вход

Оглавление


8.  Производная Ли и ее свойства

Введенные выше конструкции дифференциала и кодифференциала отображения позволяют с каждым потоком ассоциировать операцию дифференцирования вдоль потока, определяемую, как уже говорилось, независимо от существования каких-либо геометрических структур на многообразии. Пусть на многообразии $ \mathcal{M}$ задано тензорное поле $ T\in{\mathcal{T}^{(r,s)}}(\mathcal{M})$ и пусть $ \phi$ -- поток векторного поля $ X.$
Производная Ли $ (L_XT)_p$ тензорного поля $ T$ вдоль векторного поля $ X$ в точке $ p$ определяется соотношением:

$\displaystyle (L_XT)_p\equiv\lim\limits_{t\to0}\frac{(\phi^t)_{(r,s)}^{-1}(T_{\phi^t(p)})-T_p}{t},$ (35)
где $ (\phi^t)_{(r,s)}^{-1}$ -- обратный $ (r,s)$ -дифференциал отображения $ \phi$ (ф-ла (29)), вычисленный в точке $ \phi^t(p).$
Рисунок 2 поясняет данное определение.
\includegraphics{allpic.2}
Рис. 2. К определению производной Ли.

Через точку $ p$ проходит некоторая интегральная кривая потока $ \phi,$ генерируемого векторным полем $ X.$ Смещаясь вдоль нее из точки $ p$ на параметрическое расстояние $ t,$ мы попадаем в точку $ \phi^t(p).$ В этой точке мы наблюдаем тензор $ T_{\phi^t(p)},$ который мы напрямую не можем сравнить с тензором $ T_p$ в исходной точке, поскольку эти тензоры отнесены к разным точкам многообразия и разным базисам. Но посредством обратного $ (r,s)$ -дифференциала $ (\phi^t)_{(r,s)}^{-1}$ мы можем перенести тензор $ T_{\phi^t(p)}$ обратно в точку $ p$ и сравнить результат с исходным тензором $ T_p.$ Разделив разность перенесенного и исходного тензоров в точке $ p$ на $ t$ и переходя к пределу при $ t\to0$ , получаем производную Ли, которая, таким образом, имеет смысл скорости изменения тензора $ T$ вдоль потока $ \phi$ . Данное безкоординатное определение производной Ли позволяет доказать ряд основных ее общих свойств.
  1. Если $ T\in\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}),$ то и $ L_XT\in\mathcal{T}^{(r,s)}(\mathcal{M}).$
  2. Производная Ли $ R$ -линейна по обоим аргументам, т.е.

    $\displaystyle L_X(\lambda_1 T_1+\lambda_2 T_2)=\lambda_1L_XT_1+\lambda_2 L_XT_2 $

    и

    $\displaystyle L_{\lambda_1 X_1+\lambda_2 X_2}(T)=\lambda L_{X_1}T+\lambda_2L_{X_2}T. $

  3. Производная Ли удовлетворяет правилу Лейбница по отношению к тензорному произведению:

    $\displaystyle L_X(T_1\otimes T_2)=(L_XT_1)\otimes T_2+T_1\otimes L_X(T_2). $

  4. Производная Ли коммутирует со сверткой:

    $\displaystyle CL_XT=L_X(CT). $

В перечисленных выше свойствах $ T$ -- произвольное тензорное поле произвольной валентности, $ T_1, T_2$ -- произвольные тензорные поля произвольных одинаковых валентностей в свойстве 2 и произвольных валентностей в свойстве 3, $ \lambda_1,\lambda_2$ -- произвольные вещественные числа. Свойство 1 вытекает непосредственно из определения (сумма и разность пары тензоров есть тензор того же типа). Свойство 2 для верхнего (тензорного) аргумента вытекает из линейности $ (r,s)$ -дифференциала и предела. Однородность производной Ли по нижнему (векторному) аргументу можно легко доказать, заметив, что замена $ X\to\lambda X$ "компенсируется" переопределением параметра $ t$ потока:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\lambda X\Leftrightarrow \frac{dx}{d\tau}=X, \vrule depth15pt width0pt $

где $ \tau=\lambda x.$ Другими словами, поток векторного поля $ X$ по отношению к параметру $ \tau=\lambda t$ таков же, каков поток векторного поля $ \lambda X$ по отношению к параметру $ t.$ Таким образом, имеет место равенство:

$\displaystyle \frac{(\phi_{\lambda X}^{t})_{(r,s)}^{-1}T_{\phi^{t}_{\lambda X}(... ... \lambda\frac{(\phi_{X}^{\tau})_{(r,s)}^{-1}T_{\phi^{\tau}_{X}(p)}-T_p}{\tau}, $

откуда после перехода к пределу при $ \tau\to0$ и следует доказываемое свойство:

$\displaystyle L_{\lambda X}T=\lambda L_XT. $

Для доказательства второй части свойства 2 для нижнего (векторного) аргумента производной Ли достаточно заметить, что с точностью до $ o(t)$ потоки $ \phi_{X_1}$ и $ \phi_{X_2}$ коммутируют (см. ниже геометрическую интерпретацию скобки Ли и теорему 1 в этом параграфе), при этом $ \phi_{X_1+X_2}^t=\phi_{X_1}^t\circ\phi_{X_2}^t+o(t).$ Используя это обстоятельство в определении (35), приходим к цепочке равенств

$\displaystyle L_{X_1+X_2}T\equiv \lim\limits_{t\to0} \frac{(\phi^t_{X_1+X_2})^{-1}T_{\phi^t_{X_1+X_2}t(p)}-T_p}{t}= $

$\displaystyle \lim\limits_{t\to0} \frac{(\phi^t_{X_2})^{-1}((\phi^t_{X_1})^{-1}... ...T_{\phi^t_{X_1}(p)})+(\phi^t_{X_1})^{-1}(T_{\phi^t_{X_1}(p)})-X_p +o(t^2)}{t}= $

$\displaystyle L_{X_2}\lim\limits_{t\to0}(\phi^t_{X_1})^{-1}(T_{\phi^t_{X_1}(p)})+L_{X_1}T=L_{X_1}T+L_{X_2}T, $

что и требовалось доказать. Во второй строчке мы добавили и вычли в числителе тензор $ (\phi^t_{X_1})^{-1}T_{\phi^t_{X_1}(p)}$ в точке $ \phi^t(p),$ в последней строчке мы воспользовались непрерывностью потока и равенством $ \phi^0_X=$id$ _{\mathcal{M}}.$ Доказательство правила Лейбница основано на ступенчатой конструкции, использованной в доказательстве предыдущего свойства. Имеем цепочку равенств:

$\displaystyle L_X(T_1\otimes T_2)\equiv\lim\limits_{t\to0}\frac{\phi^{-1}_{(r,s)}(T_1\otimes T_2)_{\phi^t(p)}-(T_1\otimes T_2)_p}{t}= $

$\displaystyle \lim\limits_{t\to0}(\phi^{-1}_{(r_1,s_1)}(T_1)_{\phi^t(p)}\otimes... ...,s_2)}(T_2)_{\phi^t(p)} -\phi^{-1}_{(r_1,s_1)}(T_1)_{\phi^t(p)}\otimes (T_2)_p $

$\displaystyle +\phi^{-1}_{(r_1,s_1)}(T_1)_{\phi^t(p)}\otimes (T_2)_p-(T_1)_p\otimes(T_2)_p)/t= $

$\displaystyle \lim\limits_{t\to0}\frac{\phi^{-1}_{(r_1,s_1)}(T_1)_{\phi^t(p)}\o... ...i^{-1}_{(r_1,s_1)}(T_1)_{\phi^t(p)}-(T_1)_p\otimes(T_2)_p)\otimes (T_2)_p}{t}= $

$\displaystyle =T_1\otimes L_X T_2+L_X T_1\otimes T_2, $

что и требовалось доказать. Здесь $ T_1\in\mathcal{T}^{(r_1,s_1)}(\mathcal{M}),$ $ T_2\in\mathcal{T}^{(r_2,s_2)}(\mathcal{M}),$ $ r=r_1+r_2,$ $ s=s_1+s_2.$ Докажем, наконец, коммутируемость производной Ли с однократной сверткой (коммутируемость кратной свертки доказывается вполне аналогично). Используя определение свертки (15) имеем:

$\displaystyle L_X(CT)=\lim\limits_{t\to0}\frac{\phi^{-1}_{(r-1,s-1)}(CT)_{\phi^t(p)}-(CT)_p}{t}= $

$\displaystyle \lim\limits_{t\to0}\frac{\phi^{-1}_{(r,s)}(T_{\phi^t(p)})(\dots,(... ...x_p^\alpha,\dots)-T_p(\dots,(\partial_\alpha)_p,\dots, dx_p^\alpha,\dots)}{t}= $

$\displaystyle \left[\lim\limits_{t\to0}\frac{\phi^{-1}_{(r,s)}(T)_{\phi^t(p)}-T... ...ts)=C\lim\limits_{t\to0}\frac{\phi^{-1}_{(r,s)}(T)_{\phi^t(p)}-T_p}{t}=CL_X T. $

Сделаем несколько замечаний.
  1. С точки зрения абстрактной алгебры производная Ли является элементом алгебры дифференцирований тензорной алгебры $ \mathcal{T}(\mathcal{M}),$ сохраняющим ее $ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ -градуировку. Примерами дифференцирований тензорной алгебры, не сохраняющих градуировку, являются ковариантная производная и внешний дифференциал (повышают левую компоненту градуировки на единицу) и сопряженный к $ d$ дифференциал $ \delta$ (понижает левую компоненту градуировки на единицу). Разумеется $ d$ и $ \delta$ определены лишь на внешней подалгебре $ \Lambda(\mathcal{M})\subset\mathcal{T}(\mathcal{M}).$
  2. Производная Ли $ R$ -линейна, но не $ \mathfrak{F}$ -линейна. Это означает, что, например, отображение $ \mathfrak{V}(\mathcal{M})\times\mathfrak{V}(\mathcal{M})\to\mathfrak{V}(\mathcal{M}),$ которое определяет производная Ли: $ L_XY=Z$ не является тензором типа $ (2,1)$ (аналогично и для производных Ли тензоров высших валентностей).
След.: 9.  Координатные формулы для Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 7.  Интегральные кривые векторных