Региональный научно-образовательный центр
ЛОГОС
некоммерческое партнерство

Рассмотрим простейшие примеры применения производной Ли в римановой геометрии. Самыми простыми неплоскими римановыми многообразиями являются т.н. многообразия постоянной кривизны. Рассмотрим, к примеру, 2-мерную сферу, вложенную стандартным образом в 3-мерное евклидово пространство и метрику, индуцированную на ней объемлющей евклидовой метрикой. К выражению для последней проще всего прийти, рассмотрев евклидову метрику в сферической системе координат:

$\displaystyle g=dr\otimes dr+r^2(d\theta\otimes d\theta+\sin^2\theta d\varphi\otimes d\varphi).$

Переходя на единичную сферу посредством соотношения $ r=1,$

получаем метрику сферы:

$\displaystyle g^{(S^2)}= d\theta\otimes d\theta+\sin^2\theta d\varphi\otimes d\varphi.$

(58)

Вычислим алгебру симметрий этой метрики. Уравнения Киллинга $L_Xg^{(S^2)}=0$ записываются по формуле (45) следующим образом ( $x^1=\theta, x^2=\varphi$ ):

$\displaystyle \partial_\theta X^\theta=0;\quad X^\theta+\tan\theta\partial_\var... ...phi=0;\quad \sin^2\theta\partial_\theta X^\varphi+\partial_\varphi X^\theta=0.$

Из первого уравнения следует, что $X^\theta$ зависит только от $\varphi$ : $X^\theta=F(\varphi).$ Из второго уравнения следует, что $X^\varphi=-\cot\theta\int F d\varphi+\psi(\theta),$ где $\psi$ -- пока произвольная функция. Подставляя эти представления в третье уравнение, приходим к уравнению на

и $\psi$ :

$\displaystyle F'+\int F d\varphi+\psi'\sin^2\theta=0.$

Отсюда для стандартного условия разделения следует, что $\psi=D\cot\theta+C,$ $\int F d\varphi=A\sin\varphi+B\cos\varphi+D,$ где $ A,B,C,D$

-- произвольные константы интегрирования. Таким образом, общее поле симметрии имеет вид:

$\displaystyle X=(A\cos\varphi-B\sin\varphi)\partial_\theta-\cot\theta(A\sin\varphi+B\cos\varphi+C)\partial_\varphi.$

(59)

Полагая поочередно пары коэффициентов из набора $ A,B,C$

равными нулю, приходим к следующим независимым полям симметрии сферы:

$\displaystyle X_{(1)}=\cos\varphi\partial_\theta-\cot\theta\sin\varphi\partial_\varphi;\quad$

$\displaystyle X_{(2)}=-\sin\varphi\partial_\theta-\cot\theta\cos\varphi\partial_\varphi;\quad X_{(3)}=\partial_\varphi.$

Как и следовало ожидать из общих интуитивных соображений поля $X_{(i)}$ образуют алгебру Ли $\mathfrak{so}(3)$ 3-мерной группы вращений $ SO(3),$

что проверяется непосредственной проверкой выполнимости соотношений (56). В общей теории относительности 4-мерное пространство-время называется сферически-симметричным, если его метрика

имеет алгебру симметрии $\mathfrak{so}(3)$ . В сферических координатах, в которых поля этой алгебры имеют вид (59), общая сферически симметричная метрика будет иметь вид:

$\displaystyle g=A(t,r)dt\otimes dt-B(t,r)dr\otimes dr+f(t,r)\cdot$

$\displaystyle \cdot (dt\otimes dr+dr\otimes dt)- C(t,r)g^{(S^2)},$

(60)

где

-- произвольные функции временной и радиальной координат

Пространство-время называется сферически-симметричным статическим, если его алгебра симметрии помимо $\mathfrak{so}(3)$ содержит еще одно времениподобное (т.е. удовлетворяющее условию $ g(X,X)>0$

) векторное поле симметрии, коммутирующее с элементами алгебры $\mathfrak{so}(3)$ . Используя свободу координатных преобразований:

$\displaystyle t=t(\tau,\rho);\quad r=r(\tau,\rho),$

сохраняющих общий вид метрики (60), ее всегда можно привести к виду:

$\displaystyle g=\bar A(\tau,\rho)d\tau\otimes d\tau-\bar B(\tau,\rho)d\rho\otimes d\rho- \rho^2g^{(S^2)}$

в случае общей сферической симметрии и к виду:

$\displaystyle g=\bar A(\rho)d\tau\otimes d\tau-\bar B(\rho)d\rho\otimes d\rho- \rho^2g^{(S^2)}$

в случае сферически-симметричного статического пространства-времени. Здесь $\bar A$ и $\bar B$ -- некоторые функции новых переменных $\tau,\rho,$ связанные с исходными

посредством тензорного закона преобразований. Замечательным фактом эйнштейновской общей теории относительности является существование дополнительного поля Киллинга как следствие сферической симметрии. Другими словами, (при некоторых дополнительных предположениях: в обсуждаемом нами случае -- для пустого пространства-времени) все сферически-симметричные решения уравнений Эйнштейна автоматически являются статическими и сводятся к знаменитой метрике Шварцшильда для черной дыры (теорема Биркгоффа):

$\displaystyle g=\left(1-\frac{r_g}{r}\right)dt\otimes dt-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)^{-1}dr\otimes dr- r^2g^{(S^2)},$

где

-- гравитационный радиус черной дыры, связанный с ее полной массой

Метрика черной дыры и ее следствия являются основой для современного раздела общей теории относительности -- физики черных дыр [22]. Факт допустимости любых гладких и обратимых замен координат в общей теории относительности усложняет выявление физических свойств, вытекающих из римановой метрики пространственно-временного многообразия. В частности, может оказаться так (и часто оказывается!), что одна и та же метрика имеет совершенно различный и неузнаваемый вид в разных системах координат. Это обстоятельство можно наблюдать даже в плоском пространстве времени, переходя в нем к различным криволинейным координатам. Однако в плоском пространстве времени у нас существует класс декартовых систем координат, в которых метрика имеет стандартный и самый простой вид -- это утверждение можно принять за определение плоского пространства. Для римановых метрик в общем случае не существует никаких предпочтительных систем координат и поэтому для их классификации и в частности установления их тождества или различия необходимо использовать другие методы, не связанные с координатными конструкциями. Одним из подходов к инвариантной классификации римановых метрик является их классфикация по симметриям. Поскольку уравнения Киллинга имеют общековариантный тензорный характер, то поля симметрий имеются или отсутствуют независимо от выбора системы координат и (при их наличии) их алгебра должна быть одной и той же в разных системах координат с точностью до линейных замен базиса в алгебре симметрий. Таким образом, для того чтобы две метрики были эквивалентны, (т.е. чтобы они переводились друг в друга преобразованием координат) необходимо, чтобы их алгебры симметрий совпадали. Иногда, когда алгебра симметрий является достаточно богатой, это условие является и достаточным, иногда требуется привлекать для сравнения другие инвариантные свойства многообразия (например алгебраические типы тензоров Вейля и Риччи). Симметрийный подход часто кладут в основу определения того или иного пространства-времени. Этот метод работает даже в тех случаях, когда физический смысл получающейся геометрии (т.е. ее возможные материальные источники и их свойства) не ясен. Идею "симметрийного конструктора" мы проиллюстрируем на следующем примере. Пусть нас интересует пространство-время, обладающее следующей алгеброй симметрий:

$\displaystyle X_{(0)}=\partial_t, X_{(1)}=\partial_x, X_{(2)}=\partial_y, X_... ...tial_y+ \frac{1}{2}(\sqrt{3}t-z)\partial_z-\frac{1}{2}(t+\sqrt{3}z)\partial_t.$

Мы могли прийти к такой алгебре из каких-то совершенно посторонних к ОТО соображений или даже рассмотреть ее "просто так" из любопытства. Другими словами, нас интересует решение системы уравнений Киллинга:

$\displaystyle L_{X_{(i)}}g=0\quad (i=1,2,3,4),$

но теперь уже не относительно компонент полей $X_{(i)}$ -- ведь они нам известны заранее, -- а относительно компонент метрики. Если наложить дополнительное требование, чтобы искомая метрика удовлетворяла уравнениям Эйнштейна в пустоте, то оказывается (проверка в принципиальном плане не сложна, но громоздка), искомая метрика единственна и имеет вид:

$\displaystyle g=k^2[e^x(\cos\sqrt{3}x(dt\otimes dt-dz\otimes dz)+\sin\sqrt3x(dt\otimes dz+dz\otimes dt)) -dx\otimes dx-e^{-2x}dy\otimes dy],$

где

const

Много интересной инофрмации о классификации точных решений уравнений Эйнштейна по их симметриям приведено в книге [23].

След.: 14. Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 12. Применения производной Ли

Оглавление

13. Применения производной Ли (4): изометрии римановых метрик