вход

Оглавление


2.  Гладкие многообразия

Основная идея, лежащая в определении гладкого многообразия, проста: оно "склеено" из "лоскутков", каждый из которых "похож" на область евклидова пространства некоторого фиксированного (конечного) числа измерений. Чтобы придать точный смысл словам, заключенным в кавычки, перейдем к более строгим определениям. Рассмотрим некоторое множество $ \mathcal{M}.$ Пара $ (U,\varphi),$ где $ U$ -- некоторое открытое2 подмножество $ \mathcal{M},$ а $ \varphi$ : $ U\to D\subset R^m$ -- биективное отображение $ U$ на некоторое открытое множество (область) $ D$ вещественного евклидова пространства $ R^m,$ называется координатной картой на $ \mathcal{M}.$ При этом $ U$ называется координатной окрестностью, $ \varphi$ -- координатным (картирующим) отображением, а $ R^m$ -- арифметизирующим пространством. Пара карт $ (U_1,\varphi_1)$ и $ (U_2,\varphi_2)$ называется $ C^r$ -согласованной, если выполняется одно из двух условий:
  1. $ U_1\cap U_2=\varnothing$ ;
  2. На непустом пересечении карт $ U_{12}=U_1\cap U_2$ отображения $ \psi_{12}=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ : $ D'_1=\varphi_1(U_{12})\to D'_2=\varphi_2(U_{12})$ и $ \psi_{21}=\varphi_1\circ\varphi_2^{-1}$ : $ D'_2\to D'_1$ являются $ C^r$ -гладкими отображениями открытых множеств.
Рисунок 1 поясняет второй пункт этого определения.
\includegraphics{allpic.1}
Рис. 1. К условию согласования карт.

Поясним условие $ C^r$ гладкости на координатном языке. Пусть $ (x^1,\dots x^m)\equiv x$ -- система координат на $ R^m$ для картирующего отображения $ \varphi_1,$ а $ (y^1,\dots, y^m)\equiv y$ -- система координат на $ R^m$ для картирующего отображения $ \varphi_2.$ Арифметизирующие пространства для картирующих отображений различных карт удобно считать различными. Таким образом, отображение $ \varphi_1$ каждой точке $ p_1\in U_1$ ставит в соответствие точку $ x_{p_1}=(x^1(p_1),\dots,x^m(p_1))\in D_1\subset R^m,$ а отображение $ \varphi_2$ каждой точке $ p_2\in U_2$ ставит в соответствие точку $ y_{p_2}=(y^1(p_2),\dots,y^m(p_2))\in D_2\subset R^m.$ Числа $ x^i(p_1)$ и $ y^i(p_2)$ называются $ i-$ ыми координатами точек $ p_1$ и $ p_2$ в координатных картах $ (U_1,\varphi_1)$ и $ (U_2,\varphi_2)$ соответственно. Если пересечение $ U_{12}$ непусто, то любая точка $ q$ из него будет иметь, как минимум, два координатных представления: $ x_q=(x^1(q),\dots, x^m(q))$ и $ y_q=(y^1(q),\dots,y^m(q)),$ которые обязательно будут взаимно-однозначно связаны друг другом, ввиду того, что оба представления порождаются одной и той же точкой и отображения $ \varphi_1$ и $ \varphi_2$ являются биекциями. Отображение $ \psi_{12}$ (оно называется функцией перехода из $ U_1$ в $ U_2$ ) как раз и является числовой функцией, переводящей координаты $ x$ в координаты $ y$ для каждой точки из $ U_{12},$ а отображение $ \psi_{21}$ осуществляет обратное преобразование $ y$ в $ x.$ В явном виде эти отображения описываются системами:

$\displaystyle y^i=f^i(x^1,\dots,x^m);\quad x^i=g^i(y^1,\dots,y^m), \quad (i=1,\dots,m). $

При этом $ f^i\equiv\psi_{12}^i$ и $ g^i\equiv\psi_{21}^i$ обозначают $ i$ -ые компоненты отображений $ \psi_{12}$ и $ \psi_{21}$ соответственно. Требование $ C^r$ гладкости означает, что все функции $ f^i$ и $ g^i$ имеют непрерывные частные производные вплоть до $ r$ -ого порядка включительно. Атласом $ \mathbf{At}(\mathcal{M})$ на множестве $ \mathcal{M}$ называется совокупность попарно $ C^r$ -согласованных карт $ (U_\alpha,\varphi_\alpha),$ таких, что система координатных окрестностей $ \{U_\alpha\}$ образует покрытие множества $ \mathcal{M}$ : $ \mathcal{M}=\cup_\alpha U_\alpha.$ Два атласа $ \mathbf{At}_1$ и $ \mathbf{At}_2$ называются эквивалентными: $ \mathbf{At}_1\sim \mathbf{At}_2,$ если любая пара карт из $ \mathbf{At}_1$ и $ \mathbf{At}_2$ является $ C^r$ -согласованной. Говорят, что класс эквивалентных атласов определяет на $ \mathcal{M}$ гладкую структуру или гладкость.
Множество $ \mathcal{M}$ с введенной на нем гладкой структурой называется гладким многообразием. При этом размерностью $ \dim\mathcal{M}$ гладкого многообразия называется размерность $ m$ арифметизирующего пространства $ R^m.$
Размерность многообразия является его важнейшей характеристикой и иногда ее указывают явно в виде верхнего или нижнего индекса у символа многообразия: например $ \mathcal{M}_m,$ $ \dim\mathcal{M}_m=m.$ В настоящих лекциях мы всегда будем иметь дело с многообразиями, у которых гладкость имеет бесконечный порядок: $ r=\infty,$ и всегда $ \dim \mathcal{M}=m$ и $ \dim \mathcal{N}=n,$ так что для сокращения записи мы не будем указывать размерности абстрактных многообразий $ \mathcal{M}$ и $ \mathcal{N},$ используемых в конструкциях общего характера. Происхождение терминов "карта" и "атлас" очевидно. Поверхность Земли мы изображаем посредством совокупности плоских карт, каждая из которых, покрывает определенный участок земной поверхности. Для представления всей поверхности несколько карт объединяются в географический атлас. При этом края некоторых пар карт изображают один и тот же участок Земли и поэтому должны существовать правила, переводящие точки с одной карты на таком участке, на другую карту на нем же и обратно. Теория многообразий заимствует эти идеи из картографии и, абстрагируясь от конкретных особенностей наглядного представления, переносит их на общий случай $ m$ -измерений. Рассмотрим примеры многообразий.
1. Евклидово пространство $ R^n$ . Самый простой способ ввести гладкость на $ R^n$ заключается в задании одной единственной карты $ (R^n,$id$ ).$ Она называется стандартной гладкостью. Отметим, не углубляясь в детали, что на $ R^n$ можно ввести и другие гладкие структуры, неэквивалентные только что введенной нами [17].
2. Комплексное пространство $ C^n$ . Представление овеществления: $ C^n=R^n+iR^n$ подсказывает, что простейший способ ввести гладкую структуру на $ C^n$ заключается в переходе от $ C^n$ к $ R^{2n}$ и дословному повторению конструкции предыдущего пункта. Такая гладкость, однако, "стирает" всякую информацию о комплексно-алгебраической структуре $ C^n.$ Для ее сохранения необходимо обобщить понятие вещественного многообразия на понятие комплексного многообразия, у которого роль арифметизирующего пространства выступает $ C^n,$ а функции перехода становятся комплексно-аналитическими [10].
3. Линейное вещественное векторное пространство $ L_n$ . В любом $ n$ -мерном линейном вещественном пространстве можно ввести базис, состоящий из $ n$ элементов $ \{e_1,\dots,e_n\}.$ Всякий вектор $ v$ представляется в таком базисе в виде линейной комбинации вида $ v^1e_1+\dots v^ne_n,$ где $ \{v^1,\dots,v^n\}$ -- координаты $ v$ в выбранном базисе. Таким образом, при некотором фиксированном базисе $ L_n$ оказывается изоморфным $ R^n$ и, следовательно, допускает структуру $ n$ -мерного вещественного гладкого многообразия.
4. Поверхности в $ R^n.$ Стандартные определения линии и поверхности в $ R^3$ представляют собой типичные примеры многообразий малой размерности [6]. Не представляет труда обобщить эти определения на поверхности высших размерностей в $ R^n.$ При этом, как правило в качестве единственной карты выступает параметризация линий и поверхностей. Следует отметить, что несмотря на общие теоремы о возможности реализации многообразий в виде вложенных поверхностей в объемлющее евклидово пространство достаточно большого числа измерений [6], общая формулировка понятия многообразия никак не связана с такого рода представлениями и изучение свойств многообразия не требует привлечения понятий и структур какой-либо объемлющей геометрии.
4. Сфера $ S^n.$ Сфера относится к числу простейших (но нетривиальных!) многообразий. Начнем рассмотрение сфер с простейшего случая $ n=1$ (окружность). Окружность $ S^1$ определяется как подмножество точек плоскости $ R^2,$ удовлетворяющих уравнению3:

$\displaystyle (x^1)^2+(x^2)^2=1, $

где $ (x^1,x^2)$ -- декартовы координаты на плоскости4. Введем следующие обозначения:

$\displaystyle S^1_{i\pm}=\{p\in S^1\vert x^i\gtrless0\},\quad i=1,2. $

Атлас сферы $ S^1$ теперь можно задать посредством четырех карт $ (S^1_{i\pm},\varphi_{i\pm}),$ где $ \varphi_{i\pm}=\pi_i,$ а $ \pi_i$ -- отображение проекции на прямую $ x^i=0$ : $ \pi_1(x^1,x^2)=(0,x^2),$ $ \pi_2(x^1,x^2)=(x^1,0).$ При этом координатные окрестности $ S^1_{i+}$ и $ S^1_{i-}$ не пересекаются, а на не пустых пересечениях $ S^1_{1+}\cap S^1_{2+},$ $ S^1_{1+}\cap S^1_{2-},$ $ S^1_{1-}\cap S^1_{2+},$ $ S^1_{1-}\cap S^1_{2-},$ функции перехода имеют, соответсвенно, вид:

$\displaystyle x^2=+\sqrt{1-(x^1)^2};\quad x^2=-\sqrt{1-(x^1)^2};\quad x^2=+\sqrt{1-(x^1)^2};\quad x^2=-\sqrt{1-(x^1)^2} $

и обратные к ним (с учетом знаков у корней). Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что эти функции перехода на всех пересечениях гладкие с $ r=\infty.$ Следовательно $ S^1$ -- одномерное гладкое многообразие. Построенная конструкция элементарно обобщается на случай 2-мерной сферы $ S^2$ -- соответствующие конкретные формулы читателю предлагается записать самостоятельно (подсказка: для $ S^2$ мы будем иметь шесть карт). Мы сразу перейдем к построению атласа $ n$ -мерной сферы $ S^n,$ рассматриваемой как подмногообразие $ R^{n+1},$ задаваемое уравнением:

$\displaystyle (x^1)^2+(x^2)^2+\dots+(x^{n+1})^2=1. $

Введем обозначения:

$\displaystyle S^n_{i\pm}=\{p\in S^1\vert x^i\gtrless0\},\quad i=1,\dots,n. $

Атлас сферы $ S^n$ теперь можно задать посредством $ 2(n+1)$ карт $ (S^1_{i\pm},\varphi_{i\pm}),$ где $ \varphi_{i\pm}=\pi_i,$ а $ \pi_i$ -- отображение проекции на гиперплоскость $ x^i=0$ :

$\displaystyle \pi_i(x^1,x^2,\dots,x^i,\dots,x^{n+1})=(x^1,x^2,\dots,0,\dots x^n),\quad i=1,\dots,n. $

При этом координатные окрестности $ S^n_{i+}$ и $ S^n_{i-}$ не пересекаются, а не пустыми будут пересечения $ S^n_{i\pm}\cap S^n_{j\pm}$ при $ i\neq j.$ Функции перехода, к примеру, для $ S^n_{i+}\cap S^n_{j+}$ и $ S^n_{i-}\cap S^n_{j+}$ при $ 1<i<j<n+1$ имеют вид:

$\displaystyle x'^1=x^1,\dots, x'^{i-1}=x^{i-1},\quad x'^i=\sqrt{1-(x^1)^2-\dots-(x^{i-1})^2-(x^{i+1})^2- \dots-(x^{n+1})^2},\quad $

$\displaystyle x'^{i+1}=x^{i+1},\dots, x'^j=x^{j+1},\quad\dots x'^{n}=x^{n+1}. $

Аналогичный вид имеют все остальные функции перехода, а также и обратные к ним. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все функции перехода являются гладкими на пересечениях, поэтому $ S^n$ -- $ n$ -мерное гладкое многообразие. Отметим, что с помощью отображения стереографической проекции можно построить более экономные атласы для всех сфер $ S^n,$ состоящие при любом $ n$ всего из двух карт [6].
Прямые произведения $ \mathcal{M}_m\times\mathcal{N}_n.$ Напомним, что прямым (или декартовым) произведением $ \mathcal{M}\times\mathcal{N}$ двух множеств $ \mathcal{M}$ и $ \mathcal{N}$ называется множество всевозможных упорядоченных пар, $ (m,n),$ где $ m\in\mathcal{M},$ а $ n\in\mathcal{N}.$ Если $ \mathcal{M}_m$ и $ \mathcal{N}_n$ -- гладкие многообразия, то на прямом произведении $ \mathcal{M}_m\times\mathcal{N}_n$ гладкость порождается прямым произведением атласов $ \mathbf{At}(\mathcal{M}_m)\times\mathbf{At}(\mathcal{N}_n),$ состоящим из всевозможных карт вида $ (U_\alpha\times V_\beta,\varphi_\alpha\times\chi_\beta),$ где $ (U_\alpha,\varphi_\alpha)\in\mathbf{At}(\mathcal{M}_m),$ $ (V_\beta,\varphi_\beta)\in\mathbf{At}(\mathcal{N}_n).$ При этом прямое произведение отображений $ \varphi_\alpha\times\chi_\beta$ действует по правилу:

$\displaystyle (\varphi_\alpha\times\chi_\beta)(m,n)=(\varphi_\alpha(m),\chi_\beta(n)), $

где $ m\in\mathcal{M}_m,$ $ n\in\mathcal{N}_n,$ $ \varphi_\alpha(m)\in R^{m},$ $ \chi_\beta(n)\in R^n.$ Таким образом, прямое произведение двух гладких многообразий -- это снова гладкое многообразие5. При этом, очевидно, $ \dim(\mathcal{M}_m\times\mathcal{N}_n)=m+n.$ В качестве примеров многообразий, имеющих структуру прямого произведения гладких многообразий можно привести тор: $ T^2=S^1\times S^1$ и цилиндр Cyl$ ^2=R\times S^1.$
След.: 3.  Скалярные функции и Выше: Элементы геометрии гладких многообразий Пред.: 1.  Введение и обозначения