вход

Оглавление


11.  Применения производной Ли (2): тензор деформаций и изометрии многообразия

В этом и последующих разделах мы рассмотрим основную область применения производных Ли в геометрии. Речь пойдет об отыскании изометрий различных метрик. Напомним несколько предварительных определений.
Римановой метрикой $ g$ на многообразии $ \mathcal{M}$ называется симметричное невырожденное положительно-определенное гладкое тензорное поле типа $ \mathcal{T}^{(2,0)}(\mathcal{M}).$
Значение $ g(X,Y)$ определяет скалярную функцию на $ \mathcal{M},$ которая в каждой точке $ p$ определяет скалярное произведение векторов $ X_p$ и $ Y_p.$ На языке скалярного произведения свойства метрики, перечисленные в определении, формулируются следующим образом:
  1. $ g(X,Y)=g(Y,X)$ (симметричность);
  2. $ g(X,Y)=0$ для всех $ Y$ $ \Leftrightarrow$ $ X\equiv0$ (невырожденность);
  3. $ g(X,X)\ge0$ для всех $ X$ (равенство только для $ X=0$ ) (положительная определенность);
  4. Если $ X\in\mathfrak{V}(\mathcal{M})$ и $ Y\in\mathfrak{V}(\mathcal{M}),$ то $ g(X,Y)\in\mathfrak{F}(\mathcal{M})$ (гладкость).
В теории относительности для отражения причинной структуры пространства-времени необходимо отказаться от условия положительной определенности метрики. Метрика $ g$ , удовлетворяющая условиям 1,2,4, называется псевдоримановой. Введение метрики на многообразии позволяет изучать его локальную внутреннюю геометрию (длины, углы, параллельный перенос). Например, длина7 $ \vert X_p\vert$ вектора $ X_p$ и угол $ \theta(X_p,Y_p)$ между ненулевыми векторами $ X_p$ и $ Y_p$ определяются по формуле:

$\displaystyle \vert X_p\vert\equiv\sqrt{g(X_p,X_p)};\quad \cos\theta(X_p,Y_p)\equiv\frac{g(X_p,Y_p)}{\vert X_p\vert\vert Y_p\vert}.$ (51)
Важным свойством метрики является ее поведение при различных отображениях многообразия в себя. В частности, особый интерес представляют такие преобразования многообразия, при которых метрика остается в определенном смысле неизменной. Такие преобразования (если они существуют) являются абстрактными дифференциально-геометрическими аналогами движений твердого тела в 3-мерном евклидовом пространстве, при которых расстояния между любыми парами точек этого тела остаются неизменными. Рассмотрим диффеоморфизм $ \varphi$ : $ \mathcal{M}\to\mathcal{M}.$ Его можно интерпретировать как некоторую конечную деформацию многообразия так, как если бы многообразие представляло собой некоторую деформируемую сплошную среду.
Тензорное поле

$\displaystyle u\equiv\frac{1}{2}((\varphi)^\ast g-g)$ (52)
называется тензором конечных деформаций метрики $ g$ при диффеоморфизме $ \varphi.$
Этот тензор, будучи определенным для любой точки $ p\in\mathcal{M}$ , определяет в ней "степень деформации" метрики. Числовые характеристики этой деформации мы получим, если рассмотрим значения $ u$ на элементах какого-нибудь ортонормированного репера $ \{e_\alpha(p)\}$ в точке $ p$ и применим формулы (51). Так, $ u(e_\alpha(p),e_\alpha(p))\equiv u_{\alpha\alpha}(p)$ будет описывать относительное изменение $ \epsilon_\alpha$ длины в направлении $ (\varphi)_\ast(e_\alpha)$ в точке $ \varphi(p)$ по формуле:

$\displaystyle \epsilon_\alpha=\sqrt{1+2u_{\alpha\alpha}(p)}-1. $

Эта формула отнесена к системе координат в точке $ p.$ Аналогично, недиагональные компоненты $ u_{\alpha\beta}$ $ (\alpha\neq\beta)$ описывают деформации углов в плоскостях $ (e_\alpha,e_\beta)$ по формуле:

$\displaystyle \cos\theta'_{\alpha\beta}(p)=\frac{u_{\alpha\beta}(p)}{(1+\epsilon_\alpha)(1+\epsilon_\beta)}, $

где $ \theta'$ -- угол между векторами $ \varphi_\ast(e_\alpha(p))$ и $ \varphi_\ast(e_\beta(p)).$ Теперь естественно ввести следующие определения.
Конечная деформация $ \varphi$ называется жесткой в точке $ p$ , если $ u_p=0.$
Конечная деформация $ \varphi$ называется изометрией метрики $ g$ на $ \mathcal{M}$ , если $ u=0$ на всем многообразии.
Аналогично тому, как при движении твердого тела в 3-мерном евклидовом пространстве оно в действительности занимает все промежуточные положения между начальным и конечным положениями, мы и в рассматриваемом нами абстрактном случае можем определить непрерывное семейство $ \varphi^t$ деформаций многообразия, параметризованное вещественным параметром $ t$ ("параметрическое время"). Очевидно, это семейство описывает некоторый поток на $ \mathcal{M}$ и ему, в соответствии с материалом раздела 7, можно сопоставить векторное поле скорости $ X_\varphi.$ Для фиксированной точки $ p$ мы имеем семейство конечных тензоров деформаций:

$\displaystyle u^t_p\equiv\frac{1}{2}((\varphi^t)^\ast g-g)_p.$ (53)
Разделив правую часть на $ t,$ переходя к пределу при $ t\to0$ и используя определение производной Ли (35), приходим к определению тензора скоростей деформаций:

$\displaystyle \dot u\equiv L_{X_\varphi}g, $

который представляет собой инфинитиземальную версию тензора конечных деформаций. Имеет место очевидная:
Теорема. Для того, чтобы $ \varphi^t$ было изометрией на $ \mathcal{M}$ не- обходимо и достаточно, чтобы $ \dot u\equiv0.$
Доказательство. Необходимость очевидна из определения изометрии. Пусть $ p$ -- некоторая произвольная фиксированная точка и пусть $ X_p$ и $ Y_p$ -- пара произвольных фиксированных векторов в ней. Рассмотрим изменение величины $ g(X_p,Y_p)$ под действием потока:

$\displaystyle \frac{d}{dt}g((\varphi^t)_\ast X_p,(\varphi^t)_\ast Y_p)= \frac{d... ...p)=(L_{X_\varphi}g\vert _{\varphi^t(p)})(X_p,Y_p)=0. \vrule depth15pt width0pt $

Следовательно длины и углы вдоль потока сохраняются и изометричность потока $ \varphi^t$ очевидна.$ \Box$ Таким образом, для отыскания изометрий метрики $ g$ достаточно найти множество инфинитиземальных изометрий -- полей $ X,$ для которых выполняются уравнения

$\displaystyle L_Xg=0.$ (54)
Эти уравнения называются уравнениями Киллинга для метрики $ g$ , а их решения $ X$ -- векторными полями Киллинга. Отметим, что поля Киллинга образуют алгебру Ли изометрий метрики $ g$ относительно скобки Ли (доказательство аналогично доказательству пункта 4 конца прошлого раздела). Конечные изометрии будут описываться 1-параметрическими семействами интегральных кривых найденных векторных полей Киллинга. В качестве первого простейшего примера конкретных изометрий рассмотрим изометрии евклидовой метрики $ g$ в $ R^n.$ В декартовой системе координат евклидова метрика изображается единичной матрицей, а уравнения Киллинга с учетом формул (45) принимают вид:

$\displaystyle g_{\alpha\gamma}\partial_\beta X^\gamma+g_{\beta\gamma}\partial_\alpha X^\gamma=0.$ (55)
Из диагональных уравнений при $ \alpha=\beta$ вытекает, что $ X^\alpha$ не зависит от $ x^\alpha.$ Недиагональные уравнения принимают вид:

$\displaystyle \partial_\alpha X^\beta+\partial_\beta X^\alpha=0 $

для всех пар $ \alpha\neq\beta.$ Дифференцируя это уравнение по $ x^\alpha$ и учитывая, что $ \partial_\alpha X^\alpha=0$ (суммирования нет!), приходим к заключению, что $ \partial^2_{\alpha\alpha}X^\beta=0,$ т.е. все $ X^\beta$ являются линейными функциями координат:

$\displaystyle X=C\cdot x+A, $

где $ C$ и $ A$ -- числовая матрица $ n\times n$ и числовой $ n$ -столбец соответственно. Уравнения Киллинга тождественно удовлетворяются, если матрица коэффициентов $ C$ антисимметрична, т.е. $ C^T=-C^T,$ где $ \bullet^T$ -- стандартная операция матричного транспонирования. Полагая поочередно все параметры в $ C$ и $ A$ кроме одного равными нулю, получаем, таким образом, что независимыми векторными полями алгебры изометрий евклидовой метрики являются:

$\displaystyle \mathfrak{T}_n=\{\partial_\alpha\}_{\alpha=1,\dots,n}$   (трансляции) и $\displaystyle \quad \mathfrak{so}(n)=\{x^\alpha\partial_{\beta}-x^{\beta}\partial_\alpha\}_{\alpha<\beta}$   (плоские вращения)$\displaystyle , $

где посредством $ \mathfrak{T}_n$ мы обозначили подалгебру трансляций алгебры изометрий, а посредством $ \mathfrak{so}(3)$ -- подалгебру вращений. Полученный результат носит общий и исчерпывающий характер: все непрерывные изометрии евклидовой метрики любого числа измерений исчерпываются трансляциями $ \mathfrak{T}_n$ и вращениями $ \mathfrak{so}(n)$ . При этом $ \dim\mathfrak{T}_n=n,$ $ \dim\mathfrak{so}(3)=n(n-1)/2,$ где $ n$ -- размерность многообразия с евклидовой метрикой. Отметим, что обозначение $ \mathfrak{so}(n)$ происходит из общепринятой в теории групп Ли системы обозначений: $ \mathfrak{so}(n)$ является алгеброй Ли группы вращений $ SO(n),$ которая получается интегрированием уравнений потоков полей из алгебры Ли $ \mathfrak{so}(n)$ (см. пример в разделе 7). В 3-мерном случае алгебра $ \mathfrak{so}(3)$ характеризуется следующей системой коммутационных соотношений:

$\displaystyle [X_{(i)},X_{(j)}]=\epsilon_{ijk}X_{(k)}.$ (56)
След.: 12.  Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 10.  Применения производной Ли