega(J_1\times J_2)$ $ (J_1\times J_2\subseteq H).$
Доказательство сводится к простой выкладке:

$\displaystyle f_1(h_1)e_1+f_2(h_2)e_2=\sum\limits_k(c^1_ke_1+c^2_ke_2)(h_1^ke_1+h_2^ke_2)= $

$\displaystyle = \sum\limits c_kh^k \equiv f(h).$ (77)
Другими словами, алгебра двойных чисел позволяет объединить две различных независимых аналитических функции одной вещественной переменной в одну аналитическую функцию двойной переменной. Отличие от случая предыдущего утверждения заключается в том, что теперь коэффициенты разложения этой функции будут двойными числами (в предыдущем случае они были вещественными). Рассмотрим многомерное обобщение этой ситуации.

Утверждение 3 Имеет место биекция между множеством $ C^\omega(D_1)\times C^\omega(D_2)$ и множеством $ C^\omega(D_1\cap D_2)$ $ (D_1\cap D_2\subseteq H).$
Доказательство сводится к выкладке с двойными рядами:

$\displaystyle f(h,\bar h)=\sum\limits_{k,m}c_{km}h^k\bar h^m= (\sum\limits_{km}c^1_{km}h_1^kh_2^m)e_1+(\sum\limits_{km}c^2_{km}h_2^kh_1^m)e_2=$ (78)

$\displaystyle f_1(h_1,h_2)e_1+f_2(h_1,h_2)e_2. $

Другими словами, алгебра двойных чисел позволяет объединить пару независимых вещественно-аналитических функций двух вещественных переменных в одну $ H$ -аналитическую функцию пары сопряженных переменных $ h$ и $ \bar h.$ Рассмотрим, наконец, вариант аналитического продолжения с подмножества $ H$ -- гладкой регулярной кривой $ \gamma\subset H.$


Утверждение 4 Всякая $ H$ -аналитическая функция $ f,$ заданная на кривой $ \gamma,$ однозначно аналитически продолжается на прямоугольник $ \pi_1(\gamma)\times\pi_2(\gamma),$ где $ \pi_i$ -- проекции на оси изотропной системы координат.
Явное выражение для искомого аналитического продолжения $ \hat f$ дается формулой:

$\displaystyle \hat f(h)=f\circ\gamma^{-1}(h), $

где $ \gamma(t)=\{\gamma_1(t),\gamma_2(t)\}$ -- параметризация кривой $ \gamma,$ $ \gamma^{-1}=\{\gamma_1^{-1}(h_1),\gamma_2^{-1}(h_2)\}.$ Прямоугольные области, возникающие в во всех сформулированных утверждениях типичны для аналитических функций двойной переменной: они играют роль максимальных областей аналитического продолжения функций двойной переменной (гиперболический аналог областей Рейнхарта в многомерном комплексном анализе [21]).
След.: 6.  Компактификация Выше: Алгебра, геометрия и физика Пред.: 4.  Элементарные функции на