вход

Оглавление


1.  Введение и обозначения

Со времени создания общей теории относительности (1915) идея геометрического описания законов природы получила мощный импульс для своего развития и послужила основанием для формулировки и разработки подавляющего большинства современных физико-геометрических концепций и теорий [1,2]. В современной геометрии общей основой всех геометрических построений является понятие многообразия, которое представляет собой глубокое обобщение наших представлений о поверхностях, пространстве и времени [3]. В физике многообразия наделяются дополнительными структурами, отвечающими за основные свойства пространства, времени и материи. При этом физические величины описываются тензорными полями на многообразии. Одним из фундаментальных свойств окружающего нас мира является явная или скрытая симметрия его законов. С одной стороны, принципы симметрии помогают нам формулировать эти законы, с другой -- они являются ключом к точному аналитическому исследованию уравнений, выражающих эти законы. Общепринятым (хотя, конечно, далеко не исчерпывающим) математическим понятием, отвечающим за описание симметрии, является понятие группы [4]. Элементами группы симметрий в физике являются такие преобразования физической системы, которые оставляют ее, в определенном смысле, неизменной. К примеру все воображаемые движения твердого стержня, при которых остается неизменной его длина, образуют группу 3-мерных вращений, состоящую из параллельных переносов, собственных вращений и инверсий. При этом первые два типа преобразований относятся к числу непрерывных симметрий, поскольку такие преобразования могут быть осуществлены путем непрерывного изменения параметров преобразования (углов и параметров трансляций), начиная от их нулевых значений (т.е. тождественного преобразования). Преобразования инверсии представляют пример дискретных преобразований. Соединение идеи непрерывной симметрии с идеей многообразия приводит к одному из центральных понятий современной физики и математики -- группы Ли. Многообразие группы Ли состоит из точек, которые можно интерпретировать как преобразования, а кривые на этом многообразии являются геометрическим образом однопараметрических семейств преобразований. Когда мы хотим математически выразить факт постоянства некоторой физической величины $ F$ во времени, мы записываем условие этого постоянства в виде:

$\displaystyle \frac{dF}{dt}=0 \vrule depth16pt width0pt$ (1)
-- равенства нулю производной по времени от этой величины. Когда мы хотим выразить постоянство этой величины в пространстве, мы записываем условие этого постоянства в аналогичном виде:

$\displaystyle \frac{dF}{dx}=0 \vrule depth16pt width0pt$ (2)
и т.д. В физике и геометрии часто возникают ситуации, когда физические или геометрические величины (тензоры) не остаются постоянными в пространстве и (или) во времени, но остаются постоянными при смещении вдоль некоторого особого семейства кривых на многообразии положений. Именно такую ситуацию мы и называем в физике непрерывной симметрией физической или геометрической величины. Надлежащее обобщение формул (1)-(2) реализуется с помощью общей конструкции производной Ли, определение которой не связано с существованием каких-либо дополнительных структур на многообразии, кроме общей структуры гладкости (см. след. раздел). При этом производная Ли согласована с тензорной алгеброй на многообразии: производная Ли от тензора является тензором того же типа. Целью настоящих лекций является введение в аппарат производных Ли и небольшой обзор его применений в геометрии и физике, нацеленный на начальное ознакомление. Основное внимание в лекциях уделяется геометрическим аспектам производной Ли и ее конкретным приложениям в геометрии и физике, в то время как теоретико-групповые вопросы обсуждаются лишь в общих чертах. Везде, где это возможно и уместно, предпочтение отдается безкоординатным определениям и формулировкам. Иногда на первых этапах это требует несколько больших усилий в процессе освоения материала, но эти усилия "окупаются" общностью формулировок и четким выделением инвариантных геометрических аспектов определяемых объектов и конструкций. Среди приложений относительно большой объем в лекциях занимает исследование изометрий финслеровых кубических метрик. Этот вопрос весьма слабо освещен в доступной литературе. Кроме того, общий контекст Школы-2009, на которой часть этих лекций озвучивалась автором у доски, подразумевал популяризацию идей финслеровой геометрии и ее приложений к физическим проблемам. Лекции представляют достаточно замкнутое и систематическое введение и обоснование производной Ли и ряда ее приложений. Вместе с тем, ряд важных вопросов (исчисление внешних форм и теория связности на многообразии, "взаимодействие" внешнего дифференцирования и ковариантной производной с производной Ли и ряд других) остается за пределами лекций из соображений компромисса между объемом и строгостью изложения. Эти разделы выносятся в следующие части лекций. Читатель, заинтересованный в более полном изложении, может обратиться к множеству классических руководств и монографий [5,6,7,8,9,10,11,12]. На протяжении всех лекций мы принимаем следующую систему обозначений: $ R^n$ -- $ n$ -мерное вещественное евклидово пространство; $ \partial_i\equiv\frac{\displaystyle\partial}{\displaystyle\partial x^i}$ -- оператор частного дифференцирования по переменной $ x^i$ ; $ f\circ g$ -- композиция отображений $ g$ и $ f$ (первым действует отображение справа); id -- тождественное отображение. $ \{a_i\}_{i=1,\dots,n}$ -- множество занумерованных объектов $ a_i,$ где индекс $ i$ пробегает все значения от $ 1$ до $ n$ . $ T_p=T\vert _p=T(p)$ -- эквивалентные способы обозначения геометрического объекта (тензора $ T$ ) в точке $ p$ . $ (T)$ -- матрица компонент объекта $ T$ . Везде, где это не оговаривается особо, принято правило сокращенного суммирования Эйнштейна по повторяющимся верхним и нижним индексам. Остальные обозначения поясняются непосредственно в тексте. Рубленым шрифтом набраны основные определения, наклонным "италиком" -- основные термины и формулировки выводов, машинописным -- формулировки доказываемых утверждений и теорем. Окончание доказательств и примеров отмечается значком $ \Box.$ Успешное изучение лекций предполагает уверенное знание читателем математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии в объеме стандартного университетского курса [13,14,15].
След.: 2.  Гладкие многообразия Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: Элементы геометрии гладких многообразий