вход

Оглавление


15.  Применения производной Ли (6): группа конформных симметрий евклидовой и псевдоевклидовой плоскости.

Как мы покажем в этом разделе, случай $ n=2$ является особым как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом случае. Несмотря на то, что сами уравнения конформной симметрии при $ n=2$ являются частным случаем уравнений (62)-(63), их решения существенно богаче и допускают произвольные функции. Действительно, в двумерном случае для метрики вида:

$\displaystyle g=dx^1\otimes dx^1+\epsilon dx^2\otimes dx^2\quad (\epsilon=\pm1), $

уравнения (62)-(63) принимают вид:

$\displaystyle \partial_1\xi^1=\frac{\phi}{2};\quad \partial_2\xi^2=\frac{\phi}{2};\quad \partial_2\xi^1+\epsilon\partial_1\xi^2=0. \vrule depth15pt width0pt$ (71)
Дифференцируя последнее уравнение последовательно по $ x^1$ и $ x^2$ и пользуясь первыми двумя уравнениями, приходим к условию на функцию $ \phi$ :

$\displaystyle (\partial^2_1+\epsilon\partial_2^2)\phi=0.$ (72)
Воспользуемся тем обстоятельством, что в двумерном случае существует потенциал (сопряженная функция) $ \chi,$ определяемый условиями:

$\displaystyle \partial_1\phi=\partial_2\chi;\quad \partial_2\phi=-\epsilon\partial_1\chi. $

С учетом этих определений, условие (72) выполняется тождественно. Непосредственной проверкой можно убедиться, что решения уравнений (71) можно записать через функции $ \phi$ и $ \chi$ следующим образом:

$\displaystyle \xi^1=\frac{1}{2}\int\limits_{(x_0^1,x^2)}^{(x^1,x^2)}\phi(x^1,x^... ...n}{2}\int\limits_{(x_0^1,x_0^2)}^{(x_0^1,x^2)}\chi(x_0^1,x^2) dx^2+Cx^2;\quad $

$\displaystyle \xi^2=\frac{1}{2}\int\limits_{(x^1,x_0^2)}^{(x^1,x^2)}\phi(x^1,x^... ...}\int\limits_{(x_0^1,x_0^2)}^{(x^1,x_0^2)}\chi(x^1,x_0^2) dx^1-\epsilon Cx^1. $

Здесь $ (x_0^1,x_0^2)$ -- произвольная начальная точка, а интегрирование выполняется вдоль любой кривой, соединяющей точки на нижних и верхних пределах интегрирования. Таким образом, общее поле конформной симметрии евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей содержат произвольные гармонические или псевдогармонические (волновые) функции. Конечные конформные преобразования более наглядно записываются: в евклидовом случае на языке комплексной переменной $ z$ :

$\displaystyle g=\frac{1}{2}(dz\otimes d\bar z+d\bar z\otimes dz) \stackrel{z=f(w)}{\to}g^f\equiv $

$\displaystyle \equiv \frac{\vert f(w)\vert^2}{2}(dw\otimes d\bar w+d\bar w\otimes dw), $

где $ f(z)$ -- произвольная аналитическая функция; в псевдоевклидовом случае в изотропных координатах $ \{\xi^\alpha\}_{\alpha=1,2}$ :

$\displaystyle g=\frac{1}{2}(d\xi^1\otimes d\xi^2+d\xi^2\otimes d\xi^1)\stackrel... ...rac{f^1(\eta^1)f^2(\eta^2)}{2}(d\eta^1\otimes d\eta^2+d\eta^2\otimes d\eta^1). $

В таком представлении бесконечномерность группы конформных симметрий двумерных евклидовой и псевдоевклидовой метрик очевидна.
След.: 16.  Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 14.  Применения производной Ли