вход

Оглавление



3.  Скалярные функции и векторные поля

Гладкая структура на многообразии позволяет ввести на нем элементарные геометрические объекты: гладкие скалярные и векторные поля. Поскольку при этом определение вектора на многообразии, вообще говоря, не допускает привычной интерпретации упорядоченной пары точек, нам потребуется ввести ряд новых предварительных понятий и определений, относящихся к некоторым фундаментальным структурам любого гладкого многообразия.
Скалярной функцией на многообразии $ \mathcal{M}$ называется отображение $ f$ : $ \mathcal{M}\to R.$
Таким образом, как обычно, скалярная функция $ f$ каждой точке $ p\in\mathcal{M}$ ставит в соответствие вещественное число $ f(p)\in R.$ Система координат в каждой карте атласа $ \mathbf{At}(\mathcal{M})$ позволяет перейти к координатному представлению функции $ f,$ которое в некоторой карте $ (U,\varphi)$ задается по правилу:

$\displaystyle f_U(p)\equiv f\circ(\varphi^{-1}\circ\varphi)(p)=(f\circ\varphi^{-1})(x_p).
$

Таким образом, всякая скалярная функция на многообразии $ \mathcal{M}_m$ задается набором своих координатных компонент $ \{f_{U_\alpha}\}_\alpha,$ где $ f_{U_\alpha}(x_{\alpha})$ -- компонента в карте $ (U_\alpha,\varphi_\alpha).$ При этом скалярная функция $ f$ называется гладкой, если ее координатные компоненты гладкие в обычном смысле вещественного анализа. Ясно, что порядок гладкости функции, определенный таким образом, не может превышать порядка гладкости многообразия, поскольку только при таком условии этот порядок сохраняется при замене координат на пересечениях карт. Очевидно, что сумма и произведение любых двух гладких функций на $ \mathcal{M}$ являются гладкой функцией на $ \mathcal{M},$ поэтому совокупность всех гладких функций на многообразии образуют алгебраическую структуру кольца, которое мы будем обозначать $ \mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ Прежде, чем перейти к определению вектора и векторного поля на многообразии, сделаем два предварительных замечания. Даже в евклидовом пространстве вектор можно ассоциировать с упорядоченной парой точек только если ограничиться линейными (аффинными) преобразованиями координат. При таких преобразованиях разность декартовых (аффинных) координат преобразуется линейно и однородно, как это и требуется для компонент векторов. Нелинейные преобразования (например, переход к цилиндрической системе координат или любой другой криволинейной) нарушает линейность преобразований разности координат, и следовательно обнаруживают ограниченность ее "векторной природы". Для построения "настоящих" векторов, которые являются таковыми независимо от выбора системы координат, мы сделаем следующее полезное наблюдение: с каждым векторным полем $ v$ в евклидовом пространстве можно ассоциировать линейный оператор "дифференцирования вдоль $ v$ ", который на любую скалярную функцию действует по правилу:

$\displaystyle v(f)\equiv\lim\limits_{\lambda\to0}\frac{f(x+\lambda v)-f(x)}{\lambda}=\sum\limits_{i=1}^3v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}.
$

При этом, как нетрудно видеть, соответствие между векторными полями и линейными дифференциальными операторами является взаимно-однозначным. Оказывается, именно такая точка зрения на векторные поля, как на линейные дифференциальные операторы, оказывается плодотворной для корректного перенесения определения векторных полей на многообразия.
Определим векторное поле $ X$ на $ \mathcal{M}$ как $ R$ -линейное дифференцирование кольца $ \mathfrak{F}(\mathcal{M}),$ т.е. как отображение $ X$ : $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})\to\mathfrak{F}(\mathcal{M}),$ удовлетворяющее свойствам:
  1. $ X(fg)=X(f)g+fX(g)$ (правило Лейбница);
  2. $ X(\lambda f+\mu g)=\lambda X(f)+\mu X(g),$ где $ f$ и $ g$ -- произвольные элементы кольца $ \mathfrak{F}(\mathcal{M}),$ $ \lambda$ и $ \mu$ -- произвольные вещественные числа.
  3. Суммой векторных полей $ X+Y$ назовем векторное поле, которое действует на произвольную функцию $ f$ по правилу: $ (X+Y)(f)=X(f)+Y(f).$
  4. Умножением векторного поля $ X$ на функцию $ g$ (слева) назовем векторное поле $ gX,$ которое на произвольную функцию $ f$ действует по правилу: $ (gX)(f)=g\cdot X(f).$

Оказывается, что перечисленных свойств и определений достаточно для того, чтобы установить следующие основные свойства векторных полей на многообразии.
Теорема. 1. $ X(C)=0$ для любой постоянной функции $ C$ ; 2. Векторные поля $ (\partial_1,\dots,\partial_m)$ образуют базис векторных полей в каждой карте атласа $ \mathbf{At}(\mathcal{M}).$
Доказательство. Первое свойство вытекает из свойства $ R$ -линейности, правила Лейбница и следующей выкладки:

$\displaystyle X(C)=CX(1)=CX(1\cdot1)=C(1X(1)+X(1)1)=2CX(1)=2X(C)\Rightarrow X(C)=0.
$

Чтобы доказать второе свойство, мы должны доказать, что (а) векторные поля $ \partial_i$ линейно-независимы и (б) любое векторное поле $ X$ представляется в виде линейной комбинации

$\displaystyle X=\sum\limits_{i=1}^mX^i\frac{\partial}{\partial x^i},
$

где $ X^i$ -- некоторые коэффициенты (функции на $ \mathcal{M}$ ), однозначно связанные с $ X.$ Отметим сначала, что векторное поле $ \partial_i$ по определению действует на функцию $ f$ в каждой точке $ p$ из координатной окрестности $ U$ по правилу:

$\displaystyle \partial_i(f)(x_p)=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\vert _{x=x_p},
$

где $ x=(x^1,\dots,x^m)$ -- система координат на $ U.$ Докажем, что поля $ \partial_i$ линейно-независимы. Пусть существует линейная комбинация $ \alpha^1\partial_1+\dots+\alpha^m\partial_m,$ которая на всех функциях обращается в нуль. Подействуем этой комбинацией поочередно на координатные функции $ f^1=x^1,$ $ f^2=x^2,\dots,$ $ f^m=x^m.$ Получим последовательно: $ \alpha^1=0,\dots,\alpha^m=0.$ Следовательно векторные поля $ (\partial_1,\dots,\partial_m)$ линейно-независимы. Для доказательства второй части утверждения отметим, что для всякой функции $ f$ с непрерывными частными производными имеет место следующее ее координатное представление в каждой точке некоторой карты:

$\displaystyle f(x)=f(x_p)+\sum\limits_{i=1}^mA_i(x^i-x_p^i),$ (3)
где коэффициенты $ A_i$ зависят от $ x$ и $ x_p$ и при $ x=x_p$ равны частным производным $ \partial_i f\vert _p.$ Выражение для $ A_i$ имеет следующий явный вид:

$\displaystyle A_i=\int\limits_{0}^1\frac{\partial f}{\partial x^i}((1-t)x_p+tx) dt
$

и является, по сути, средним значением $ i$ -ой частной производной, вычисленным на прямолинейном отрезке, соединяющем точки $ x_p$ и $ x$ координатного пространства. Рассмотрим некоторое векторное поле $ X$ и положим по определению $ X(x^i)\equiv X^i.$ Составим комбинацию $ \sum\limits_{i=1}^m X^i\partial_i.$ Для того, чтобы доказать равенство $ X=X^i\partial_i$ необходимо и достаточно убедиться, что левая и правая часть этого равенство приводит к одному и тому же результату при действии на произвольную функцию $ f.$ Используя представление (3) и действуя на его левую часть векторным полем $ X$ в точке $ p,$ имеем цепочку равенств:

$\displaystyle X(f)(p)=X(f(x_p)+\sum\limits_{i=1}^mA_i(x^i-x_p^i))\vert _{x=x_p}=
\sum\limits_{i=1}^m[X(A_i)(x^i-x_p^i)+A^iX(x^i-x_p^i)]\vert _{x=x_p}=
$

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m}X^i_p\left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right\vert _{x=x_p}.
$

Кроме представления (3) мы использовали последовательно $ R$ -линейность, правило действия на постоянную функцию, правило Лейбница и свойства коэффициентов $ A^i.$ Действуя на $ f$ векторным полем вида $ X^i\partial_i$ в точке $ p$ очевидно получаем то же самое. Ввиду произвольности выбора точки $ p$ можно утверждать, что в каждой координатной карте семейство координатных векторных полей $ \{\partial_i\}_{i=1,\dots,m}$ образует базис для векторных полей. Коэффициенты $ X^i\equiv X(x^i)$ называются координатами векторного поля в координатном базисе $ \{\partial_i\},$ связанном с некоторой картой $ U$ . $ \Box$ Векторное поле $ X$ на многообразии $ \mathcal{M}$ называется гладким, если при действии на любую гладкую функцию результат будет гладкой функцией. Переходя к координатам, нетрудно убедиться, что это определение эквивалентно следующему: векторное поле $ X$ на многообразии $ \mathcal{M}$ называется гладким, если в каждой карте $ \mathbf{At}(\mathcal{M})$ его координаты $ X^i$ являются гладкими функциями. Операция суммы двух гладких векторных полей и умножения векторного поля на гладкую функцию, очевидно, не выводят из класса гладких векторных полей. Это означает, что гладкие векторные поля образуют $ \mathfrak{F}(\mathcal{M})$ -модуль, который мы будем обозначать $ \mathfrak{V}(\mathcal{M}).$ Для любой пары гладких векторных полей $ X$ и $ Y$ можно определить их скобку Ли $ [X,Y]=XY-YX.$ Чтобы получить координатное представление скобки Ли, правую часть этого определения нужно применить к произвольной гладкой функции $ f\in\mathfrak{F}(\mathcal{M}).$ В результате получим цепочку равенств:

$\displaystyle (XY-YX)(f)=X^i\partial_i(Y^j\partial_jf)-Y^i\partial_i(X^j\partial_jf)=
(X^i\partial_iY^j)\partial_jf-(Y^i\partial_iX^j)\partial_jf)=[X,Y](f),
$

где была учтена перестановочность вторых частных производных. В силу произвольности функции $ f,$ приходим к выводу о том, что скобка Ли определяет векторное поле (дифференцирование) с координатами:

$\displaystyle [X,Y]^i=X^j\partial_jY^i-Y^j\partial_jX^i.$ (4)
Прямой проверкой нетрудно убедиться, что скобка Ли обладает следующими важными свойствами:
  1. $ [X,Y]=-[Y,X]$ (антисимметричность);
  2. $ [\alpha X+\beta Y,Z]=\alpha[X,Z]+\beta[Y,Z]$ ($ R$ -линейность);
  3. $ [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0$ (тождество Якоби).
Здесь $ X,Y,Z$ -- произвольные векторные поля, $ \alpha$ и $ \beta$ -- произвольные вещественные числа. Важные для приложений геометрические свойства скобки Ли мы рассмотрим в разделе 9.
След.: 4.  Касательное и кокасательное Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 2.  Гладкие многообразия