вход

Оглавление


16.1.  Метрики с $ \tau (G)=\tau _0(G)=1 $ (2 типа)

В описании случаев указываются только отличные от нуля компоненты метрики, а все остальные компоненты подразумеваются равными нулю. При этом здесь и далее мы указываем только те случаи, в которых имеются нетривиальные симметрии.
  1. $ F\neq0.$ Метрика принимает следующий канонический вид:

    $\displaystyle G=\hat{\mathcal{S}}(dx^1\otimes dx^2\otimes dx^3),$ (77)
    где $ \hat{\mathcal{S}}$ -- оператор симметризации тензорного произведения. Она называется метрикой Бервальда-Моора. Нетривиальная алгебра симметрий этой метрики представлена следующими векторными полями [26,27]:

    $\displaystyle X_1=x^1\partial_1-x^2\partial_2;\quad X_2=x^1\partial_1-x^3\partial_3, $

    описывающим согласованные (унимодулярные) дилатации координатных осей. Отметим, что эта алгебра абелева.
  2. $ B_1\neq0.$ Канонический вид метрики:

    $\displaystyle G=dx^1\otimes dx^2\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^1\otimes dx^2+dx^2\otimes dx^2\otimes dx^1.$ (78)
    Алгебра ее нетривиальных симметрий одномерна:

    $\displaystyle X=x^2\partial_2-2x^1\partial_1 $

    и соответствует унимодулярным дилатациям пары координат.
Этими случаями, по существу, исчерпывается класс метрик с $ \tau_0(G)=1.$ Отметим, что метрика (78) геометрически вырождена как 3-мерная метрика, поскольку описывается всего двумя элементами 3-мерного базиса 1-форм $ \{dx^1,dx^2,dx^3\}.$
След.: 16.2.  Метрики с (7 Выше: 16.  Применения производной Ли Пред.: 16.  Применения производной Ли