вход

Оглавление


10.  Применения производной Ли (1): интегрирование дифференциальных уравнений.

В настоящих лекциях мы не ставим своей целью дать исчерпывающий обзор методов и результатов, связанных с дифференциально-геометрическим подходом к интегрированию дифференциальных уравнений. Основная цель настоящего параграфа проиллюстрировать основную идею этого подхода на некоторых простых примерах. Систематическое изложение этих вопросов читатель может найти в обзорной статье [18] или в известных классических книгах [19,20,21]. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x,y). \vrule depth15pt width0pt$ (48)
Его решение -- это зависимость $ y(x),$ которая превращает это уравнение в тождество. Геометрически на плоскости $ (x,y)$ это уравнение задает поле направлений (рис.3): каждой точке $ (x,y)$ оно приписывает тангенс угла наклона искомой зависимости $ y(x),$ равный $ f(x,y).$
\includegraphics{allpic.3}
Рис. 3. К геометрической интерпретации дифференциальных уравнений.

Таким образом, решить дифференциальное уравнение (48), это значит по заданному полю направлений отыскать функцию $ y(x),$ поле касательных прямых к которой совпадает с заданным полем направлений. Эту же ситуацию мы можем описать на эквивалентном языке дифференциальной геометрии. Рассмотрим на плоскости $ R^2$ векторное поле $ X=\partial_1+f(x,y)\partial_2.$ Нетрудно видеть, что его интегральные кривые, являющиеся решением системы дифференциальных уравнений:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=X^1=1;\quad \frac{dy}{dt}=X^2=f(x,y), \vrule depth15pt width0pt $

в точности совпадают с решениями системы (48). Этот факт можно выразить условием:

$\displaystyle \omega(X)=0,$ (49)
где $ \omega=dy-f(x,y)dx$ -- 1-форма, ассоциированная с дифференциальным уравнением (48). По сути уравнение (49) выражает факт принадлежности векторного поля $ X$ ядру 1-формы $ \omega$ : $ X\in\ker\omega,$ где $ \ker\omega$ и есть поле направлений дифференциального уравнения (48). В каждой точке $ \ker\omega_p$ -- это одномерное подпространство касательного пространства $ T_pR^2.$ Формально $ \omega$ -- это уравнение (48), переписанное в дифференциалах. Наша геометрическая интерпретация как раз и проясняет, что стоит за формальными манипуляциями с дифференциалами. Пока мы только переформулировали проблему с аналитического языка на геометрический. Теорема локального существования и единственности, которая обычно доказывается на аналитическом языке (с помощью ломаной Эйлера или метода сжимающих отображений) гарантирует нам при некоторых достаточно общих ограничениях на правую часть, что в окрестности некоторой начальной точки решение (интегральная кривая потока векторного поля $ X$ ) существует и единственно. При этом доказательство теоремы неконструктивно: оно в общем случае не дает ключа к отысканию этого единственного решения. Оказывается, геометрическая формулировка задачи допускает регулярный метод отыскания решений, который в частности, объясняет "механизм работы" всех широко известных приемов интегрирования определенных классов дифференциальных уравнений.
Векторное поле $ Y$ называется симметрией дифференциального уравнения (48), если ассоциированная с ним 1-форма $ \omega$ удовлетворяет соотношению:

$\displaystyle L_Y\omega=\lambda\omega,$ (50)
где $ \lambda$ -- некоторая скалярная функция на $ R^2.$
С геометрической точки зрения условие симметрии (50) означает, что поток $ \phi_Y$ переводит поле направлений в себя, т.е. сохраняет ядро $ \ker\omega.$ При этом, если $ \lambda=0,$ то ядро в точности переходит в ядро без всяких изменений. Если же $ \lambda\neq0,$ то ядро переходит в ядро, но при этом векторы из ядра могут испытывать растяжение или сжатие. Очевидно, что поле направлений дифференциального уравнения при таких растяжениях или сжатиях не меняется и дифференциальное уравнение как геометрический объект остается неизменным. Предположим, что мы каким-то образом отыскали симметрию $ Y$ для дифференциального уравнения (48). Может иметь место два случая. В первом $ \omega(Y)=0,$ т.е. симметрия осуществляет поток вдоль решений и следовательно сама является решением. Очевидно, что отыскание такой симметрии по-существу сводится к отысканию решения и потому не может упростить задачу интегрирования. Во-втором случае $ \omega(Y)\neq0,$ т.е. поток симметрии трансверсален к интегральным кривым потока решений. Если при этом задача отыскания такой симметрии оказывается проще, чем задача непосредственного интегрирования исходного уравнения, то используя найденную симметрию можно легко построить интеграл уравнения (48). В общем случае он будет представлять собой неявную функцию $ y(x),$ задаваемую соотношением вида $ F(x,y)=$const$ .$ Идея построения такого интеграла в рассматриваемом нами случае заключается в следующем. Интегральные кривые поля симметрии $ Y$ отмечают на плоскости $ R^2$ линии, двигаясь вдоль которых дифференциальное уравнение переходит в себя в указанном выше смысле. Другими словами, если ввести на плоскости новую систему координат, в которой одним из двух семейств координатных линий будут линии векторного поля $ Y,$ то в дифференциальном уравнении (48) зависимость от этой координаты должна исчезнуть. При этом само уравнение превратится в уравнение с разделяющимися переменными вида

$\displaystyle \frac{dy'}{dx'}=f(y')$   или$\displaystyle \quad \frac{dy'}{dx'}=f(x'). $

Практически, решая уравнения характеристик для векторного поля $ Y,$ мы будем иметь интеграл вида $ g(x,y)=$const$ ,$ описывающий семейство его интегральных кривых. В качестве новой координаты $ u$ на плоскости $ R^2$ и следует принять эту комбинацию: $ u=g(x,y).$ Проиллюстрируем описанную выше идею на конкретном примере.
Пример. Рассмотрим уравнение вида (48) с правой частью $ f(x,y)=\varphi(y/x).$ Непосредственной проверкой по формулам (45) убеждаемся, что $ L_Y\omega=\omega,$ где $ Y=x\partial_1+y\partial_2,$ $ \omega=dy-\varphi(y/x) dx.$ Следовательно $ Y$ -- поле симметрий, при этом $ \omega(Y)\neq0.$ Интеграл уравнения характеристик

$\displaystyle \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}, \vrule depth15pt width0pt $

имеет вид $ y/x=$const$ .$ После введения новой переменной $ u=y/x,$ исходное дифференциальное уравнение преобразуется к виду:

$\displaystyle x\frac{du}{dx}+u=f(u), \vrule depth15pt width0pt$

для которого возможно разделение переменных:

$\displaystyle \ln x+C=\int\frac{du}{f(u)-u}. \vrule depth15pt width0pt $

Аналогичным образом можно рассмотреть случай обобщенно-однородных уравнений вида (48), у которых

$\displaystyle f(x,y)=\frac{y}{x}\varphi(y^\alpha/x^\beta), $

где $ \alpha$ и $ \beta$ -- произвольные вещественные числа. Соответствующий интеграл уравнений характеристик векторного поля симметрии имеет вид:

$\displaystyle u=y^\alpha/x^\beta=$const$\displaystyle .\Box $

Сделаем в конце этого раздела несколько замечаний.
  1. Процедура отыскания симметрий оказывается далеко не всегда проще процедуры отыскания решения самого уравнения. Так, например, обстоит дело с общим уравнением Риккати: $ y'=\varphi_2(x)y^2+\varphi_1(x)y+\varphi_0(x).$ В этом смысле симметрийный подход не является универсальным. Однако всем случаям разделения переменных в дифференциальном уравнении соответствует существование поля (или полей) симметрии $ Y.$
  2. В случае когда $ \omega(Y)\neq0$ имеет место следующая теорема:


    1-форма $ \omega$ , ассоциированная с уравнением (48), допускает интегрирующий
    множитель вида $ 1/\omega(Y).$ Другими словами, 1-форма $ \Omega=\omega/\omega(Y)$ является в
    этом случае "полным дифференциалом" $ dF$ некоторой функции $ F$ .


    Справедливость этой теоремы можно проверить непосредственно, вычислив величину $ \partial_1\Omega_2-\partial_2\Omega_1$ и убедившись, что она равна нулю в силу уравнений для поля симметрии $ Y.$ Более компактное доказательство, не связанное с переходом к координатам, заключается в применении аппарата внешних дифференциальных форм и теоремы Фробениуса (см. [21]).

  3. Обсуждаемые здесь идеи допускают непосредственное обобщение на дифференциальные уравнения высших порядков и уравнения в частных производных. Обобщением формы $ \omega$ выступает в этих случаях распределение Картана в соответствующем расслоении джетов [21].
  4. Если у дифференциального уравнения есть несколько симметрий, то они образуют алгебру симметрий относительно скобки Ли. Действительно, пусть $ L_Y\omega=\lambda_1\omega$ и $ L_Z\omega=\lambda_2\omega.$ В силу свойства (40) имеет место следующая цепочки равенств:

    $\displaystyle L_{[Y,Z]}=(L_ZL_Y-L_YL_Z)\omega=L_Z(\lambda_1\omega)-L_Y(\lambda_2\omega)=(Z(\lambda_1)-Y(\lambda_2))\omega, $

    откуда следует, что скобка Ли $ [Y,Z]$ двух симметрий есть снова симметрия. В некоторых случаях получающаяся симметрия $ [Y,Z]$ будет новой, т.е. независимой от $ Y$ и $ Z.$ Знаменитая теорема Ли гласит: Для полного интегрирования дифференци- ального уравнения порядка $ n$ достаточно существования $ n-1$ полей симметрий ($ n$ - порядок уравнения), которые образуют разрешимую алгебру Ли [19,21].
След.: 11.  Применения производной Ли Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 9.  Координатные формулы для