вход

Оглавление


16.  Применения производной Ли (7): группа изометрий однородных кубических метрик

В качестве примера, в достаточной мере не отраженного в классической литературе, исследуем изометрии однородных кубических метрик вида:

$\displaystyle G=G_{\alpha\beta\gamma}dx^\alpha\otimes dx^\beta\otimes dx^\gamma,$ (73)
где $ G_{\alpha\beta\gamma}$ -- симметричная числовая кубическая матрица. Пространства с метриками такого рода традиционно относят у классу финслеровых пространств, а метрику $ G$ называют соответственно финслеровой метрикой [25]. Введем следующие обозначения:

$\displaystyle G_{\alpha\alpha\alpha}= A_\alpha;\quad G_{122}=B_1;\quad G_{133}=B_2;\quad G_{233}=B_3;\quad$ (74)

$\displaystyle G_{112}=C_1;\quad G_{113}=C_2;\quad G_{223}=C_3;\quad G_{123}=F, $

где все $ A_\alpha,$ $ B_\beta,$ $ C_\gamma$ и $ F$ -- постоянные. Не все компоненты (74) метрики $ G$ одновременно геометрически значимы. Представление (74) инвариантно относительно выбора координат среди класса аффинно-эквивалентных систем, в которых компоненты метрики остаются постоянными. Матрица невырожденного аффинного преобразования в $ R^3$ имеет в общем случае 9 независимых компонент и ими можно распорядиться таким образом, чтобы обратить в нуль 8 из 10 компонент компонент метрики $ G,$ поскольку уравнения вида

$\displaystyle G'_{\alpha\beta\gamma}=G_{\rho\sigma\delta}h^\rho_\alpha h^\beta_\sigma h^\delta_\gamma=0$ (75)
однородны по компонентам $ h.$ Ввиду сложного характера системы уравнений (75), конкретный набор восьми коэффициентов, которые можно обратить в нуль, сложным образом зависит от исходных значений компонент метрики. В частности, в некоторых вырожденных случаях исходной метрики в нуль можно обратить 9 из 10 компонент. Отсюда следует два важных для нашего исследования вывода:
  1. Для полного исследования достаточно исследовать метрики с небольшим числом отличных от нуля коэффициентов;
  2. Следует перебрать всевозможные случаи сочетания небольшого числа отличных от нуля коэффициентов;
Мы показываем, что в действительности можно ограничиться метриками $ G$ с числом отличных от нуля коэффициентов, не превышающим 6. Число отличных от нуля коэффициентов однородной метрики будет задавать аффинный тип $ \tau(G)$ однородной метрики $ G.$ Отметим, что аффинный тип метрики $ G$ зависит от выбора аффинной системы координат. Инвариантной характеристикой, не зависящей от выбора системы координат, является точный аффинный тип:

$\displaystyle \tau_0(G)\equiv\min\limits_{\text{Aff}(R^3)}\tau(G), $

где Aff$ (R^3)$ -- класс аффинных систем координат в $ R^3,$ связанных невырожденными аффинными преобразованиями. Назовем две однородных финслеровых метрики $ G_1$ и $ G_2$ эквивалентными: $ G_1\sim G_2,$ если существует такая аффинная система координат в $ R^3,$ в которой компоненты $ G_1$ и $ G_2$ попарно совпадают. Очевидно, для эквивалентных метрик $ G_1\sim G_2$ может быть $ \tau(G_1)\neq\tau(G_2),$ но их точные аффинные типы должны совпадать: $ \tau_0(G_1)=\tau_0(G_2).$ Совпадение точных аффинных типов двух метрик, однако, не является достаточным условием их эквивалентности, поскольку, вообще говоря, компоненты, которые входят в минимальное множество отличных от нуля, для этих метрик могут быть различными. После этих общих соображений перейдем к анализу симметрий. Система уравнений Киллинга в общем случае (74) принимает вид:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 3A_1\partial_1X^1+3C_1\partial_1X^2+3C_2... ... 3B_2\partial_3X^1+3B_3\partial_3X^2+3A_3\partial_3X^3=0. \end{array} \right.$ (76)
Рассмотрим последовательно все частные случаи общих метрик с различными $ \tau(G).$ Там, где это возможно, мы, не оговаривая особо, используем свободу выбора масштабов координат для превращения соответствующих коэффициентов в $ \pm1$ (канонический вид). Кроме того, не рассматриваем отдельно случаев, которые отличаются друг от друга лишь перестановкой координат. Наконец, мы всюду отбрасываем постоянные векторные поля, образующие подалгебру трансляций алгебры симметрий метрики $ G$ , существование которой очевидно и исследуем симметрии, отличные от трансляций. Мы будем называть их нетривиальными симметриями однородных финслеровых метрик.
След.: 16.1.  Метрики с (2 Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 15.  Применения производной Ли