вход

Оглавление


12.  Применения производной Ли (3): группа движений пространства Минковского

Аналогично предыдущему случаю вычислим алгебру изометрий плоского псевдоевклидова пространства $ \mathcal{M}_{p,q}.$ В декартовой системе координат эта метрика имеет наиболее простой вид:

$\displaystyle g=dx^0\otimes dx^1+\dots+dx^p\otimes dx^p-dy^{1}\otimes dy^1-\dots $

$\displaystyle \dots -dy^q\otimes dy^q.$ (57)
Векторное поле симметрии запишем в координатах следующим образом:

$\displaystyle Z=X^\alpha(x,y)\frac{\partial}{\partial x^\alpha}+Y^\beta(x,y)\fr... ... y^\beta}, \alpha=1,\dots,p;\quad \beta=1,\dots,q. \vrule depth15pt width0pt $

Уравнения Киллинга с учетом формул (45) принимают вид (55) с заменой компонент евклидовой метрики на компоненты псевдоевклидовой метрики. Из диагональных уравнений при следует как и ранее, что $ X^\alpha$ не зависит от $ x^\alpha$ и $ Y^\beta$ не зависит от $ y^\beta.$ Недиагональные уравнения принимают вид:

$\displaystyle \frac{\partial X^\beta}{\partial x^\alpha}+\frac{\partial X^\alph... ...tial X^\beta}{\partial y^\alpha}-\frac{\partial Y^\alpha}{\partial x^\beta}=0. $

Путем дифференцирования этих уравнений с учетом условия $ \partial X^\alpha/\partial x^\alpha=0$ и $ \partial Y^\beta/\partial y^\beta=0$ (суммирования нет!) аналогично случаю евклидовой метрики приходим к заключению, что все компоненты $ Z$ являются линейными функциями координат:

$\displaystyle X=B\cdot x+C\cdot y+A,\quad Y=D\cdot x +F\cdot y+G, $

где $ A$ и $ G$ -- постоянные векторы размерности $ p$ и $ q$ соответственно, $ B$ -- постоянная матрица $ p\times p,$ $ C$ -- постоянная матрица $ p\times q,$ $ D$ -- постоянная матрица $ q\times p,$ $ F$ -- постоянная матрица $ q\times q.$ Уравнения Киллинга тождественно удовлетворяются, если матрицы коэффициентов удовлетворяют следующим условиям:

$\displaystyle B^T=-B;\quad F^T=-F;\quad C^T=D. $

Таким образом, независимыми векторными полями алгебры изометрий псевдоевклидовой метрики являются:

$\displaystyle \mathfrak{T}_{p+q}=\{\partial_\alpha\}_{\alpha=1,\dots,p+q}$   (трансляции),  

$\displaystyle \quad \mathfrak{so}(p)\oplus\mathfrak{so}(q)=\{x^\alpha\partial/\partial x^\sigma-x^{\sigma} \partial/\partial x^\alpha, $

$\displaystyle y^\beta\partial/\partial y^\gamma-y^{\gamma}\partial/\partial y^\beta\}_{\alpha<\beta}$   (плоские вращения)$\displaystyle , $

и

$\displaystyle \mathfrak{b}(p,q)=\{x^\alpha\partial/\partial y^{\beta}+y^{\beta}\partial/\partial x^\gamma\}_{\alpha,\beta}$   (псевдовращения или бусты)$\displaystyle . $

Отметим, что бусты в общем случае не образуют подалгебры. Как и в случае евклидовой метрики полученный результат носит общий и исчерпывающий характер: все непрерывные изометрии псевдоевклидовой метрики типа $ (p,q)$ исчерпываются трансляциями $ \mathfrak{T}_{p+q},$ вращениями $ \mathfrak{so}(p)\oplus\mathfrak{so}(q)$ и бустами $ \mathfrak{b}(p,q).$ При этом $ \dim\mathfrak{T}=n=p+q,$ $ \dim\mathfrak{so}(p)\oplus\mathfrak{so}(q)=p(p-1)/2+q(q-1)/2,$ $ \dim\mathfrak{B}=pq.$ Полученные результаты в частном случае $ p=1,$ $ q=3$ и $ p=3,$ $ q=0$ приводят к хорошо известным фактам псевдоевклидовой 4-мерной геометрии Минковского и 3-мерной евклидовой геометрии.
След.: 13.  Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 11.  Применения производной Ли